12.3 角的平分线的性质第2课时角平分线的判定 课件 (共23张PPT)【2023秋人教八上数学高效实用备课】

(共23张PPT)
人教八上数学同步精品课件
人教版八年级上册
第十二章 全等三角形
第2课时 角平分线的判定
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1. 探索并证明角平分线的判定：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上.
3. 会用角平分线的判定解决实际问题.
学习目标
难点
难点
新课引入
你还记得上节课所学的角平分线的性质定理吗？
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
那么在角的内部，到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
一 角平分线的判定
思考
如图，要在 S 区建一个集贸市场，使它到铁路和公路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处 500 m，这个集贸市场应建在何处？
D
C
S
O
解：作夹角的角平分线 OC，
在射线 OC 上截取 OD = 500 m，则点 D 即为所求.
新知学习
我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢 利用三角形全等，可以得到
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
按照上述证明命题的步骤，自己证一证这个结论.
证明
如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线OC上.
O
A
B
C
P
D
E
┐
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO=∠PDO=90°.
∵在Rt△PEO和Rt△PDO中，
PE=PD，
PO=PO， ∴Rt△PEO≌Rt△PDO（HL）.
∴∠AOC=∠BOC. ∴点P在∠AOB的平分线OC上.
归纳
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
使用定理时这样书写：
∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上.
O
A
B
C
P
D
E
┐
例1 如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC. 求证：AD是∠BAC的平分线.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°.
∵在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BE=CF，
DB=DC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）. ∴DE=DF.
∴即AD是∠BAC的平分线.
┐
C
E
A
F
D
B
┐
二 三角形的内角平分线
探究1
分别画出以下三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？
三角形的三条角平分线相交于一点，且交点位于三角形的内部.
A
B
C
┐
A
B
C
A
B
C
探究2
过交点分别作三角形三边的垂线，测量一下每一组垂线段的长度，你发现了什么？
A
B
C
A
B
B
C
A
C
过三角形三条角平分线交点作三角形三边的垂线段相等.
┐
┐
┐
┐
┐
┐
┐
┐
┐
D
E
F
A
B
C
P
N
M
例2 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P，
求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
证明：过点 P 作 PD，PE，PF 分别垂直于 AB，BC，CA，垂足分别为 D，E，F.
∵ BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，
∴ PD = PE.
同理，PE = PF.
∴ PD = PE = PF.
即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
针对训练
1.如图，在直角△ABC 中，AC＝BC，∠C ＝90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC 于点 M，若 OM＝4.
(1) 求点 O 到△ABC 三边的距离和；
M
E
N
A
B
C
P
O
D
解：如图，过点 O 作 ON⊥BC 于点 N,过点 O 作 OE⊥AB 于点 E,
∵OM＝4.
∴OM+ON+OE=4+4+4=12.
(2) 若△ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积.
解：连接 OC.
E
N
A
B
C
P
O
D
M
过三角形三条角平分线的交点O向任一边作垂线段h，三角形周长为C，则三角形面积= .
随堂练习
1.如图，在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC 的度数为 (　　)
A. 110° B. 120° C. 130° D. 140°
解析：由于 O 到△ABC 三边的距离相等，
故 O 是三条内角平分线的交点，
即 BO，CO 都是内角的平分线，
则∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB.
∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－40°＝140°，
∴∠OBC＋∠OCB＝70°.
∴∠BOC＝180°－70°＝110°.
答案：A
证明：如图，过点F作FG⊥AE于点G，FH⊥AD于点H，FM⊥BC于点M.
2.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.
求证：点F在∠BAC的平分线上．
G
H
M
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC.
∴FG=FM.
同理可得∴FM=FH.
∴FG=FH，
∴点F在∠BAC的平分线上．　
3.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.
求证：AM是∠DAB的平分线.
∵DM平分∠ADC，∠C=∠DNM=90°
∴MN=MC（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
N
解：如图，作MN⊥AD于N，
∵M是BC的中点，
∴MC=MB， ∴MC=MB=MN，
∵∠B=∠MNA=90°，
∴AM是∠DAB的平分线（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）.
N
课堂小结
角平分线的判定方法是什么？
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
谢谢
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