2023—2024学年青岛版数学九年级上册4.5 一元二次方程根的判别式 课件 (共17张PPT)

(共17张PPT)
一元二次方程根的判别式
一元二次方程判别式
一复习提问：
1、一元二次方程的标准式是什么？
2、一元二次方程的求根公式是什么？
想一想：b -4ac的符号与ax +bx+c=0会有关系吗？
做一做：用求根公式法解下列方程
（1）x -x-2=0 （2）x -6x+9=0 （3）x -x+1=0
看一看：上列三个方程的根与b -4ac的符号有关系吗？有什么关系？
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一元二次方程判别式
猜一猜：对于一般ax +bx+c=0 （a≠0）的根与b -4ac的符号有什么关系？
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故对于方程ax +bx+c=0 （a≠0）有下列关系：
当b -4ac≥0时，方程有两个不相等的根
x =
当b-4ac=0时，方程有两个相等的根x =x = -
当b - 4ac＜0时，方程没有实数根.
因为ax +bx+c=0（a≠0）的求根公式是
-b±√b -4ac
2a
x=
2
2
2
2
2
2
-b+√b -4ac
2a
2
1
x =
-b-√b -4ac
2a
2
2
1
2
b
2a
一元二次方程判别式
反过来方程ax +bx+c=0有两个实数根时b -4ac＞0
有两个相等的根时b -4ac=0
没有实数根时b -4ac＜0
由此可见b -4ac的值决定一元二次方程的根的情况，所以把它叫一元二次方程ax +bx+c=0（a ≠0）的根的判别式。记作“△”读作“delta”
2
2
2
2
2
2
例1.不解方程,判别下列方程的根的情况
⑴ 2x2+3x－4 =0 ⑶ 5（t2＋1）= 7t
⑵ 4y2+9 =12y
解：（1）这里,a=2, b=3, c=-4.
∵△=b2-4ac=12-4×2×（-4）=1+32=33＞0
∴原方程有两个不相等的实数根。
（2）原方程化为一般形式，得
4y2 -12y +9 =0
这里，a=4, b=-12, c=9.
∵△=b2-4ac=(-12)2-4×4×9
=144-144=0
∴原方程有两个相等的实数根。
（3）原方程即：
5t2-6t+5=0
这里，a=5,b=-6,c=5.
∵△=b2-4ac
=(-6)2-4×5×5
=36-100
=-64＜0
∴原方程没有实数根。
理解与应用
练一练：
1.不解方程，判别下列方程根的情况，
（2m2+1）X2-2mx+1=0
2.求证：无论m为何值，关于X的方程
X2+mx+(m-2)=0一定有两个不相等的实
数根。
能力提升
议一议：
( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.根的情况无法确定
A
例2.K为何值时，关于X的
方程X2-4X+K+1=0
有两个实数根？
解：△=（-4）2-4（k+1)
=16-4k-4
= 12-4k
∵原方程有两个实数根
∴△≥0
即：12-4k≥0
∴k≤3时，原方程有两个实数根。
理解再应用
（看课本例2）
练习.已知关于x的方程
你能判断这个方程根的情况吗？是否与m的取值有关？
∴不论m为何值,这个方程总有两
个不相等的实数根。
能力提升
一元二次方程
有两个实数根,则m的取值范围是
______________
变
有
新
发
现
吗
？
能力提升
试一试：
1.已知关于X的一元二次方程
当K取什么值时,方程有两个不相等的实数根
2.已知关于X的方程
当K取什么值时,方程有实数根
课时训练
1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况
是 ( )
A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
D
2.方程x2-3x+1=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D.只有一个实数根
A
3.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则k的范围是__________.
课时训练
4.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是 ( )
A.m＜1 B. m＜1且m≠0
C.m≤1 D. m≤1且m≠0
D
k≤1/4
谈谈你的收获：
2.判别方法：
(1)当Δ＞0时，原方程有两个不相等的实数根；
(2)当Δ=0时，原方程有两个相等的实数根；
(3)当Δ＜0时，原方程无实数根.
3.反之也成立：
当原方程有两个不相等的实数根时， Δ＞0；
当原方程有两个相等的实数根时， Δ=0；
当原方程无实数根时， Δ＜0。
这方面的知识主要用来求取值范围等问题.
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式：
△=b2-4ac
1.求判别式时，应该先将方程化为一般形式.
2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为
“方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0.
方法提示：
必做题：课本P145，习题4.5第1题（1）、（3），第3题
2.选做题：已知：a、b、c是△ABC的三边，若方程
有两个等根，试判断△ABC的形状.
课外作业
再见