13.1.2 第1课时 线段垂直平分线的性质与判定 课件(共28张PPT)【2023秋人教八上数学高效实用备课】

(共28张PPT)
人教八上数学同步精品课件
人教版八年级上册
第十三章 轴对称
第1课时 线段垂直平分线的性质与判定
第1节 轴对称
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1. 能用尺规作图：过一点作已知直线的垂线.
2. 探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
学习目标
重点
重点
线段的垂直平分线的定义是什么？
l
C
B
A
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 .
符号语言：
点 C 是线段 AB 的中点，且 l⊥AB 于 C，直线 l 是线段 AB 的垂直平分线.
新课引入
如图，直线 l 垂直平分线段 AB ，P1，P2，P3，…是 l 上的点， 分别量一量点P1，P2，P3， ... 到点 A 与点 B 的距离，你有什么发现？
探究
P1A = P1B，P2A = P2B， P3A = P3B.
一 线段垂直平分线的性质
新知学习
可以发现，点P1，P2，P3， ... 到点A的距离与它们到点B的距离分别相等.如果把线段AB沿直线 l 对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B……都是重合的，因此它们也分别相等.
由此我们可以得出线段的垂直平分线的性质:
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
试着证明这个性质.
如图， l⊥AB，垂足为 C，AC = CB，点 P在直线 l 上.
求证: PA = PB.
证明
证明：∵l⊥AB，
∴∠ACP =∠BCP.
又AC = BC，CP = CP
∴△PAC≌△PBC ( SAS ) .
∴PA = PB.
线段的垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
符号语言:
∵l⊥AB 于 C，AC = CB，(或者说 l 是 AB 的垂直平分线)
∴PA = PB.
反过来，如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
思考
A
B
P
二 线段垂直平分线的判定
分析：过点P作直线l，使得l⊥AB，垂足为O.
只要证明Rt△PAO≌Rt△PBO，就可求证.
如图，线段AB外任意一点P到点A，点B的距离相等.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
证明：过点P作直线l，使得l⊥AB，垂足为O.
∵l⊥AB， ∴∠POA=∠POB=90°.
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
PA=PB，
PO=PO，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）.
∴AO=BO.
∵AO=BO，∠POA=∠POB=90°,
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
A
B
P
l
O
归纳
通过证明可以得到：
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
A
B
P
l
O
符号语言：
已知线段AB，∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
从线段垂直平分线的性质和判定两个结论可以看出:在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点都在 l 上，所以直线 l 可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合.
A
B
P
l
O
例1 如图，AD⊥BC，BD = DC，点 C 在 AE 的垂直平分线上.
(1) AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB + BD 与 DE 有什么关系？
解：(1) ∵AD⊥BC，BD = DC，
∴AB = AC.
∵点 C 在 AE 的垂直平分线上，
∴AC = CE.
∴AB = AC = CE.
∴AB + BD = CE + DC = DE.
(2) 由 (1) 知 DE = AB + BD，
∵△ABC 的周长是 AB + BC+ AC = AB + BC+ CE = 13.
∴△ABE的周长为 AB + BC+ CE + AE
= 13+6= 19.
(2) 若 AE = 6，△ABC 的周长是 13，求△ABE 的周长.
例2 如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E是AC上一点，连接DE，BE，求证：∠ABE=∠ADE.
A
D
E
B
C
证明：连接DB.
∵AB=AD，BC=DC,
∴点A和点C都在线段BD的垂直平分线上.
∴AC是线段BD的垂直平分线.
∵E是AC上的一点， ∴BE=DE.
在△ABE和△ADE中，
AB=AD，
BE=DE，
AE=AE，
∴ △ABE≌△ADE(SSS). ∴∠ABE=∠ADE.
A
D
E
B
C
三 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
例3 已知：直线AB和AB外一点C(如图).
求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法：(1)任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁；
(2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E；
A
B
C
D
E
K
F
A
B
C
D
E
K
(3)分别以点D和点E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.
(4)作直线CF.
直线CF就是所求作的垂线.
1. 如图，在△ABC 中，AB = AC，DE 是 AB 的垂直平分线，△BCE 的周长为 24，BC = 10，则 AB = _______ .
分析：由 DE 是 AB 的垂直平分线可知：AE = BE.
△BCE 的周长为 BE + CE + BC
= AE + CE + BC = AC + BC = 24.
而 BC = 10，
∴AB = AC = 14.
14
随堂练习
2.已知，如图，AM 是△ABC 的角平分线，MF 是线段 BC 的垂直平分线，MD⊥AB 于 D，ME⊥AE 于 E，求证: BD = CE.
分析：由 AM 是△ABC 的角平分线 MD⊥AB 于 D，ME⊥AE 于 E 可知，MD = ME.
连接 MB，MC，
由 MF 是线段 BC 的垂直平分线，
有 MB = MC.
进而可证 Rt△BDM≌Rt△CEM (HL)
证明：连接 MB，MC，
∵AM 是△ABC 的角平分线，MD⊥AB，ME⊥AE，
∴MD = ME .
∵MF 是线段 BC 的垂直平分线，
∴MB = MC.
在 Rt△BDM 和 Rt△CEM 中
MD = ME，
MB = MC，
∴Rt△BDM≌Rt△CEM ( HL )
∴BD = CE.
遇到线段的垂直平分线上的点时，通常会连接这个点和线段两个端点，得到相应的两条线段相等.
3. 如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，试说明 AD 与 EF 的关系.
解：∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°.
又∵ AD＝AD，
∴△ADE≌△ADF(AAS).
∴ AE＝AF，DE＝DF.
∴ A、D 均在线段 EF 的垂直平分线上，
即直线 AD 垂直平分线段 EF.
A
B
C
D
E
F
4.如图，某乳业公司要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站M应建在什么地方，才能使A，B到它的距离相等
可以先作线段AB的垂直平分线，与街道的交点就是奶站M的位置.
居民区A
·
居民区B
·
街道
·
M
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
线段垂直平分线
尺规作图
线段垂直平
分线的判定
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
线段垂直平
分线的性质
经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
课堂小结
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin