24.1.4 圆周角 课件(共32张PPT)【2023秋人教九上数学高效实用备课】

(共32张PPT)
人教九上数学同步精品课件
人教版九年级上册
24.1.4 圆周角
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理
2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题
3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.
4.掌握圆内接四边形的概念及性质，并能灵活运用
学习目标
重点
难点
难点
问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角，并说说识别圆心角的需要注意什么？
顶点在圆心的角叫圆心角，∠BOC.
注意点：①顶点在圆心上②两条边和圆相交.
A
新课引入
问题2 弧、弦、圆心角的关系定理是什么？
相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
相等的弦所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧也相等.
问题3 如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点
A
∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点.
那么像着这种顶点在圆上的角叫做什么？它又有什么形式呢？这就是我们本节课需要探究的内容.
A
O
B
C
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角．如图，∠ACB．
注意：(1)圆周角必须具备两个条件：
①顶点在圆上；②两边都与圆相交.
(2)同一条弧所对的圆周角有无数个.
新知学习
如图所示，可以一直往下画弧AB的圆周角.
·
C
O
B
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
例1 下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
（2）
（1）
（3）
（4）
是
不是，顶点不在圆上
不是，边AC没有和圆相交
不是，顶点不在圆上
·
C
O
B
A
（5）
是，边AC、AB是射线延长后可与圆相交
·
C
O
B
A
（6）
不是，边AC、AB没有和圆相交
名称 关系 圆心角 圆周角
区别 顶点在圆心 顶点在圆上
一条弧所对的圆心角唯一 一条弧所对的圆周角有无数个
联 系 角两边都与圆相交
问题1：分别测量下图中 所对的圆周角∠BAC 和圆心角∠BOC的度数，它们之间有什么关系？
探究
问题2：在☉O上任意取一段弧，作出它所对的圆周角和圆心角，测量他们的度数，结论还成立吗？你发现了什么规律？
成立，可以发现，同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.
②圆心O在∠BAC的内部
①圆心O在∠BAC的一边上
③圆心O在∠BAC的外部
问题3：你能证明这个猜想吗？
①圆心O在∠BAC的一边上
证明：
∵　OA=OC，
∴　∠A=∠C．
又∵　∠BOC=∠A+∠C
∴
O
A
B
D
O
A
C
D
O
A
B
C
D
②圆心O在∠BAC的内部
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
B
D
③圆心O在∠BAC的外部
如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ，D 是⊙O上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由.
D
探究
∴∠BAC=∠BDC.
解：相等. 理由如下：
，
∵
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.
A1
A2
A3
注意：“同弧或等弧”若改为“同弦或等弦”结论就不成立了.因为一条弦所对的圆周角有两种情况：优弧上的圆周角和劣弧上的圆周角.
如图，线段AB是☉O的直径，点C是☉O上的任意一点（除点A、B外），那么∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想一想，∠ACB会是怎样的角？
·
O
A
C
B
解：∵AB是直径，点O是圆心，
∴∠AOB=180°.
∵∠ACB是直径AB所对的圆周角，
∴∠ACB= ∠AOB=90°.
探究
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
例2如图，点A，B，C是⊙O上点，且∠AOB＝50°，则∠ACB 等于（　）
A．20° B．25°
C．30° D．50°
B
例3.如图，⊙O直径AC为10cm，弦AD为6cm.
（1）求DC的长；
解：(1)∵AC是直径，
∴ ∠ADC=90°.
在Rt△ADC中，
（2）∵ AC是直径,∴ ∠ABC=90°.
∵BD平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.
∵∠ACB=∠ADB ,∠BAC=∠BDC .
∴ ∠BAC=∠ACB,
∴AB=BC.
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
B
（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B, 连接AB、BC，求AB、BC的长．
三、圆内接四边形
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 如，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆.五边形ABCDE是⊙O的内接五边形，⊙O是五边形ABCDE的外接圆.
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形.
思考
圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
如图，连接OB，OD．
∵∠A所对的弧为 ，∠C所对的弧为 ，
又∵ 和 所对的圆心角的和是周角，
∴
同理
圆内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补.
如图，如延长DC至E，判断∠BCE与角A的关系，并说明理由.
思考
E
延伸：圆内接四边形的外角等于内对角
解：∵延长DC至E，
∴∠BCD+∠BCE=180°，
又∵圆的内接四边形对角互补，
∴∠A+∠BCD=180°，
∴∠BCE=∠A.
例4 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=140°，则∠BCD的度数为____________.
110°
随堂练习
1.如图，在⊙O中， ，∠BAC＝50°，则∠AEC的度数为(　　)
A．65°　 　 B．75°
C．50° D．55°
A
2.如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B=20°，则∠CAD的度数为( )
C
A.60° B.65° C.70° D.75°
3.求证：圆内接平行四边形是矩形.
证明：如图∵平行四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B=∠D，∠B+∠D=180°，
∴∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
定理
定义
顶点在圆上，两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆内接四边形的对角互补.
圆周角
圆内接四边形
推论
1.同弧或等弧所对的圆周角相等.
2.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
课堂小结
谢谢
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