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第5讲 指数函数与对数函数（能力卷）
一、单选题
1．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考一模）若，，则x，y，z的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·河南开封·高一校考期末）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校考期末）已知函数，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）已知函数，，则函数的值域为（ ）．
A． B． C． D．
5．（2023春·山西晋中·高一校考阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且在单调递增，记，，，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·江苏苏州·高二星海实验中学校考阶段练习）函数在上的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023秋·高一课时练习）若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（ ）
A．函数的零点的个数为2
B．实数的取值范围为
C．函数无最值
D．函数在上单调递增
12．（2023秋·江西吉安·高一江西省遂川中学校考期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德 牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，则下列叙述正确的是（ ）
A．是偶函数 B．在上是增函数
C．的值域是 D．的值域是
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，则 ．
14．（2023春·上海·高二期末）已知，若，则 .
15．（2023秋·山东济南·高一校考期末）已知函数，且函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是 .
16．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若是函数的最大值，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
17．（2023秋·高一单元测试）已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求实数a的值；
(2)求不等式的解集；
(3)若关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数.
(1)当，函数存在零点，求实数的取值范围；
(2)设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.
19．（2023秋·高一单元测试）已知函数．
(1)若的值域为R，求实数m的取值范围；
(2)若在内单调递增，求实数m的取值范围．
20．（2023秋·四川泸州·高二四川省泸县第四中学校考开学考试）已知定义在R上的函数满足且，．
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求实数a取值范围；
(3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．
21．（2023秋·湖南永州·高一永州市第一中学校考期末）设函数是定义R上的奇函数．
（1）求k的值；
（2）若不等式有解，求实数a的取值范围；
（3）设，求在上的最小值，并指出取得最小值时的x的值．
22．（2023秋·浙江杭州·高一校考期末）已知函数过定点，函数的定义域为.
（Ⅰ）求定点并证明函数的奇偶性；
（Ⅱ）判断并证明函数在上的单调性；
（Ⅲ）解不等式.
试卷第2页，共5页
试卷第1页，共1页
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第5讲 指数函数与对数函数（能力卷）
一、单选题
1．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考一模）若，，则x，y，z的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·河南开封·高一校考期末）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校考期末）已知函数，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）已知函数，，则函数的值域为（ ）．
A． B． C． D．
5．（2023春·山西晋中·高一校考阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且在单调递增，记，，，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·江苏苏州·高二星海实验中学校考阶段练习）函数在上的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023秋·高一课时练习）若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（ ）
A．函数的零点的个数为2
B．实数的取值范围为
C．函数无最值
D．函数在上单调递增
12．（2023秋·江西吉安·高一江西省遂川中学校考期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德 牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，则下列叙述正确的是（ ）
A．是偶函数 B．在上是增函数
C．的值域是 D．的值域是
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，则 ．
14．（2023春·上海·高二期末）已知，若，则 .
15．（2023秋·山东济南·高一校考期末）已知函数，且函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是 .
16．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若是函数的最大值，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
17．（2023秋·高一单元测试）已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求实数a的值；
(2)求不等式的解集；
(3)若关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数.
(1)当，函数存在零点，求实数的取值范围；
(2)设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.
19．（2023秋·高一单元测试）已知函数．
(1)若的值域为R，求实数m的取值范围；
(2)若在内单调递增，求实数m的取值范围．
20．（2023秋·四川泸州·高二四川省泸县第四中学校考开学考试）已知定义在R上的函数满足且，．
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求实数a取值范围；
(3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．
21．（2023秋·湖南永州·高一永州市第一中学校考期末）设函数是定义R上的奇函数．
（1）求k的值；
（2）若不等式有解，求实数a的取值范围；
（3）设，求在上的最小值，并指出取得最小值时的x的值．
22．（2023秋·浙江杭州·高一校考期末）已知函数过定点，函数的定义域为.
（Ⅰ）求定点并证明函数的奇偶性；
（Ⅱ）判断并证明函数在上的单调性；
（Ⅲ）解不等式.
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参考答案：
1．D
【分析】由，可得和，根据（）为增函数，即可比较三者大小.
【详解】
根据指数与对数的关系和（）为增函数：
，由，即
故
可得，即
综上：
故选：D.
2．C
【分析】先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果.
【详解】因为函数在上连续单调递增，
且,
所以函数的零点在区间内，故选C.
【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
3．D
【分析】根据函数奇偶性可得为偶函数，根据解析式直接判断函数在上的单调性，则可结合奇偶性与单调性解不等式得解集.
【详解】解：因为，则
所以，则为偶函数，
当时，，又，在上均为增函数，所以在上为增函数，
所以，即，解得或，
所以的解集为
故选：D.
4．B
【分析】根据给定条件换元，借助二次函数在闭区间上的最值即可作答.
【详解】依题意，函数，，令，则在上单调递增，即，
于是有，当时，，此时，，
当时，，此时，，
所以函数的值域为.
故选：B
5．A
【分析】先根据函数是定义在上的偶函数，得到，再利用在单调递增求解.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，
所以，
又因为，，，
且在单调递增，
所以，即，
故选：A
6．C
【分析】令，则函数在内递增，且恒大于0，可得不等式，从而可求得a的取值范围
【详解】解：令，
∵ 在上单调递减，
∴ 在内递增，且恒大于0，
且，
．
故选：C．
7．A
【分析】由函数的奇偶性，可排除B；由时，可排除选项CD，可得出正确答案
【详解】，所以函数是奇函数，排除选项B，
又，排除选项CD，
故选：A
8．B
【分析】由函数的图象可推得，，且，可得函数的图象递减，且，从而可判断答案.
【详解】由函数的图象为减函数可知，，
再由图象的平移变换知，的图象由向左平移不超过一个单位，可知，
故函数的图象递减，且，则符合题意的只有B中图象
故选：B.
9．ABC
【分析】将指数转化为对数可得，，利用换底公式计算的值可判断A；根据对数函数的单调性判断的范围即可得的范围，再由即可得的范围可判断B；由对数的运算可得，利用函数的单调性求出得范围可判断C；根据的范围即可得以及的范围可判断D，进而可得正确选项.
【详解】由可得：，，
对于A：，所以，故选项A正确；
对于B：，，
即，所以，
，即，
所以，所以，，故选项B正确；
对于C：，，
所以，令，
则在上单调递增，
所以，故选项C正确；
对于D：，，所以，，
所以，故选项D不正确，
故选：ABC.
10．ACD
【分析】设，根据指数与对数的关系，利用换底公式及指数幂的运算法则，逐一验证四个选项得答案．
【详解】解：设，则，，，
所以
，
即，所以，所以，故D正确；
由，所以，故A正确，B错误；
因为，，
又，所以，即，故C正确；
故选：ACD
11．ABC
【分析】根据分段函数图像可以判断ABD，而选项C，结合分段函数的图像性质，分析得到两个不等的实根，最后根据二次方程根的分布求出参数的取值范围即可.
【详解】因为函数，可得函数图像如图：
由图知函数有2个零点，故A选项正确；
函数没有最值，故C选项正确；
函数在上单调递减，在上单调递增，故D选项错误；
由于方程有4个不同的实数根，
令则有4个不同的实数根，
因为恒成立，
设两个不等的实根为，
由韦达定理知：，
则异号，由图可知：，
所以，解得，故B选项正确；
故选：ABC
【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
12．BD
【分析】依题意可得，再根据指数函数的性质判断函数的单调性与值域，距离判断B、D，再根据高斯函数的定义求出的解析式，即可判断A、D.
【详解】解：因为，定义域为，
因为在定义域上单调递增，且，又在上单调递增，
所以在定义域上单调递增，故B正确；
因为，所以，所以，则，
则，即，故C错误；
令，即，解得，
所以当时，
令，即，解得，
所以当时，当时，
所以，
所以的值域是，故D正确；
显然，即不是偶函数，故A错误；
故选：BD
13．
【分析】发现，计算可得结果.
【详解】因为，
，且，则.
故答案为-2
【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现是关键，属于中档题.
14．8
【分析】利用指数函数、对数函数的性质、运算法则直接求解．
【详解】解：由，且
所以是方程的两根，
解得或，
又，所以，即，又
从而，且，则，．
所以.
故答案为：8.
15．
【分析】作出函数的图象，把函数的零点转化为直线与函数图象交点问题解决.
【详解】由得，即函数的零点是直线与函数图象交点横坐标，
当时，是增函数，函数值从1递增到2(1不能取)，当时，是增函数，函数值为一切实数，
在坐标平面内作出函数的图象，如图，
观察图象知，当时，直线与函数图象有2个交点，即函数有2个零点，
所以实数的取值范围是：.
故答案为：
16．
【分析】由，求得的范围，再求得的单调性，讨论，时函数在的最大值，即可得到所求范围．
【详解】解：因为，
当时函数单调递减且，
当时，可得在时函数单调递减，在单调递增，
若，，则在处取得最大值，不符题意；
若，，则在处取得最大值，
且，解得，
综上可得的范围是．
故答案为：
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据奇函数满足，即可求解；（2）根据的单调性，即可根据函数值的大小确定自变量的大小，即可转化求解，（3）将恒成立问题转化为最值问题，即可利用二次函数的性质求最值进行求解.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，
即，即，
因为，所以，所以（经检验，符合题意）
（2）由（1）得，
因为与在上均为增函数，所以在上为增函数，
又，所以，
所以，即，
所以，所以不等式的解集是.
（3）因为关于x的不等式恒成立，即恒成立，
所以恒成立，所以，
因为，
所以当，即时，取得最小值.
所以，即实数k的取值范围是
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用偶数数的定义，即可求出实数的值，从而得到的解析式；令，得，构造函数，将问题转化为直线与函数的图象有交点，从而求出实数的取值范围；
（2）依题意等价于关于的方程只有一个解，令，讨论的正根即可．
【详解】（1）解：是偶函数，，
即对任意恒成立，
，
．
即，
因为当，函数有零点，即方程有实数根．
令，则函数与直线有交点，
，
又，，
所以的取值范围是．
（2）解：因为，
又函数与的图象只有一个公共点，
则关于的方程只有一个解，
所以，
令，得，
①当，即时，此方程的解为，不满足题意，
②当，即时，此时，又，，
所以此方程有一正一负根，故满足题意，
③当，即时，由方程只有一正根，则需，
解得，
综合①②③得，实数的取值范围为：．
19．(1)
(2)
【分析】（1）由题意能取内的一切值，故转化为函数的判别式大于等于0求解即可；
（2）根据复合函数的单调性可得在内单调递减且恒正，再根据二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）由的值域为R，可得能取内的一切值，
故函数的图象与x轴有公共点，
所以，解得或．
故实数m的取值范围为．
（2）因为在内单调递增，
所以在内单调递减且恒正，
所以，解得．
故实数m的取值范围为．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据，代入计算可得；
（2）根据单调性得，分离参数求最值即可.
（3）因为对任意的，存在，使得，等价于，先求的最小值，再分类讨论对称轴与区间的位置关系，使的最小值满足小于等于1的条件，求解即可.
【详解】（1）由题意知，，
即，所以，
故.
（2）由（1）知，，
所以在R上单调递增，
所以不等式恒成立等价于，
即恒成立.
设，则，，当且仅当，即时取等号，
所以，
故实数a的取值范围是.
（3）因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以当时，，
又的对称轴为，，
当时，在上单调递增，，解得，
所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，所以；
当时，在上单调递减，，解得，
所以，
综上可知，实数m的取值范围是.
21．（1）1；（2）；（3）最小值为，此时.
【解析】（1）根据题意可得，即可求得k值，经检验，符合题意；
（2）有解，等价为，利用二次函数图象与性质，即可求得答案；
（3）由题意，令，可得t的范围，整理可得，，利用二次函数的性质，即可求得答案.
【详解】（1）因为是定义域为R上的奇函数，
所以，所以，解得，
所以，
当时，，
所以为奇函数，故；
（2）有解，所以有解，
所以只需，
因为（时，等号成立），
所以；
（3）因为，所以，
可令，可得函数t在递增，即，
则，可得函数，，
由为开口向上，对称轴为的抛物线，
所以时，取得最小值，
此时，解得，
所以在上的最小值为，此时．
【点睛】解题的关键熟练掌握二次函数的图象与性质，并灵活应用，处理存在性问题时，若，只需，若，只需，处理恒成立问题时，若，只需，若，只需，考查分析理解，计算化简的能力属中档题.
22．（Ⅰ）定点为，奇函数，证明见解析；（Ⅱ）在上单调递增，证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）根据解析式可求得定点为，即可得的解析式，根据奇函数的定义，即可得证；
（Ⅱ）利用定义法即可证明的单调性；
（Ⅲ）根据的单调性和奇偶性，化简整理，可得，根据函数的定义域，列出不等式组，即可求得答案.
【详解】（Ⅰ）函数过定点，定点为，
，定义域为，
.
函数为奇函数.
（Ⅱ）在上单调递增.
证明：任取，且，
则.
，，
，，
，即，
函数在区间上是增函数.
（Ⅲ），即，
函数为奇函数
在上为单调递增函数，
， ，解得：.
故不等式的解集为：
【点睛】解题的关键是熟练掌握函数奇偶性、单调性的定义，并灵活应用，在处理单调性、奇偶性综合问题时，需要注意函数所有的自变量都要在定义域内，方可求得正确答案.
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