2023-2024学年北师大版数学九年级上册 1.2 矩形的性质与判定 同步练习（含答案）

1.2 矩形的性质与判定
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1. 如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是( )
A．∠A＋∠B＝180° B．∠B＋∠C＝180°
C．∠A＝∠B D．∠B＝∠D
2. 如图，要使 ABCD成为矩形，需添加的条件是( )
A．AB＝BC B．∠ABC＝90°
C．AC⊥BD D．∠1＝∠2
3. 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，能使四边形DBCE成为矩形的是( )
A．AB＝CD B．BE⊥DC
C．BC∥AE D．CE⊥DE
4. 能判断四边形是矩形的条件是( )
A．两条对角线互相平分 B．两条对角线相等
C．两条对角线互相平分且相等 D．两条对角线互相垂直
5. 如图，在平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是( )
A．OM＝AC B．MB＝MO
C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND
6. 在数学活动课中，老师要求判断一个四边形门框是否为矩形，下面某合作小组的四位同学拟定的方案中，正确的是( )
A．测量对角线是否互相平分
B．测量两组对边是否相等
C．测量一组对角是否为直角
D．测量四个角是否都为直角
7. 如图，在 ABCD中，AD＝3，CD＝2.连接AC，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F.若∠AFC＝2∠D，则四边形ABEC的面积为(　　)
A． B．2 C．6 D．2
8. 以下条件不能判定四边形ABCD是矩形的是( )
A．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°
B．OA＝OB＝OC＝OD
C．AB＝CD，AB∥CD，AC＝BD
D．AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD
9. 如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，在下列条件中，能使四边形EFGH为矩形的是( )
A．AB＝CD B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．AD∥BC
10. 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点(且点P不与点B，C重合)，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为( )
A．4 B．4.8 C．5.2 D．6
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11. 如图，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件：_____________或_________________________，使四边形ABCD为矩形
12. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，AC＝BD.试添加一个条件__________，使四边形ABCD为矩形．
13. 已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD.其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是_________.
14. 如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理______________________________________________________．
15. 如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是__ __．
16. 如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于点G，连接GH，当AD，AB满足_________(关系)时，四边形EFGH为矩形．
三．解答题（共6小题， 56分）
17．(6分) 如图，在 ABCD中，E是BC的中点，且EA＝ED.求证：四边形ABCD是矩形；
18．(8分) 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，求证： ABCD是矩形；
19．(8分) 如图，在 ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．
20．(10分) 如图，在 ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形．
21．(12分) 如图，在 ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)求证：四边形AECF是矩形．
22．(12分) 如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG，CF.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
参考答案
1-5CBDCA 6-10DBDCB
11. ∠B＝90°；∠BAC＋∠BCA＝90°
12. AB∥CD
13. ②
14. 对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角
15. 2
16. AB＝AD
17. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，又∵EA＝ED，BE＝CE，∴△ABE≌△DCE，∴∠B＝∠C，∵AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝×180°＝90°，∴ ABCD是矩形　
18. 证明：∵△AOB为等边三角形，∴OA＝OB.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD＝BD，OA＝OC＝AC.∴BD＝AC.∴ ABCD是矩形．
19. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD＝BC，∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，∵E为BC的中点，∴EB＝EC，∴△ABE≌△FCE(AAS)，∴AB＝CF.∵AB∥CF，∴四边形ABFC是平行四边形，又AD＝AF，AD＝BC，∴BC＝AF，∴四边形ABFC是矩形
20. 解：∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC，∴∠GAB＝∠BAD，∠GBA＝∠ABC.∵ ABCD中，∠DAB＋∠ABC＝180°，∴∠GAB＋∠GBA＝(∠DAB＋∠ABC)＝90°，即∠AGB＝90°.同理可得，∠DEC＝90°，∠AHD＝90°＝∠EHG.∴四边形EFGH是矩形
21. 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(AAS)
(2)∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°.∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEC＝90°，∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，∴四边形AECF是矩形
22. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD.∴∠ABE＝∠CDF.又∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，∴△ABE≌△CDF(SAS)
(2)当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形，理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA.又∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°.同理可得CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF.又∵EG＝AE＝CF，∴四边形EGCF是平行四边形．又∵∠OEG＝90°，∴平行四边形EGCF是矩形