福建省龙岩市永定区2023-2024学年高二上学期暑期教学测试数学试题（Word版含答案）

龙岩市永定区2023-2024学年高二上学期暑期教学测试
数学试卷
（考试时间：120分钟 总分：150分）
注意事项：
1．答题前，学生务必在练习卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名。学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本练习卷上无效。
3．答题结束后，学生必须将练习卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列1，，2，，4，…，根据该数列的规律，16是该数列的（ ）
A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项
2．已知数列的通项公式为：，数列的前n项和为，若对任意的正整数n，不等式恒成立，则实数c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．记是公差为4的等差数列的前n项和.若，则（ ）
A．4 B．24 C．30 D．32
4．等比数列的前n项和为，已知，则（ ）
A． B． C．9 D．10
5．已知数列的前项和满足，有结论：
① 若，则；
② 数列是常数列.
关于以上两个结论，正确的判断是（ ）
A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立
C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立
6．等差数列中，若，则n的值为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
(
高二数学
试卷第
1
页，共
3
页
)
7．已知是数列的前项和数列是公差为1的等差数列，则（ ）
A．480 B．479 C．291 D．290
8．用［x］表示不超过x的最大整数，如,，数列满足, (),若，则的所有可能取值构成的集合为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知数列的前n项和是，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，则是等比数列
C．若是等差数列，则，，成等差数列
D．若是等比数列，则，成等比数列
10．已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最大值为
11．在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，k称为公差比下列说法正确的是（ ）
A．等差数列一定是等差比数列
B．等差比数列的公差比一定不为0
C．若，则数列是等差比数列
D．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比
12．记数列的前n项和为，数列的前n项和为，若，点在函数的图像上，则下列结论正确的是（ ）
A．数列递增 B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．数列的前项和为，已知，且任意正整数，都有，若恒成立，则实数的最小值为 ．
14．在数列中，，且，则 .
15．若成等差数列；成等比数列，则等于 .
16．已知数列满足，数列的前n项和为，若，则k的最大值为 ．
四、解答题:共70分。第17题10分，第18题至第22题均12分/题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在等差数列中，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
18．已知等差数列满足：，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设等比数列满足，，求的前6项和.
19．已知数列满足，且．
(1)求证：数列等差数列，并求出数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
20．已知数列中，，，令.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前14项和.
21．王先生今年初向银行申请个人住房贷款100万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息）.
(1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还15000元，最后一个还贷月应还6500元，试计算王先生该笔贷款的总利息；
(2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为，.银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为23000元，试判断王先生该笔贷款能否获批.（不考虑其他因素）参考数据，，
22．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下列问题.
已知数列的前n项和为，，且满足__________.
(1)证明:数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)设，数列{}的前n项和为.
（i）求；
（ii）判断是否存在互不相等的正整数p，q，r使得p，q，r成等差数列且成等比数列，若存在，求出满足条件的所有p，q，r的值；若不存在，请说明理由注:如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
龙岩市永定区2023-2024学年高二上学期暑期教学测试
数学试卷参考答案：
1．D【详解】根据规律可得，令，可得，故16是该数列的第9项．故选：D.
2．B 3．C 4．D【详解】因为，可得，设数列的公比为q，则．所以．故选：D．
5．C【详解】由，得时，，
两式相减得：，
，故①成立，由以上可知，当时， ，
当时，，即，即，只有当时，，此时数列是常数列，当时，，此时数列不是常数列，故②不成立，故选：C
6．B【详解】由等差数列下标和性质知：，，
因为，故，又，
故，所以.故选：B.
7．A 8．B【详解】对两边取到数，整理得；
所以
由得，即数列为增函数，因为，所以；因此，其整数部分为0；，其整数部分为1；
故的所有可能取值构成的集合为.
9．ABC【详解】若，当时，,
时，，, ，是等差数列，故A正确；若，当时， ,，
时，， ，是等比数列，B正确；
设等差数列的公差为，首项是,
，同理 ，因此则 ，，成等差数列，C正确；若等比数列的公比，则 不可能成等比数列，D错误；故选：ABC.
10．ABD【详解】设等差数列的公差为，则，解得.
对于A选项，，A对；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，故当或时，取最小值，C错；
对于D选项，，
故当时，取得最大值，D对.故选：ABD.
11．BCD【详解】对于数列，考虑，无意义，所以A选项错误；若等差比数列的公差比为0，，则与题目矛盾，所以B选项说法正确；
若，，数列是等差比数列，所以C选项正确；
若等比数列是等差比数列，则，
，所以D选项正确.故选：BCD
12．ABD【详解】由题意知，选项A：所以，故，
若存在，则有，即存在，
当时，，与矛盾，当时，由得，若，有，则或，
若与且矛盾；若时有，递推可得，与矛盾，
综上，不存在，所以，故数列递增，故A正确．
选项B：数列递增，，故，故，所以与同号，因为，所以，即．综上，，故B正确．
选项C：由选项B知，所以，即，故C错误．选项D：由题意，可视为数列的前n项和，因为，所以，
又递增，所以，故，即，故D正确．
故选：ABD.
13．【详解】试题分析：∵恒成立，∴，当时，，即，，当时，．
考点：等比数列的前n项和、恒成立问题．
14．【详解】因为，所以为等差数列，又，设的公差为，所以，解得，所以，所以.故答案为：
15．/【详解】∵成等差数列，∴，
又∵成等比数列，∴，
又∵，∴，则，故答案为：.
16．43【详解】因为，
当时，则，两式相减得，即；
令，则，满足，综上所述：，．
则，所以，又∵，即，整理得，解得，
且，，所以k的最大值为43．故答案为：43.
【点睛】1.裂项相消的规律（1）裂项系数取决于前后两项分母的差．
（2）裂项相消后前、后保留的项数一样多．
2.数列与不等式的综合问题的常见题型数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等问题，需要熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题．
17．【详解】（1）设数列的公差为，则，解得，
故.。。。。。。。。。。。。。5分
（2）由（1）知，则，所以.。。。.......................................................................................................................................10分
18．【详解】（1）解：由题意，得：，解得：，，
∴数列的通项公式为；...................6分
（2）由（1）知：，，
∴数列的公比，
∴的前6项和为..................12分
19．【详解】（1）证明：，所以，，
即，又，则数列是等差数列，且该数列首项为，公差为，
所以，，解得．....................6分
（2）解：，①
∴，②
①②，得
，所以，．..........12分
20．【详解】（1）当时，，又，得，由①
得②，①②两式相除可得，则，且，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故..................6分
（2）当n为奇数时，；
当n为偶数时，，
.
所以数列的前14项和为
...............................................................12分
21．【详解】（1）由题可知，等额本金还货方式中，每月的还贷额构成一个等差数列，表示数列的前项和.
则，故.
故王先生该笔贷款的总利息为：1290000-1000000=290000元.........6分
（2）设王先生每月还货额为元，则有
，
即，
故.
因为，故王先生该笔贷款能够获批.........12分
22．【详解】（1）证明:若选①，由得，
两式相减得，整理得，所以，
两式相减得，所以，所以是等差数列.…………2分
由得，所以，又，所以的公差，
则.…………………………4分
若选②.由得，，
两式相减得，因为，所以，所以，……2分
因为，中取得，所以，
所以，
.
综上，，所以是等差数列，..............4分
（2）（i）由（1）得，
所以，…………6分
所以，.......................8分
（ii）假设存在互不相等的正整数p，q，r，使得p，q，r成等差数列且成等比数列，
则，且，因为.
所以.
所以，……………………10分
这与p，q，r互不相等矛盾，所以不存在互不相等的正整数p，q，r，使得p，q，r成等差数列且成等比数列...................................12分