2023-2024学年北师大版数学九年级上册 1.1 菱形的性质与判定 同步练习（含解析）

1.1 菱形的性质与判定
基础
1.如图，菱形ABCD中，∠D=150 ，则∠1=（ ）
A.30 B.25 C.20 D.15
2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=130 ，则∠AOE的大小为（ ）
A.75 B.65 C.55 D.50
3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论：
①AC⊥BD；
②OA=OB；
③∠ADB=∠CDB；
④△ABC是等边三角形．
其中一定成立的是（ ）
A.①② B.③④ C.②③ D.①③
4.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点C坐标是3,4，则顶点A、B的坐标分别是（ ）
A.4,0，7,4 B.4,0，8,4 C.5,0，7,4 D.5,0，8,4
5.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的只有（ ）
A.AC⊥BD B.AB=BC C.AC=BD D.∠1=∠2
6.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是 （ ）
A.485cm B.245cm C.125cm D.53cm
7.如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60 ，则花坛对角线AC的长度等于（ ）
A.63米 B.6米 C.33米 D.3米
8.将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当∠B=90 时，如图1，测得AC=2．当∠B=60 时，如图2，AC=（ ）
A.2 B.2 C.6 D.22
9.在平行四边形ABCD中，AB=5，AC=6，当BD= 时，四边形ABCD是菱形．
10.已知：线段a．
求作：菱形ABCD，使得AB=a且∠A=60 ．
以下是小丁同学的作法：
作线段AB=a；
分别以点A，B为圆心，线段a的长为半径作弧，两弧交于点D；
再分别以点D，B为圆心，线段a的长为半径作弧，两弧交于点C；
连接AD，DC，BC．
则四边形ABCD即为所求作的菱形．（如图1）
老师说小丁同学的作图正确．
则小丁同学的作图依据是： ．
答案与解析
1.D
解析: ∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，∠BAD=2∠1，
∵∠D=150 ，
∴∠BAD=30 ，
∴∠1=15 ．
2.B
解析: ∵∠ADC=130 ，
∴∠BAD=50 ，
∴∠EAO=25 ，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90 25 =65 .
3.D
解析: 根据菱形的对角线互相垂直平分可得：①正确；②错误；根据菱形的对角线平分一组内角可得：③正确；④错误．
4.D
解析: 由C的坐标可得菱形边长为32+42=5，
又∵菱形对边相互平行，
∴A5,0，B8,4，
故选D．
过C作CE⊥OA于E，
∵顶点C的坐标是3,4，
∴OE=3，CE= 4，
∴OC=OE2+CE2=32+42=5，
∴点A的坐标为5,0，
5+3=8，
点B的坐标为8,4．
故选：D．
5.C
6.B
解析: S菱=AC BD 12=24cm2，
∴S△ABC=12cm2，
而BC=OB2+OC2=5，
∴AE=2 S△ABC÷BC=2 12÷5=245．
∵四边形ABCD是菱形，
∴CO=12AC=3cm，BO=12BD=4cm，
AO⊥BO，
∴BC=AO2+BO2=5cm，
∴S菱形ABCD=BD AC2=12×6×8=24cm2，
∵S菱形ABCD=BC×AE，
∴BC×AE=24，
∴AE=24BC=245cm．
故选B．
7.A
解析:
∵四边形ABCD为菱形，设对角线交点为O，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD=24÷4=6（米），
∵∠BAD=60 ，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=6（米），OD=OB=3（米），
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：OA=62 32=33（米），
则AC=2OA=63米．
8.A
解析: 如图1，
∵AB=BC=CD=DA，∠B=90 ，
∴四边形ABCD是正方形，
连接AC，则AB2+BC2=AC2，
∴AB=BC=12AC2=12×22=2，
如图2，
∠B=60 ，连接AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=BC=2．
9.8
解析: 取AC 与BD的交点为点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC、BD互相垂直平分，
∵AC=6，
∴OA=12AC=3，
∴OB=AB2 OA2=52 32=4，
∴BD=2OB=8．
故答案是：8．
10.三边都相等的三角形是等边三角形；等边三角形的每个内角都是60 ；四边都相等的四边形是菱形
解析: 三边都相等的三角形是等边三角形；等边三角形的每个内角都是60 ；四边都相等的四边形是菱形．
进阶
1.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA=6，OH=4，则菱形ABCD的面积为（ ）
A.72 B.24 C.48 D.96
2.如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①S△ADE=S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有（ ）
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
3.如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE//CA，DF//BA，下列四个判断中，不正确的是(　　)
A.四边形AEDF是平行四边形
B.如果∠BAC=90 ，那么四边形AEDF是矩形
C.如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
D.如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是菱形
4.如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长为（ ）
A.53cm B.25cm C.485cm D.245cm
5.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．下列条件使四边形BECF为菱形的是（ ）
A.BE⊥CE B.BF//CE C.BE=CF D.AB=AC
6.如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC=24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG=（ ）
A.13 B.10 C.12 D.5
7.如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=60 ，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是3，则AB的长为（ ）
A.3 B.3 C.6 D.23
8.如图，菱形ABCD中，∠D=60 ，CD=4，过AD的中点E作AC的垂线，交CB的延长线于点F．则EF的长为 ．
9.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD=DC，∠ABC=∠C，过点D做DE//AB交BC于E，连接AE、BD．求证：AE⊥BD．
10.如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角∠BAC的角平分线AE交BC于点E，AF是CD边上的中线，且PC⊥CD与AE交于点P，QC⊥BC与AF交于点Q．
求证：四边形APCQ是菱形．
答案与解析
1.C
解析: 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD=90 ，
∴BD=2OH，
∵OH=4，
∴BD=8，
∵OA=6，
∴AC=12，
∴菱形ABCD的面积=12AC BD=12×12×8=48．
故选：C．
2.B
解析: 解：①正确
∵E是OA的中点．
∴AE=OE．
∵S△ADE=12×AE×OD=12×OE×OD=S△EOD，
∴S△ADE=S△EOD．
②正确
∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点．
∴EF⊥OD，OE=OF，OD=OB，
∴DE=DF，DE=BE．
同理：BE=BF
∴四边形BFDE是菱形．
③正确
∵菱形ABCD的面积=12AC×BD．
∵E、F分别是OA、OC的中点．
∴EF=12AC．
∴菱形ABCD的面积=EF×BD．
④不正确
由已知可求得∠FDO=∠EDO，而无法求得∠ADE=∠EDO．
⑤正确
∵EF⊥OD，OE=OF，OD=OD．
∴△DEO≌△DFOSAS．
∴△DEF是轴对称图形．
∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤．
故选B．
3.D
解析: 解：由DE//CA，DF//BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形AEDF是平行四边形；
又由∠BAC=90 ，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形，故A、B正确；
如果AD平分∠BAC，那么∠EAD=∠FAD，
又由DF//BA，可得∠EAD=∠ADF，
∴∠FAD=∠ADF，
∴AF=FD，那么根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，故C正确；
如果AD⊥BC且AB=AC，那么AD平分∠BAC，可得四边形AEDF是菱形，只有AD⊥BC，不能判定四边形AEDF是菱形，故D选项错误，
故选D．
4.D
解析: ∵四边形ABCD是菱形，
∴CO=12AC=3cm，BO=12BD=4cm，AO⊥BO，
∴BC=AO2+BO2=5cm，
∴S菱形ABCD=BD×AC2=12×6×8=24cm2，
∵S菱形ABCD=BC×AE，
∴BC×AE=24，
∴AE=245cm．
5.D
解析: 条件是AB=AC，
理由是：∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴EF⊥BC，BD=DC，
∵DE=DF，
∴四边形BECF是平行四边形，
∵EF⊥BC，
∴四边形BECF是菱形，
选项A、B、C的条件都不能推出四边形BECF是菱形，
即只有选项D正确，选项A、B、C错误；
故选D．
6.B
解析:
连接BD，交AC于点O，
由题意知：菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴AB=BC=CD=DA=13，EF//BD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC=24，
∴AC⊥BD，AO=CO=12，OB=OD，
又∵AB//CD，EF//BD，
∴DE//BG，BD//EG，
在四边形BDEG中，
∵DE//BG，BD//EG，
∴四边形BDEG是平行四边形，
∴BD=EG，
在△COD中，
∵OC⊥OD，CD=13，CO=12，
∴OD=OB=5，
∴BD=EG=10，
故选B．
7.D
解析: 连接BD交AC于O，
如图：∵四边形ABCD是菱形，
∴B与D关于直线AC对称，
∴连接DM交AC于P，
则点P即为所求，
BP+PM=PD+PM=DM，
即DM就是PM+PB的最小值（根据的是两点之间线段最短），
∵∠DAB=60 ，
∴AD=AB=BD，
∵M是AB的中点，
∴DM⊥AB，
∵PM+PB=3，
∴DM=3，
∵DM=22 1BM，
∴AB=AD=23．
故选：D．
8.43
解析: 连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，∠CDB=∠CBD=12∠ADC=30 ，AC⊥BD，
∴OC=12CD=2，OD=3OC=23，
∴ BD=2OD=43,
∵EF⊥AC，
∴BD//EF．
∴四边形EFBD为平行四边形，
∴EF=BD=43;
故答案为：43.
9.证明见解析．
解析: ∵AD//BC，DE//AB，
∴四边形ABED是平行四边形．
∵DE//AB，
∴∠DEC=∠ABC．
∵∠ABC=∠C，
∴∠DEC=∠C，
∴DE=DC．
∵AD=DC，
∴AD=DE．
∴平行四边形ABED为菱形，
∴AE⊥BD．
10.证明见解析．
解析: ∵AB=AC=AD，BC=CD，∴△BAC≌△DAC．
∴∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD．
又AB=AC，AE是∠BAC的平分线，
∴AE⊥BC，BE=CE（等腰三角形三线合一性质）
又AC=AD，AF是CD边上的中线，
∴AF⊥CD，AF是∠CAD的平分线（等腰三角形三线合一性质）
从而得∠EAC=∠FAC．
∵PC⊥CD，QC⊥BC，∠ACB=∠ACD，
∴∠PCE=∠QCF，
∴∠ACP=∠ACQ，
又AC=AC，
∴△APC≌△AQC．
∴PC=QC．
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90 ，
∴∠EPC+∠PCE=90 ．
∵QC⊥BC，
∴∠PCE+∠PCQ=90 ．
∴∠BPC=∠PCQ．
∴AP//CQ．同理AQ//PC．
∴四边形APCQ是平行四边形．
∵PC=QC，
∴四边形APCQ是菱形．