北师大版六年级上册1.5圆的面积（一）同步学案（含解析）

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北师大版六年级上册1.5圆的面积（一）
知识梳理
1、圆的面积计算公式的推导。
将圆转化成学过的平行四边形，求面积。
圆的面积=平行四边形的面积。
如果用S表示圆的面积，r表示圆的半径，那么圆的面积计算公式可以表示为S=πr2
2、圆的面积计算公式的应用
已知半径求面积，直接用公式S=πr2计算；已知周长求面积，用公式
S=π（）2计算。
真题练习
一、选择题
1．在解决下面四个问题时，都运用了（ ）策略。
a．如图①方式，推导三角形面积公式的过程。
b．如图②方式，推导圆面积公式的过程。
c．计算1.2×3.6时，先看成12×36，再在积中添上小数点。
d．计算12÷时，可以这样算12÷＝12×。
A．画图 B．替换
C．倒推 D．转化
2．如图，把圆分成若干（偶数）等份，拼成一个近似长方形，长方形的宽是1cm，长是（ ）cm。
A．2 B．3.14 C．6.28 D．12.56
3．一个圆的直径扩大到原来的4倍，它的面积扩大到原来的（ ）倍。
A．4 B．8 C．16
4．把一个圆切割后拼成一个近似的长方形，它们的（ ）。
A．面积和周长都相等 B．面积相等，周长不相等 C．面积不相等，周长相等
5．一个圆的周长和正方形的周长都是6.28分米，圆的面积（ ）正方形的面积。
A．大于 B．小于 C．等于
二、填空题
6．在学习圆的面积计算公式时，是通过转化的思想，把圆转化成长方形后推导出来的。小明把一个圆转化成近似长方形后，发现圆的周长比长方形周长少8厘米，如图，那么原来圆的面积是( )平方厘米。
7．在一个长6cm，宽3cm的长方形中剪出一个最大的半圆，这个半圆的周长是( )cm，面积是( )。
8．一个圆的半径是5米，请你算一算，这个圆的直径是( )米，周长是( )米，面积是( )平方米。
9．把一个圆等分后拼成一个近似的平行四边形，平行四边形的周长比圆的周长增加了10厘米，这个圆的周长是( )厘米，面积是( )厘米2。
10．把圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似三角。沿线剪开形，再拼成平行四边形。平行四边形的底相当于圆的_______，高相当于圆的_______，平行四边形面积＝底×高，所以圆的面积：S＝_______×_______＝_______。
三、图形计算题
11．计算下面图形的周长和面积。
四、解答题
12．把一张周长24分米的正方形纸剪成一个最大的圆。圆的周长和面积各是多少？
13．李大爷用篱笆围成一个半圆形菜园，直径是4米，篱笆的长是多少米？这个菜园的面积是多少平方米？
14．完成下列各题。
（1）线为对称轴，画出下面方格纸中图形的轴对称图形。（每个方格的边长是1厘米）
（2）看一看，这个图案像________。算一算，这个图案的面积一共是多少平方厘米？
15．如图所示，把一个圆分成若干等份，拼成一个近似的长方形。如果长方形的周长是16.56厘米，圆的面积是多少平方厘米？
我是这样想的：从如图可以看出长方形的长近似于圆的（ ），宽近似于圆的（ ）。因为长方形的周长＝（长＋宽）×2，如果用r表示圆的半径，那么长方形的周长也可以用含有字母r的式子表示为：［πr＋（ ）］×2＝16.56，这样就可算出r＝（ ），从而就可以求出圆的面积来。
参考答案
1．D
【解析】
【详解】
A．如图①方式，推导三角形面积过程，把两个相同的三角形转化为一个平行四边形，利用平行四边形面积公式，推导出三角形面积公式，用了转化策略；
B．如图②方式，是圆的面积公式的推导，把圆的面积转化为近似长方形面积，再根据长方形面积推导出圆的面积，运用了转化策略；
C．计算1.2×3.6时，先看成12×36，再在积中添上小数点，把小数乘法转化成整数乘法，运用了转化策略；
D．计算12÷时，根据除以一个数等于乘这个数的倒数，可以转化为12÷＝12×，此处运用了转化策略。
综上所述，四个问题都运用了转化策略。
故答案为：D
【点睛】
转化在是学习新知识的时候常用的策略，通过把新知识转化为旧的知识来解答，再根据用旧知识解答的过程形成新知识的解决方案。
2．B
【解析】
【分析】
根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆分成若干等份，拼拼成一个近似长方形（如图），这个长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，根据圆的周长公式：C＝2πr，把数据代入公式解答。
【详解】
2×3.14×1÷2
＝6.28÷2
＝3.14（cm）
故答案为：B
【点睛】
此题考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程，以及圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。
3．C
【解析】
【分析】
根据圆的面积S＝πr2，如果直径扩大到原来的4倍，那么半径也会扩大到原来的4倍，分别表示出圆面积扩大前后的大小，相除即可。
【详解】
由分析可知，假设圆的半径原来是r，那么扩大后就是4r。
π（4r）2＝16πr2，
（16πr2）÷（πr2）＝16，所以面积扩大到原来的16倍。
故选择：C
【点睛】
此题主要考查了圆的面积，需牢记公式并能灵活运用。明确如果半径（直径）扩大n倍，那么面积就扩大n2倍。
4．B
【解析】
根据剪拼方法可得，把圆等分成若干份拼成近似的长方形后，周长比原来增加了2条半径的长度，面积不变；据此即可判断。
【详解】
把一个圆切割后拼成一个近似的长方形，它们的面积相等，周长不相等。
故答案为：B。
【点睛】
解题时要明确将圆剪拼成长方形时面积不变，周长增加。
5．A
【解析】
【分析】
根据圆和正方形的周长，分别计算出圆和正方形的面积，比较大小即可。
【详解】
圆的面积：
3.14×（6.28÷3.14÷2）2
＝3.14×1
＝3.14（平方分米）
正方形的面积：
（6.28÷4）2
＝1.57×1.57
＝2.4649（平方分米）
3.14＞2.4649，所以圆的面积大于正方形的面积。
故答案为：A
【点睛】
在平面图形中，周长相等的长方形、正方形和圆，圆的面积最大，长方形的面积最小。
6．50.24
【解析】
【分析】
拼成的长方形的两个长的和是圆的周长，长方形的两个宽的和是圆的直径；长方形的周长比圆的周长多一条直径的长，所以可用计算出圆的半径，再根据圆的面积公式求解。
【详解】
圆的半径：
圆的面积：
所以圆的面积是：50.24（平方厘米）
【点睛】
本题的关键是理解转化的长方形的长是什么，宽是什么，再根据圆的面积公式求解，需要学生有一定的空间想象能力。
7．15.42 14.13
【解析】
【分析】
根据长方形内最大的半圆的特点可知，这个半圆的直径是长方形的长6厘米，半径是长方形的宽3厘米，由此利用半圆的周长＝它所在的整圆的周长的一半＋直径及半圆的面积＝大圆面积÷2，将数值代入公式即可解答。
【详解】
周长：3.14×6÷2＋6
＝18.84÷2＋6
＝9.42＋6
＝15.42（cm）
面积：3.14×32÷2
＝3.14×9÷2
＝28.26÷2
＝14.13（cm2）
【点睛】
本题考查圆的周长和面积公式的灵活应用，关键是掌握长方形内最大的半圆的特点以及半圆的周长的计算方法。
8．10 31.4 78.5
【解析】
【分析】
依据直径＝r×2；周长＝2πr；面积＝πr2，代入数据即可解答。
【详解】
直径是：5×2＝10（米）
周长是：2×3.14×5＝31.4（米）
面积是：3.14×52＝78.5（平方米）
【点睛】
此题考查了关于圆的公式的计算应用，关键要熟练掌握公式。
9．31.4 78.5
【解析】
【分析】
由题意可知：平行四边形的周长比圆的周长多两条圆的半径，由此求出圆的半径，带入圆的周长、面积公式计算即可。
【详解】
10÷2＝5（厘米）
3.14×5×2
＝3.14×10
＝31.4（厘米）
3.14×52＝78.5（平方厘米）
【点睛】
明确“平行四边形的周长比圆的周长多两条圆的半径”是解题的关键。
10．周长的一半 半径 πr r πr2
【解析】
【分析】
把圆平均分成若干份，拼成一个近似的平行四边形，平行四边形的高即圆的半径，平行四边形的底即圆周长的一半，据此即可解答问题。
【详解】
由分析可知可得，平行四边形的底相当于圆的一半，高相当于圆的半径
设圆的半径为r
则圆的面积＝平行四边形的面积＝πr×r＝πr2。
【点睛】
本题主要考查圆的面积推导公式，解答此题的关键是应明确：把圆平均分成若干份，拼成一个近似的平行四边形，平行四边形的底等于圆的周长的一半，平行四边形的高等于圆的半径。
11．周长：31.4cm；面积：78.5cm2
【解析】
【分析】
圆的周长公式：；圆的面积公式：。题目给出了圆的直径，根据周长及面积公式直接计算。
【详解】
12．周长18.84分米；面积28.26平方分米
【解析】
【分析】
在一个正方形的硬纸板上剪一个最大的圆，所剪成的圆的直径和正方形是边长相等，根据正方形的边长＝周长÷4求出正方形的边长，也就是圆的直径，再利用圆的周长公式：C＝πd即可求出周长；直径除以2求出圆的半径，最后利用圆的面积公式：S＝π×r2即可求解。
【详解】
24÷4＝6（分米）
周长：3.14×6＝18.84（分米）
面积：3.14×（6÷2）2
＝3.14×9
＝28.26（平方分米）
答：圆的周长是18.84分米，面积是28.26平方分米。
【点睛】
此题主要考查的是正方形中画最大圆，灵活运用圆的周长、面积计算公式进行解答。
13．10.28米；6.28平方米
【解析】
【分析】
篱笆的长也就是半圆的周长，根据圆的周长C＝πd，先求出圆的周长，除以2，再加上直径即可；求菜园的面积，也就是求圆面积的一半，根据圆的面积S＝πr2，求出圆的面积，再除以2即可。
【详解】
3.14×4÷2＋4
＝6.28＋4
＝10.28（米）
3.14×（4÷2）2÷2
＝3.14×4÷2
＝6.28（平方米）
答：篱笆长10.28米，菜地的面积是6.28平方米。
【点睛】
此题考查了半圆的周长和面积计算，牢记圆的周长和面积计算公式，注意求半圆的周长记得加直径长度。
14．（1）图见详解
（2）笑脸，12.56平方厘米
【解析】
【分析】
（1）先找出所给圆的圆心关于虚线的对称点，然后以一格长度为半径画圆，再画 圆关于虚线对称的部分即可。
（2）观察图案，根据圆的面积S＝πr2，求出两个圆和一个半圆的面积，相加即可。
【详解】
（1）作图如下：
（2）3.14×12×2＋3.14×22÷2
＝6.28＋6.28
＝12.56（平方厘米）
答：这个图案像笑脸，面积是12.56平方厘米。
【点睛】
此题考查了补全轴对称图形以及有关圆的面积计算。
15．周长的一半、半径、r、2；12.56平方厘米
【解析】
【分析】
把一个圆平均分成若干份，然后，拼成一个近似的长方形，这个长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，拼成的长方形的周长＝圆的周长＋2个半径；设半径为r，由此求出半径，再根据圆的面积公式s＝πr2，列式解答。
【详解】
解：设圆的半径为r厘米
（πr＋r）×2＝16.56
4.14r×2＝16.56
8.28r＝16.56
r＝2
圆的面积是：3.14×22
＝3.14×4
＝12.56（平方厘米）
答：圆的面积是12.56平方厘米。
【点睛】
此题解答关键是通过把圆转化成近似长方形，根据拼成的长方形的周长＝圆的周长＋2个半径；列方程求出半径，再根据圆的面积公式解答。
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