24.1.2 垂直于弦的直径 课件(共32张PPT)【2023秋人教九上数学高效实用备课】

(共32张PPT)
人教九上数学同步精品课件
人教版九年级上册
24.1.2 垂直于弦的直径
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1.理解圆的对称性．
2.探索并证明垂径定理的性质和推论.
3.灵活运用垂径定理解决相关的计算与应用．
学习目标
重点
难点
新课引入
圆的定义是什么？
·
旋转定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆．
集合定义：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合
什么叫做弦？
连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.
弦
直径
什么叫做弧？
连圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.
弧
我们学习完圆的定义后，这节课来学习一下圆的性质
探究
问题1：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，
你发现了什么？由此你能得到什么？
圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
新知学习
温馨提示：因为对称轴是直线，而直径是线段，所以不能说圆的直径是圆的对称轴.
问题2：你能证明上述结论吗？
如图，设CD是⊙O的任意一条直径， A为⊙O上点C，D以外的任意一点.
该怎么证明前面的结论呢？
O
A＇
D
M
A
·
C
证明：过点A，作AA′⊥CD,交⊙O于点A′,垂足为M，连接OA,OA′.
在△OAA′中，OA=OA′,
所以△OAA′是等腰三角形.
又∵AA′⊥CD，
∴AM=MA′.
即CD是AA′的垂直平分线
对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，
因此⊙O关于直线CD对称.即
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径 CD⊥AB， 垂足为 E.你能发现图中有哪些相等的线段和弧
·
O
D
E
A
B
C
二、垂径定理及其推论
线段：AE = BE
弧：
CD是⊙O 直径
CD⊥AB
AE=BE
(
(
AD=BD
(
(
AC=BC
你能证明吗？
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
归纳
∵ CD 是⊙O 的直径，CD⊥AB于点E，
∴ AE = BE，
数学语言：
·
O
D
E
A
B
C
文字语言：一条直线若满足:①过圆心②垂直于弦
则③平分弦
④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧
过圆心
例1 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
O
A
B
C
A
B
D
C
O
E
A
B
O
E
C
A
B
O
C
D
E
①过圆心 ②垂直于弦
例2 如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为 10 cm，点O到直线AB的距离为 6 cm，则 AB = cm.
·
O
A
B
E
解析：连接 OA，作OE垂直AB
∵ OE⊥AB，
∴ AB = 2AE = 16 (cm).
16
∴
(cm).
做辅助线的方法：
①连半径
②作弦心距
结论：()2 +弦心距2 =半径2
例3 如图，⊙O 的弦 AB＝8 cm ，直径 CE⊥AB 于 D，DC＝2 cm，求半径 OC 的长.
·
O
A
B
E
C
D
解：连接 OA. ∵ CE⊥AB 于 D，
∴
设 OC = OA = x cm，则 OD = x - 2，根据勾股定理，得
解得 x = 5.
即半径 OC 的长为 5 cm.
x2 = 42 + ( x - 2)2，
做辅助线的方法：连半径
结论：()2 +弦心距2 =半径2
例4 如图 a、b，一弓形弦长为 　 cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，则弓形的高为____________.
C
图 b
D
C
B
O
A
D
O
A
B
图 a
2 cm 或 12 cm
指弧中点到弦的距离
试一试
上面我们学习了垂径定理的文字语言描述如下：
·
O
D
E
A
B
C
一条直线若满足:
①过圆心②垂直于弦
则③平分弦
④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧
已知①②
可推出
③④⑤
猜想：已知①③
？
②④⑤
猜想1：如果有一条直径平分一条弦，那么它就能垂直于这条弦，也能评分这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧
·
O
D
E
A
图示：
·
O
D
A
B
C
C
B
·
O
D
E
A
B
C
·
O
D
E
A
B
C
被平分的弦是直径
被平分的弦不是直径
猜想1：如果有一条直径平分一条弦，那么它就能垂直于这条弦，也能评分这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧
图示：
·
O
D
A
B
C
被平分的弦是直径
反例：
·
O
D
A
B
C
直径虽然平分弦但不垂直于弦
所以猜想1有问题，我们不妨要求被平分的弦不能是直径，提出猜想2再来研究一下是否成立
猜想2：如果有一条直径平分一条不是直径的弦，那么它就能垂直于这条弦，也能评分这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧
已知：如图，CD 是⊙O 的直径，CD平分弦AB于点E.
求证：CD ⊥AB于点E ，
= ， =
·
O
D
E
A
B
C
证明： 连接 AO、BO，则 AO = BO.
在△OAB中，∵OA=OB
∴△OAB是等腰三角形.
∵CD平分弦AB于点E，
∴OE⊥AB于点E，
即CD⊥AB与点E.
∴
= ， =
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD 是⊙O 的直径，CD平分AB于点E，
∴ CD ⊥ AB于点E，
数学语言：
·
O
D
E
A
C
B
试一试：更换条件你还能证明吗？
探究
①过圆心
②垂直于弦
③平分弦
④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧
猜想3：已知①⑤
？
②③④
猜想3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧.
·
O
D
E
A
C
B
正确
已知 结论 命题
①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
①③ ②④⑤ 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧
①⑤ ②③④
②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧
②④ ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧
②⑤ ①③④
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧
③⑤ ①②④
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦
归纳
例5 赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.
解：如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为 O，半径为 R.
经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC，D 为垂足，OC 与 相交于点C，连接OA，根据垂径定理，D是AB的中点，C 是 的中点，CD 就是拱高. 由题设可知
AB=37，CD=7.23，
所以 AD= AB= ×37=18.5， OD=OC-CD=R-7.23.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，
即R2=18.52+(R-7.23)2.解得R≈27.3.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.
1. 在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为 5cm，油面宽 AB 为 6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为 8cm，则油面 AB上升了（　　）cm．
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
D
思路点拨：上升的过程中油面宽度为8cm不止是一个时刻。
注意圆中的多种情况
随堂练习
2.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，若AB=10，CD=8，则图中阴影部分的面积为 .　
20
3.如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
C
思路点拨：将点坐标转化为线段长度
4.工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图(1)所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图(1)所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图(2)是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为(　　)
A. 10 cm B. 15 cm
C. 20 cm D. 24 cm
C
1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
2、垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.【知二推三】
课堂小结
3、常见辅助线：①连半径；②做弦的垂线
构造直角三角形，有如下关系：
已知 结论 命题
①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
①③ ②④⑤ 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧
①⑤ ②③④
②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧
②④ ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧
②⑤ ①③④
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧
③⑤ ①②④
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦
谢谢
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