13.4 课题学习 最短路径问题 课件(共29张PPT) 【2023秋人教八上数学高效实用备课】
文档属性
| 名称 | 13.4 课题学习 最短路径问题 课件(共29张PPT) 【2023秋人教八上数学高效实用备课】 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 7.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-09 17:32:46 | ||
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文档简介
(共29张PPT)
人教八上数学同步精品课件
人教版八年级上册
第十三章 轴对称
13.4 最短路径问题
第4节 课题学习
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1. 利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题.
2. 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为
数学问题的思想.
学习目标
重点
难点
问题1 如图，连接 A、B 两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
路线②最短，
两点之间，线段最短.
新课引入
问题2 点 P 是直线 l 外一点，点 P 与直线 l 上各点的连线中，哪条线段最短？为什么？
PC 最短，
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
问题1 如图，牧马人从 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B地，牧马人到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？
一 牧马人饮马问题
你能将这个实际问题抽象成数学问题吗？
新知学习
如图，如果把河边l近似地看成一条直线，C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为:
A
B
l
C
如右图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短
由这个问题，我们可以联想到下面的问题:
B
l
A
当点C在l的什么位置时，AC与CB 的和最小.
连接AB两点，交直线l于点C，则点C即为所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.
依据：两点之间，线段最短.
B
l
A
C
你能利用两点分别在直线两侧的解题思路，来解决两点在直线同一侧的问题吗？
思考
如果我们能够把点B移到l的另一侧B′处，同时对直线l上的任意一点C，都保持BC=B′C，就可以将问题转化为“两点分别在直线两侧的情况”.
你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点B'吗
如图，作出点B关于l的对称点B′，利用轴对称的性质，可以得到BC=B′C.
B′
A
B
l
C
此时，问题转化为：当点C在l的什么位置时，AC+B′C的值最小？
C
B′
A
B
l
C′
如图，在连接A，B'两点的线中，线段AB'最短.因此，线段AB'与直线l的交点C的位置即为所求.
你能证明这个结论吗？
C
B′
A
B
l
C′
证明
证明：在直线l上任意取一点C′（不与点C重合），
连接AC′，BC′，B′C′.
由轴对称的性质可得：BC=B′C，BC′=B′C′，
则AC+BC=AC+B′C=AB′，
AC′+BC′=AC′+B′C′.
在△AB′C′中，AB′所以AC+BC例1 如图，已知点 D，点 E 分别是等边三角形 ABC 中 BC、AB 边的中点，AD = 5，点 F 是 AD 边上的动点，则 BF + EF 的最小值为_____.
分析：
利用轴对称转移线段，将问题转化为研究过的“牧马人饮马”问题.
解：∵点B 和 点C 关于直线 AD 对称，
∴BF = CF .
求BF + EF 最小值，只需 CF + EF 最小.
连接EC，线段 CE 的长即为 BF + EF 的最小值.
∵D、E 是等边△ABC 中 BC、AB 的中点，
∴CE = AD = 5.
针对训练
1.两棵树的位置如图所示，树的底部分别为点A，B，有一只昆虫沿着A至B的路径在地面爬行，小树的树顶D处有一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小虫在AB之间何处被小鸟抓住时，小鸟飞行路程最短，在图中画出该点的位置.
解：如图，作点D关于AB的对称点D′，连接D′C交AB于点E，则点E即为所求.
二 造桥选址问题
问题2 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
你能将这个实际问题抽象成数学问题吗？
如图，我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.这样，上面的问题可以转化为:
A
B
a
b
M
N
由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋NB最小时，AM+MN+BN最小.
当点N在直线b的什么位置时，AM+MN＋NB最小
A
B
a
b
M
N
这样，问题就进一步转化为:
能否通过图形的变化（轴对称、平移等)，把这个问题转化为“牧马人饮马”的情况
当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小
将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.
这样问题转化为：
A
B
a
b
M
N
A′
当点N在直线b的什么位置时，A′N+ NB的值最小？
如图，在连接A'，B两点的线中，线段A'B最短.因此，线段A'B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的.
A
B
a
b
M
N
A′
M′
N′
你能证明这个结论吗？
证明
证明：在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B.
∵在△A′N′B中，A′B∴A′N+NB即A′N+NB+MN∴AM+NB+MN即AM+NB+MN的值最小.
A
B
a
b
M
N
A′
M′
N′
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.
归纳
例2 如图，某河在CC1处直角拐弯，河宽均相同，现要在河流拐弯的两旁分别造桥DD1，EE1，桥要与河垂直，问如何造桥可使ADD1E1EB的路程最短？
A
B
B1
A1
D
D1
E
E1
C
C1
解：如图，作 AA1⊥CD，且 AA1 = 河宽，作 BB1⊥CE，且 BB1 = 河宽，连接 A1B1，与内河岸相交于 E1，D1. 过 E1，D1作河岸的垂线段 EE1 、DD1，即为桥.
1.如图，在直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为(1,4) 和 (3,0)，点 C 是 y 轴上的一个动点，当△ABC 的周长最小时点 C 的坐标是（ ）
A．(0，3) B．(0，2)
C．(0，1) D．(0，0)
随堂练习
此时△ABC 的周长最小. 然后依据点 A 与点 B′ 的坐标可得到 B′E、AE 的长，证明△B′EA为等腰直角三角形，再证明△B′OC′ 为等腰直角三角形即可得出答案.
B′
C′
E
答案：A
解析：如图，作 B 点关于 y 轴对称点 B′，连接 AB′，交 y 轴于点 C′，
2.某大学建立分校,本部与分校隔着两条平行的小河.如图,小河甲的两岸为l1,l2,且l1//l2,小河乙的两岸为l3,l4,且l3//l4，A为本部大门,B为分校大门.为了方便两校区人员来往,要在两条小河上各建一座桥,桥面垂直于河岸.为使A,B两点间来往路径最短,试在图中画出
符合条件的路径,并标明桥的位置.
A
B
B1
A1
l1
l2
l3
l4
最短路径问题
牧马人饮马
问题
造桥选址
问题
C
B′
A
B
l
A
B
a
b
M
N
A′
课堂小结
谢谢
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第十三章 轴对称
13.4 最短路径问题
第4节 课题学习
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1. 利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题.
2. 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为
数学问题的思想.
学习目标
重点
难点
问题1 如图，连接 A、B 两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
路线②最短，
两点之间，线段最短.
新课引入
问题2 点 P 是直线 l 外一点，点 P 与直线 l 上各点的连线中，哪条线段最短？为什么？
PC 最短，
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
问题1 如图，牧马人从 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B地，牧马人到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？
一 牧马人饮马问题
你能将这个实际问题抽象成数学问题吗？
新知学习
如图，如果把河边l近似地看成一条直线，C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为:
A
B
l
C
如右图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短
由这个问题，我们可以联想到下面的问题:
B
l
A
当点C在l的什么位置时，AC与CB 的和最小.
连接AB两点，交直线l于点C，则点C即为所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.
依据：两点之间，线段最短.
B
l
A
C
你能利用两点分别在直线两侧的解题思路，来解决两点在直线同一侧的问题吗？
思考
如果我们能够把点B移到l的另一侧B′处，同时对直线l上的任意一点C，都保持BC=B′C，就可以将问题转化为“两点分别在直线两侧的情况”.
你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点B'吗
如图，作出点B关于l的对称点B′，利用轴对称的性质，可以得到BC=B′C.
B′
A
B
l
C
此时，问题转化为：当点C在l的什么位置时，AC+B′C的值最小？
C
B′
A
B
l
C′
如图，在连接A，B'两点的线中，线段AB'最短.因此，线段AB'与直线l的交点C的位置即为所求.
你能证明这个结论吗？
C
B′
A
B
l
C′
证明
证明：在直线l上任意取一点C′（不与点C重合），
连接AC′，BC′，B′C′.
由轴对称的性质可得：BC=B′C，BC′=B′C′，
则AC+BC=AC+B′C=AB′，
AC′+BC′=AC′+B′C′.
在△AB′C′中，AB′
分析：
利用轴对称转移线段，将问题转化为研究过的“牧马人饮马”问题.
解：∵点B 和 点C 关于直线 AD 对称，
∴BF = CF .
求BF + EF 最小值，只需 CF + EF 最小.
连接EC，线段 CE 的长即为 BF + EF 的最小值.
∵D、E 是等边△ABC 中 BC、AB 的中点，
∴CE = AD = 5.
针对训练
1.两棵树的位置如图所示，树的底部分别为点A，B，有一只昆虫沿着A至B的路径在地面爬行，小树的树顶D处有一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小虫在AB之间何处被小鸟抓住时，小鸟飞行路程最短，在图中画出该点的位置.
解：如图，作点D关于AB的对称点D′，连接D′C交AB于点E，则点E即为所求.
二 造桥选址问题
问题2 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
你能将这个实际问题抽象成数学问题吗？
如图，我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.这样，上面的问题可以转化为:
A
B
a
b
M
N
由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋NB最小时，AM+MN+BN最小.
当点N在直线b的什么位置时，AM+MN＋NB最小
A
B
a
b
M
N
这样，问题就进一步转化为:
能否通过图形的变化（轴对称、平移等)，把这个问题转化为“牧马人饮马”的情况
当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小
将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.
这样问题转化为：
A
B
a
b
M
N
A′
当点N在直线b的什么位置时，A′N+ NB的值最小？
如图，在连接A'，B两点的线中，线段A'B最短.因此，线段A'B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的.
A
B
a
b
M
N
A′
M′
N′
你能证明这个结论吗？
证明
证明：在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B.
∵在△A′N′B中，A′B
A
B
a
b
M
N
A′
M′
N′
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.
归纳
例2 如图，某河在CC1处直角拐弯，河宽均相同，现要在河流拐弯的两旁分别造桥DD1，EE1，桥要与河垂直，问如何造桥可使ADD1E1EB的路程最短？
A
B
B1
A1
D
D1
E
E1
C
C1
解：如图，作 AA1⊥CD，且 AA1 = 河宽，作 BB1⊥CE，且 BB1 = 河宽，连接 A1B1，与内河岸相交于 E1，D1. 过 E1，D1作河岸的垂线段 EE1 、DD1，即为桥.
1.如图，在直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为(1,4) 和 (3,0)，点 C 是 y 轴上的一个动点，当△ABC 的周长最小时点 C 的坐标是（ ）
A．(0，3) B．(0，2)
C．(0，1) D．(0，0)
随堂练习
此时△ABC 的周长最小. 然后依据点 A 与点 B′ 的坐标可得到 B′E、AE 的长，证明△B′EA为等腰直角三角形，再证明△B′OC′ 为等腰直角三角形即可得出答案.
B′
C′
E
答案：A
解析：如图，作 B 点关于 y 轴对称点 B′，连接 AB′，交 y 轴于点 C′，
2.某大学建立分校,本部与分校隔着两条平行的小河.如图,小河甲的两岸为l1,l2,且l1//l2,小河乙的两岸为l3,l4,且l3//l4，A为本部大门,B为分校大门.为了方便两校区人员来往,要在两条小河上各建一座桥,桥面垂直于河岸.为使A,B两点间来往路径最短,试在图中画出
符合条件的路径,并标明桥的位置.
A
B
B1
A1
l1
l2
l3
l4
最短路径问题
牧马人饮马
问题
造桥选址
问题
C
B′
A
B
l
A
B
a
b
M
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A′
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