2023-2024学年北师大版数学九年级上册 1.3 正方形的性质与判定 同步练习 （含解析）

1.3 正方形的性质与判定
基础
1.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为正方形，需要添加的条件是（ ）
A.AB=CD B.AC=BD
C.AC⊥BD D.AC=BD且AC⊥BD
2.如图，在学习“四边形”一章时，小明的书上有一图因不小心被滴上墨水，看不清所印的字，请问被墨迹遮盖了的文字应是（ ）
A.四边形 B.梯形 C.矩形 D.筝形
3.下列命题错误的是（ ）
A.有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形
B.有一组邻边相等的矩形是正方形
C.有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
D.有一个角是直角的菱形是正方形
4.如图，要使平行四边形ABCD是正方形，需增加条件．在条件①AB=BC，②∠ABC=90 ，③AC=BD，④AC⊥BD中选取两个作为条件，不正确的是（ ）
A.①和② B.②和③ C.①和③ D.②和④
5.如图，在正方形ABCD的外侧，以AD为边作等边△ADE，连接BE，则∠AEB的度数为（ ）
A.15 B.20 C.25 D.30
6.如图，在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=AC，连接AE交CD于F，则∠AFC等于（ ）
A.112.5 B.120 C.135 D.145
7.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90 ，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（ ）
A.48 B.60 C.76 D.80
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A 3,0，B的横坐标为2，则正方形ABCD的面积是（ ）
A.13 B.20 C.25 D.34
9.如图，已知，正方形ABCD的边长是a，正方形CEFG的边长为b，且点B、C、E在一条直线上．连结AG、GE、AE，则S△AGE=（ ）
A.12a2 B.12b2 C.12ab D.2a2+b2 ab
10.如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是（ ）
A.1 B.1.5 C.2 D.2.5
答案与解析
1.D
解析: 可添加AC=BD且AC⊥BD，理由如下：
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∵AC⊥BD，
∴矩形ABCD是正方形．
2.C
解析: 由四边形的性质与关系可知，四个角均为直角的菱形是正方形，长宽比为1:1的矩形是正方形，而矩形也是属于平行四边形的一种特殊四边形；同时，既是矩形，又是菱形的平行四边形是正方形，符合题意，所以被墨迹遮盖了的文字应是矩形．
故选C．
3.A
解析: ∵有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，∴A错误；
∵有一组邻边相等的矩形是正方形，∴B正确；
∵有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形，∴C正确；
∵有一个角是直角的菱形是正方形，∴D正确．
4.B
5.A
解析: 由题意易知AB=AE，∠BAE=∠BAD+∠DAE=90 +60 =150 ，
∴∠AEB=12180 ∠BAE=15 ．
6.A
解析: ∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ACD=90 ，
∴∠DCE=90 ，
又∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACF=45 ，
∴∠ACE=∠DCE+∠ACF=135 ，
∵CE=CA，
∴∠FAC=∠E=12180 135 =22.5 ．
∴∠AFD=∠FAC+∠ACF=22.5 +45 =67.5 ，
∴∠AFC=180 67.5 =112.5 ．
故选：A．
7.C
解析: ∵∠AEB=90 ，AE=6，BE=8，
∴在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=100，
∴S阴影=S正方形ABCD S△ABE=AB2 12×AE×BE=100 12×6×8=76．
8.D
解析: 过B作BH⊥x轴交于H点，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90 ，
∴∠DAO+∠BAH=90 ，
∠BAH+∠ABH=90 ，
∴∠DAO=∠ABH，
∵∠AOD=∠AHB=90 ，
∴△DAO≌△ABH，
∴OA=BH，AH=OD，
又∵A 3,0，B横坐标为2，
∴OA=3，OH=2，
∴OD=AH=5，
∴AD=OA2+OD2=32+52=34，
∴正方形ABCD的面积=34．
故选D．
9.B
解析: 用“等积变换”方法，如图，连结AC，易证AC//GE，
根据“平行线间的距离处处相等”，
可知△AGE和△CGE同底GE等高，
∴S△AGE=S△CEG=12b2，
故选B．
10.C
解析: 如图，连接AE，
∵AB=AD=AF，∠D=∠AFE=90 ，
在Rt△AFE和Rt△ADE中，∵AE=AEAF=AD，
∴Rt△AFE≌Rt△ADE，
∴EF=DE，
设DE=FE=x，则EC=6 x．
∵G为BC中点，BC=6，
∴CG=3，
在Rt△ECG中，根据勾股定理，得：6 x2+9=x+32，
解得x=2．
则DE=2．
进阶
1.如图，D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点，且DE//BA，DF//CA．要使四边形AFDE是正方形，可增加条件（ ）
A.AF=AE B.∠A=90 C.AD⊥EF D.AF=AE且∠A=90
2.如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC，则下列结论：（1）∠E=22.5 ；（2）∠AFC=112.5 ；（3）∠ACE=135 ；（4）AC=CE；（5）AD:CE=1:2，其中正确的有（ ）
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
3.在正方形ABCD中，E、F两点分别是BC、CD边上的点，若△AEF是边长为2的等边三角形，则正方形ABCD的边长是（ ）
A.3+12 B.2+32 C.2 D.3 12
4.如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE=4，过点E作EF//BC，分别交BD、CD于G、F两点．若M、N分别是DG、CE的中点，则MN的长为(　　)
A.3 B.23 C.13 D.4
5.如图，在边长为4的正方形ABCD内取一点E，使得BE=CE，连接ED、BD．BD与CE相交于点O，若∠EOD=75 ，则△BED的面积为（ ）
A.342 B.43 4 C.3+1 D.16 83
6.如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是 ．
A.25 2 B.25 C.25+2 D.4
7.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E；PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2，正确的有（ ）个．
A.5 B.4 C.3 D.2
8.如图，正方形ABCD的三个顶点A、B、D分别在长方形EFGH的边EF、FG、EH上，且C到HG的距离是1，到点H，G的距离分别为5，10，则正方形ABCD的面积为 ．
9.如图，面积为1的正方形ABCD中，M，N分别为AD，BC的中点，将C折至MN上，落在P点处，BQ为折痕，则以PQ为边长的正方形面积为 ．
10.如图：CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90 ，M、N、G、H分别为AE、AB、BD、DE的中点．求证：四边形MNGH为正方形．
答案与解析
1.D
解析: ∵DE//BA，DF//CA，∴四边形AFDE是平行四边形，
故当平行四边形邻边相等且有一个角为直角时，四边形AFDE是正方形．
2.A
解析: ∵正方形ABCD，
∴AD=DC，AD//BC且∠DAC=∠ACD=45 ，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠EAC=22.5 ，
∴∠E=22.5 ，（1）正确，
∵∠D=90 ，
∴∠AFC=90 +22.5 =112.5 ，（2）正确，
∵∠ACB=∠ACD=45 ，
∴∠ACE=135 （3）正确，
∵∠CAE=∠E=22.5 ，
∴AC=CE，（4）正确，
在Rt△ADC中，AD2+CD2=AC2，
∴2AD2=AC2，∴ADAC=12，∵AC=CE，
∴ADCE=12，（5）正确，
∴综上，正确的有5个，
选A．
3.A
解析: ∵由题意AE=AF，AB=AD，∠B=∠D，
∴△ADF≌△ABE，
∴BE=DF，
∴EC=FC，
由题意知∠C=90 ，
∴∠CFE=∠CEF=45 ，
∵EF=2，
∴EC=FC=1，
则在直角△AFD中得： AD2+AD 12=22，
解得AD=1+32．
4.C
解析: 解：连接FM、EM、CM，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=90 ，BC=CD，
∵EF//BC，
∴∠GFD=∠BCD=90 ，EF=BC，
∴EF=BC=DC，
∵∠BDC=12∠ADC=45 ，
∴△GFD是等腰直角三角形，
∵M是DG的中点，
∴FM=DM=MG，FM⊥DG，
∴∠GFM=∠CDM=45 ，
∴△EMF △CMDSAS，
∴EM=CM，
过M作MH⊥CD于点H，
由勾股定理得：BD=62+62=62，
EC=42+62=213，
∵∠EBG=45 ，
∴△EBG是等腰直角三角形，
∴EG=BE=4，
∴BG=42，
∴DM=2，
∴MH=DH=1，
∴CH=6 1=5，
∴CM=EM=12+52=26，
∵CE2=EM2+CM2，
∴∠EMC=90 ，
∵N是EC的中点，
∴MN=12EC=13；
故选C．
5.B
解析: 过点E作EF⊥CD于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=45 ，∠BCD=90 ，BC=CD．
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180 ，∠EOD=75 ，
∴∠OCB=180 75 45 =60 ．
∵BE=CE，
∴△BCE是等边三角形，
∴EC=BC=4，
∴∠ECD=90 60 =30 ．
∵EF⊥CD，
∴∠EFC=90 ，
∴EF=12EC=12×4=2，
∴S四边形BCDE=34 42+12×4×2=43+4，
∴S△BED=S四边形BCDE S△BCD=43+4 12×4×4=43 4．
故选B．
6.A
解析: 在正方形ABCD中，AB=AD=CD，
∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，
在△ABE和△DCF中，AB=DC∠BAD=∠CDAAE=DF，
∴△ABE≌△DCFSAS，
∴∠ABE=∠DCF，
在△ADG和△CDG中，AD=CD∠ADG=∠CDGDG=DG，
∴△ADG≌△CDGSAS，
∴∠DCF=∠DAG，
∴∠ABE=∠DAG，
∵∠BAH+∠DAG=∠BAD=90 ，
∴∠ABE+∠BAH=90 ，
∴∠AHB=180 90 =90 ，
取AB的中点O，连接OH、OD（图略），
则OH=AO=12AB=2，
在Rt△AOD中，OD=AO2+AD2=25，
根据三角形的三边关系，OH+DH>OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值为OD OH=25 2．
故选A．
7.B
解析: ①正确，连接PC，可得PC=EF，PC=PA，∴AP=EF；
②正确；延长AP，交EF于点N，则∠EPN=∠BAP=∠PCE=∠PFE，可得AP⊥EF；
③正确；∠PFE=∠PCE=∠BAP；
④错误，PD=2PF=2CE；
⑤正确，PB2+PD2=2PA2．
故选B．
8.13
解析: 过点C作CP⊥HG于P，CM⊥EH于M，CN⊥FG于N，
连接CH，CG．
∵C到HG距离为1，CH=5，CG=10，
∴在Rt△CPH中，HP=52 12=2，
在Rt△CPG中，GP=102 12=3，
∴MC=2，CN=3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DCB=90 ，∠DCM+∠BCN=90 ，DC=BC，
又∵∠MDC+∠DCM=90 ，
∴∠MDC=∠BCN，
又∵∠DMC=∠CNB=90 ，
∴△DMC≌△CNB（AAS），
∴DM=CN=3，
在Rt△DMC中，DC=DM2+MC2=32+22=13，
∴S正ABCD=132=13．
故答案为13．
9.13
解析: ∵N为BC的中点，
∴BN=NC=12BC=12，
∴PB=PC，
∴PN⊥BC，
∴∠PNC=90 ，
∵折叠，
∴△PQB≌△CQB，
∴PB=CB=1，
∴PC=1，
∵在△PCN中，∠PNC=90 ，
∴PN2+NC2=PC2，
∴PN2+14=1，
∴PN=34即32，
∵四边形ABCD是正方形 ,
∴∠D=∠DCB=90 ，AD//BC，
∴∠MNC+∠NMD=180 ，
∴∠NMD=90 ，
∴四边形NMDC是矩形，
∴NM=DC=1，
∴MP=1 32，
∵CQ=PQ，作QH⊥PN，
∴QH=12，NH=CQ=PQ，
又∵PN=32，设PQ=CQ=NH=x，
∴x2 122=32 x2，
解得x=33，
∴S=332=13．
10.证明见解析．
解析: 连接AD、BF，
∵M、N分别为AE、AB中点，
∴MN为△ABE的中位线，则MN//BE，且MN=12BE，
同理可得：GH//BE，且GH=12BE，
NG=MH=12AD，NG//MH//AD，
∴四边形MNGH为平行四边形，
∵AC=BC，CD=CE，∠ACD=∠BCE=90 ，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=AE，
∴NG=MH=GH=MN，
∴四边形MNGH为菱形，
∵MH//AD，
∴∠EMH=∠EAD=∠EBC，
∵MN//BE，
∴∠BEC=∠NMC，
∵∠BEC+∠EBC=90 ，
∴∠NMC+∠EMH=90 ，
∴∠NMH=90 ，
∴四边形MNGH为正方形．