2023-2024学年苏科版数学九年级上册 1.1 一元二次方程 同步练习（含答案）

1.1 一元二次方程
一．选择题(24分）
1. 下面关于x的方程中：① ； ② ；
③ ； ④ ； ⑤ ；
⑥ ． 是一元二次方程的个数是 （ ）
A. B. C. D.
2. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由 元降为 元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为 ，下面所列的方程中正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
3. 若实数 是关于 x 的方程 的根，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 关于 x 的一元二次方程 的一个根是 0，则 a 的值是 （ ）
A. B. C. 或 D. 或
5．若方程(m－3)x2＋x＝2023是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是( )
A. m为全体实数 B. m≥0 C. m≥0且m≠3　 D. m≠3
6．若关于x的一元二次方程3ax2＋2bx－3＝0的一个根为x＝1，则2032－9a－6b的值为( )
A. 2023 B. 2022　 C. 2021　 D. 2020
7．下表是某同学求代数式x2－x的值的情况，根据表格可知方程x2－x＝2的根是(　　)
x … －2 －1 0 1 2 3 …
x2－x … 6 2 0 0 2 6 …
A.x＝－1 B．x＝－1或x＝2 C．x＝0或x＝1 D．x＝0
8．已知方程x2＋bx＋a＝0有一个根是x＝－a(a≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是( )
A. ab　 B. C. a＋b D. a－b
二．填空题(24分)
9．在方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中，已知a＝－1，b＝0，c＝－5，则这个方程是____________．
10．若a，b，c是三角形三条边的长，且关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝6的一个实数根为1，则这个三角形的周长是________．
11．已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0有一个非零根b，则a＋b的值为____.
12.若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋m2－4＝0的常数项为0，则m的值为________．
13.若ax2－6x＝5是关于x的一元二次方程，则不等式5a＋10>0的解是________．
14．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.
(1)若a＋b＋c＝0，则方程的一个根为x＝____．
(2)若a－b＋c＝0，则方程的一个根为x＝____．
(3)若4a－2b＋c＝0，则方程的一个根为x＝____．
15．若关于的方程的一个根是2，则的值是 ．
16. 如果两个不同的方程 与 只有一个公共根，那么 a，b 满足的关系式为 ．
三。解答题（72分）
17．（5分）已知方程与方程都是关于的一元二次方程，求（a+b）2023·（a－b）2024的值．
18．（5分）已知关于x的一元二次方程（m－3）x2+4x+m2－9=0的一个根是零，求m的值．
19．（6分）当m分别取何值时，关于x的方程(m2＋2)x2＋(m－1)x－4＝3x2满足下列条件？
(1)是一元二次方程；
(2)是一元一次方程．
20．（5分）若2是关于x的一元二次方程x2－(3＋k)x＋12＝0的一个根，求以2和k为边长的等腰三角形的周长．
21．（6分）若x2a＋b－2xa－b＋3＝0是关于x的一元二次方程，求a，b的值．张敏是这样考虑的：a，b必须满足你认为张敏的这种想法全面吗？若不全面，请你说明其余满足的条件．
22．（5分）已知a，b是方程x2－x－3＝0的两个根，求代数式2a3＋b2＋3a2－11a－b＋5的值．
23．（6分）已知a＝－＋2.
(1)求a，c的值．
(2)若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，有一个根是x＝1，求b的值．
24．（6分）已知这样一道题目：把方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编为下面的两个小题．
(1)下列式子中，有哪几个是方程x2－x＝2所化的一元二次方程的一般形式(答案只写序号) ①x2－x－2＝0；②－x2＋x＋2＝0；③x2－2x＝4；④－x2＋2x＋4＝0；⑤x2－2x－4＝0.
(2)方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？
25．（8分）(1)已知x＝＋1，求x3－9x＋6的值．
(2)已知x＝－4是方程x2－mx＋4＝0的一个根，试化简：－.
26．（6分）已知a是方程2x2＋3x－1＝0的一个根，求代数式的值．
27.（6分）观察以下方程：①；②；③；④，解答下列问题：
上面的四个方程有三个方程的一次项系数有共同特点，请你用代数式表示出这个特点；
请你写出符合这个条件的一元二次方程的一般形式．
28.. （8分）请阅读下列材料：
问题：已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的 2 倍．
解：设所求方程的根为 y，则 ，所以 ．
把 代入已知方程，得 ，
化简，得 ，
故所求方程为 ．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称之为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数，则所求方程为 ；
（2）已知关于 x 的一元二次方程 有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
教师样卷
一．选择题(24分）
1. 下面关于x的方程中：① ； ② ；
③ ； ④ ； ⑤ ；
⑥ ． 是一元二次方程的个数是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】 A 【解析】① 的二次项系数可能为 ；
② 化成一般形式是一元二次方程；③ 不是整式方程； ④ 是三次方程； ⑤ 化简后是一次方程； ⑥ 是一次方程．
2. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由 元降为 元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为 ，下面所列的方程中正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】 B 【解析】由题意可列方程为 ．
3. 若实数 是关于 x 的方程 的根，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】 A 【解析】将 代入方程得 ，提取 得 ．因为 ，所以 ，所以 ．
4. 关于 x 的一元二次方程 的一个根是 0，则 a 的值是 （ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】 A 【解析】 关于 的一元二次方程 的一个根是 ， 满足该方程，且 且 ．解得 ．
5．若方程(m－3)x2＋x＝2023是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是(C)
A. m为全体实数 B. m≥0 C. m≥0且m≠3　 D. m≠3
【答案】C
6．若关于x的一元二次方程3ax2＋2bx－3＝0的一个根为x＝1，则2032－9a－6b的值为( )
A. 2023 B. 2022　 C. 2021　 D. 2020
【答案】A
7．下表是某同学求代数式x2－x的值的情况，根据表格可知方程x2－x＝2的根是(　　)
x … －2 －1 0 1 2 3 …
x2－x … 6 2 0 0 2 6 …
A.x＝－1 B．x＝－1或x＝2 C．x＝0或x＝1 D．x＝0
【答案】B
8．已知方程x2＋bx＋a＝0有一个根是x＝－a(a≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是( )
A. ab　 B. C. a＋b D. a－b
【答案】 D【解】　∵方程x2＋bx＋a＝0有一个根是x＝－a(a≠0)，∴(－a)2＋b(－a)＋a＝0，即a2－ab＋a＝0.又∵a≠0，∴等式的两边同除以a，得a－b＋1＝0，∴a－b＝－1.
二．填空题(24分)
9．在方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中，已知a＝－1，b＝0，c＝－5，则这个方程是____________．【答案】－x2－5＝0
10．若a，b，c是三角形三条边的长，且关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝6的一个实数根为1，则这个三角形的周长是________．【答案】6
11．已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0有一个非零根b，则a＋b的值为____.
【答案】-1
12.若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋m2－4＝0的常数项为0，则m的值为________．
【答案】－2
13.若ax2－6x＝5是关于x的一元二次方程，则不等式5a＋10>0的解是________．
【答案】a>－2且a≠0
14．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.
(1)若a＋b＋c＝0，则方程的一个根为x＝____．
(2)若a－b＋c＝0，则方程的一个根为x＝____．
(3)若4a－2b＋c＝0，则方程的一个根为x＝____．
【答案】（1）1 （2）-1 （3）-2 【解】(1)当x＝1时，有a＋b＋c＝0，故x＝1.(2)当x＝－1时，有a－b＋c＝0，故x＝－1. (3)当x＝－2时，有4a－2b＋c＝0，故x＝－2.
15．若关于的方程的一个根是2，则的值是 ．【答案】5
16. 如果两个不同的方程 与 只有一个公共根，那么 ， 满足的关系式为 ．
【答案】. 【解析】设公共根为 ，则 ，， ． 有唯一的值， ，
． 把 代入 得 ．
三。解答题（72分）
17．（5分）已知方程与方程都是关于的一元二次方程，求（a+b）2023·（a－b）2024的值．
【答案】由题意得a=1，b=－1．当a=1，b=－1时，（a+b）2023·（a－b）2024=02023·（1+1）2=4；
18．（5分）已知关于x的一元二次方程（m－3）x2+4x+m2－9=0的一个根是零，求m的值．
【答案】∵方程（m－3）x2+4x+m2－9=0的一个根为0，∴把x=0代入方程得m2－9=0，∴m=±3．∵m－3≠0，∴m=－3．
19．（6分）当m分别取何值时，关于x的方程(m2＋2)x2＋(m－1)x－4＝3x2满足下列条件？
(1)是一元二次方程； (2)是一元一次方程．
【答案】：原方程可化为(m2－1)x2＋(m－1)x－4＝0.
(1)当m2－1≠0，即m≠±1时，原方程是一元二次方程．
(2)当m2－1＝0，且m－1≠0，即m＝－1时，原方程是一元一次方程．
20．（5分）若2是关于x的一元二次方程x2－(3＋k)x＋12＝0的一个根，求以2和k为边长的等腰三角形的周长．
【答案】：把x＝2代入方程，解得k＝5.①若三边长为2，5，5，则周长为2＋5＋5＝12.
②若三边长为2，2，5，∵2＋2<5，不符合题意，∴舍去．∴等腰三角形的周长为12.
21．（6分）若x2a＋b－2xa－b＋3＝0是关于x的一元二次方程，求a，b的值．张敏是这样考虑的：a，b必须满足你认为张敏的这种想法全面吗？若不全面，请你说明其余满足的条件．
【答案】：不全面，还有或或或
22．（5分）已知a，b是方程x2－x－3＝0的两个根，求代数式2a3＋b2＋3a2－11a－b＋5的值．
【答案】∵a，b是方程x2－x－3＝0的两个根，∴a2－a－3＝0, b2－b－3＝0，即a2＝a＋3, b2＝b＋3，∴原式＝2a(a＋3)＋b＋3＋3(a＋3)－11a－b＋5＝2a2－2a＋17＝2(a2－a)＋17＝23.
23．（6分）已知a＝－＋2.
(1)求a，c的值．
(2)若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，有一个根是x＝1，求b的值．
【答案】　(1)∵a＝－＋2，∴c－3≥0，3－c≥0，∴c＝3，∴a＝2.
(2)由(1)可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0可化为2x2＋bx＋3＝0.
∵这个方程有一个根是x＝1，∴2＋b＋3＝0，∴b＝－5.
24．（6分）已知这样一道题目：把方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编为下面的两个小题．
(1)下列式子中，有哪几个是方程x2－x＝2所化的一元二次方程的一般形式(答案只写序号)
①x2－x－2＝0；②－x2＋x＋2＝0；③x2－2x＝4；④－x2＋2x＋4＝0；⑤x2－2x－4＝0.
(2)方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？
【答案】　(1)①②④⑤. (2)把方程x2－x＝2化为一般形式x2－2x－4＝0，
它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有的关系为：
二次项系数∶一次项系数∶常数项＝1∶(－2)∶(－4)．
25．（8分）(1)已知x＝＋1，求x3－9x＋6的值．
【解】　∵x＝＋1，∴(x－1)2＝()2，∴x2－2x－5＝0，∴x3－9x＋6＝x3－2x2－5x＋2x2－4x＋6＝x(x2－2x－5)＋2(x2－2x－5)＋10＋6＝16.
(2)已知x＝－4是方程x2－mx＋4＝0的一个根，试化简：－.
【解】　∵x＝－4是方程x2－mx＋4＝0的一个根，∴(－4)2－(－4)m＋4＝0，解得m＝－5，
∴原式＝－＝1－2m－(4－m)＝－3－m＝2.
26．（6分）已知a是方程2x2＋3x－1＝0的一个根，求代数式的值．
【解】　∵a是方程2x2＋3x－1＝0的一个根，∴2a2＋3a－1＝0，即2a2＋3a＝1，
∴原式＝＝＝
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27.（6分）观察以下方程：①；②；③；④，解答下列问题：
上面的四个方程有三个方程的一次项系数有共同特点，请你用代数式表示出这个特点；
请你写出符合这个条件的一元二次方程的一般形式．
【答案】：上面的四个方程有三个方程①③④的一次项系数有共同特点为一次项系数为奇数（是整数）；．
28.. （8分）请阅读下列材料：
问题：已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的 2 倍．
解：设所求方程的根为 y，则 ，所以 ．
把 代入已知方程，得 ，
化简，得 ，
故所求方程为 ．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称之为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数，则所求方程为 ；
（2）已知关于 x 的一元二次方程 有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
【答案】（1） （2） 设所求方程的根为 则 ，
于是 ．把 代入方程 ，
得 ，去分母，得 ．若 ，有 ，即 ，可得有一个解为 ，所以方程 有一个根为 ，不符合题意，所以 ，故所求方程为 ．