24.2.2 第2课时切线的判定和性质 课件(共25张PPT)【2023秋人教九上数学高效实用备课】

(共25张PPT)
人教九上数学同步精品课件
人教版九年级上册
24.2.3 第2课时切线的判定和性质
第二十四章 圆
24.2 点和圆 直线和圆的位置关系
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1. 会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.
2. 理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.
3. 能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.
学习目标
重点
难点
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都和圆是什么位置关系？
都与圆相切.
新课引入
根据直线与圆的位置关系，判定切线的方法有哪些？
①与圆只有一个交点；
②圆心到直线的距离等于半径
还有没有什么其它的方法？
一、切线的判定定理
如图，在 ⊙O 中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA，则圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和 ⊙O 有什么位置关系？
l
O
A
∵OA为⊙O的半径，且OA⊥l
∴圆心 O 到直线 l 的距离d=r,
∴直线l为⊙O的切线.
新知学习
思考
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
A
B
C
O
归纳
数学语言
∵OA为⊙O的半径，直线 BC⊥OA于点A，
∴直线BC与⊙O相切，切点为A.
切线的判定方法：
A
B
C
O
归纳
(1)定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线
(2)数量关系法：到圆心的距离等于半径的直线是圆
的切线
(3)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的
切线
例1. 下列命题中，真命题是(　　)
A. 垂直于半径的直线是圆的切线
B. 经过半径外端的直线是圆的切线
C. 经过切点的直线是圆的切线
D. 圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线
D
例2. 如图，直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C，且 OA = OB，CA = CB．
求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线．
分析：已知AB 过 ⊙O 上的点 C，连接 OC，只要证
明 AB⊥OC 即可.
O
B
C
A
证明：如图，连接 OC .
∵ OA = OB，CA = CB，
∴ OC 是等腰△OAB 底边 AB 上的中线，　
∴ OC⊥AB.
∵OC 是 ⊙O 的半径，∴ AB 是 ⊙O 的切线.
判定切线的常见辅助线作法：
1.已知交点时，连半径，证垂直；
2.交点不确定时，作垂直，证半径
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D．
求证：AC 是⊙O 的切线．
B
C
D
A
E
证明：如图，过 D 作 DE⊥AC 于 E.
∵∠ABC = 90°，∴ DB⊥AB.
又∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AC，
∴ DE = DB = r.
∴ AC 是⊙O 的切线.
二、切线的性质定理
思考
①OA 为 ⊙O 的半径
②BC⊥OA 于点 A
③BC 为 ⊙O 的切线
判定定理：
①+③→② ？ 用上面的形式呈现这个
理由是：直径 AB 与直线 CD 要么垂直，要么不垂直.
C
D
B
O
A
M
证法：反证法
性质定理的证明
证明：假设 AB 与 CD 不垂直，
过点 O 作一条直径垂直于 CD，垂足为 M；
根据垂线段最短， 得 OM即圆心到直线 CD 的距离< ⊙O 的半径，
因此，CD 与 ⊙O 相交.
这与已知条件“直线与 ⊙O 相切”相矛盾；
所以假设不成立，即 AB 与 CD 垂直.
A
l
O
切线性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径．
归纳
OA 为 ⊙O 的半径
直线 l 与 ⊙O 相切于A
直线 l ⊥OA
应用条件
例4 如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与 ⊙O相切于点 D. 求证：AC 是 ⊙O 的切线.
B
O
C
D
A
点 O 向 AC 所作的垂线段 OE
OE = OD
OE 是 ⊙O 的半径
AC 是 ⊙O 的切线
证明：如图，连接 OD，OA，过 O 作 OE⊥AC 于 E.
∵⊙O 与 AB 相切于 D，
又∵△ABC 为等腰三角形，O 是 BC 的中点，
∴ AO 平分∠BAC.
∴ OD = OE.
∴ AC 是 ⊙O 的切线．
E
B
O
C
D
A
∴OD⊥ AB.
交点不确定时，要作垂直，证半径
切线性质题目做法：
主要是构造直角三角形，把问题转化为勾股定理，解直角三角形的问题.
例5. 如图，PB 切☉O 于点 B，PB = 4，PA = 2，则 ☉O 的半径是多少？
O
P
B
A
解：连接 OB，如图. 则∠OBP = 90°.
设☉O 的半径为 r，则
OA = OB = r，OP = OA + PA = r + 2.
在 Rt△OBP 中，
OB2 + PB2 = PO2，
即 r2 + 42 = (2 + r)2.
解得 r = 3，
即☉O 的半径为 3.
1. 如图，在 ⊙O 中，AB 为直径，BC 为弦，CD 为切线，连接 OC. 若∠BCD = 50°，则∠AOC 的度数为(　　)
A. 40°
B. 50°
C. 80°
D. 100°
C
随堂练习
2. 如图，AB为☉O的直径，C为☉O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D. 求证：AC平分∠DAB.
证明：连接OC.
∵CD为☉O的切线，
∴OC⊥CD，
又∵OC⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠ACO=∠DAC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠OAC，
∴∠DAC=∠OAC，
∴AC平分∠DAB
3.已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，
(1)求证：DE是⊙O的切线．
(1)证明：连接OE、OD，
在△AOD和△EOD中，
∴△AOD≌△EOD（SSS），∴∠OED＝∠BAC＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）当BC＝10，AD＝4时，求⊙O的半径．
(2)解：∵△AOD≌△EOD，
∴∠AOD＝∠EOD，
∵OB＝OE，∴∠B＝∠OEB，
∵∠AOE＝∠B+∠OEB，
∴∠BEO＝∠EOD∴OD∥BC，又AO＝BO，
，由勾股定理得，
则⊙O的半径为3.
课堂小结
切线的性质
有 1 个公共点
d = r
性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时常用辅助线添加方法：
见切线，连切点，得垂直.
切线的判定
和性质
判定
1.定义法
2.数量关系法
3.判定定理
证切线时，常用辅助线作法：
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
谢谢
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