课题：对数函数的图像和性质（第一课时）
西安铁一中 田群向
教材内容解析
1，“对数函数的图像与性质”是普通高中课程标准实验教科书必修1（北师大版）第三章“指数函数和对数函数”一章中的重点内容。此前，学生已对函数、定义域、值域等相关概念及函数的单调性、奇偶性、对称性等函数性质有了很深刻的了解和掌握。同时本节课又是在刚刚学习了对数函数的概念和对数函数与指数函数互为反函数的关系后，对对数函数的进一步深入学习。也是让学生进一步体会研究函数的方法，即“概念---图像---性质--应用”的过程。同时，为后面函数的学习做好铺垫。
2，“对数函数”是基本初等函数之一，对数函数的知识在其他章节和其他学科中有着广泛应用。同时，对数函数作为常用的数学模型在解决社会生活问题（统计、规划）中也有着广泛的应用。本节课的学习为学生进一步学习、参加生产和实际生活提供了必要的数学基本技能。同时，本节课对对数函数的性质研究不仅反映出对数函数与指数函数的关系，同时也蕴含了函数、数形结合等数学思想，也是高考的重点内容之一。
二、学生学情分析
1，心理生理上：高一年级的学生已入校两个月，现处于相对稳定的时期，所以在学习情绪和学习态度上也相对稳定。加之，新入高一不久，学生渴望知识和学习的情绪也都空前高涨，主动积极，不畏艰难。
2，知识上：从初中到现在学生已学习了一次函数、反比例函数、二次函数、幂函数、指数函数等初等函数，已对函数的相关概念、研究函数的方法有了一定的了解和掌握，加之对数函数与指数函数的关系学生已明白，可以通过类比的方法研究学习，同时对数函数的应用不管在数学上、生活中都应用广泛。所以，自然就激发了学生学习本节课的热情与兴趣。
教学目标设置
a) 教学目标
1，知识与技能：掌握对数函数的图像与性质，并且在掌握性质的基础上能进行必要的应用。同时培养学生数形结合的思想及观察、分析、归纳的思维过程。
2，过程与方法：通过类比的方法画出对数函数的图像，研究对数函数的性质；同时对数函数和指数函数互为反函数，利用反函数的性质（图像关于直线y=x对称）验证对数函数的性质，让学生体会类比、数形结合、转化等数学思想方法。
3，情感、态度、价值观：通过指数函数和对数函数在图像与性质上的对比，使学生欣赏数学的美妙和神奇之处，激发学生学习数学的积极性。
b)教材的重点、难点和关键
本节的重点是理解掌握对数函数的图像与性质，并能简单应用；难点是利用指数函数与对数函数的关系研究对数函数的图像与性质，体会类比、转化的思想。而整个学习过程中的思考、观察、对比、归纳就成了学习的关键。
四、教学策略分析
1，本节课采用了构建式学习法，教学过程教师和学生共同参与，学生为主体，教师主导，充分发挥学生积极、主导、自主的学习过程，最终在教师的引导下得出对数函数的图像，总结出性质，并简单应用。同时，使学生对指数函数和对数函数的内在关系达到比较深刻的认识与理解；
2，本节课采用多媒体辅助教学，尤其是借助于几何画板的强大功能更能使学生直观的体会对数函数与指数函数图像的关系，得出对数函数的性质并利用图像的动态变化验证性质，有助于学生的理解。同时，增大教学容量，亦提高数学对学生的吸引力。
五、教学过程
教学
环节
教 学 内 容
设计
意图
温
故
知
新
同学们，大家好！今天非常高兴能和大家一起学习。
我们今天要探究的内容是《对数函数的图像与性质》大家还记得对数函数的定义吗？
生：（1）对数函数的定义.
我们把形如的函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）.a是对数函数的底数.
（2）对数函数与指数函数的关系：互为反函数.（反函数的性质）
仅仅知道对数函数的概念显然是不够的，同学们都知道每一个函数的学习都要经历“概念—图像—性质—应用”的过程。
今天，就让我们一起来探究：
《对数函数的图像与性质》（板书课题）
①温故而知新，提醒学生旧知，引出新知；
②回顾旧知中的反函数及其性质，为本节课学习对数函数图像埋下伏笔；
③培养学生温故而知新的学习习惯，注重方法教育。
自
主
探
究
自
主
探
究
大家还记得画函数图像的一般步骤吗？
①列表；②描点；③连线.
自主探究：（学生活动）
分组合作：分别作出下列对数函数的图像，并说说你是怎么作的？还有什么发现？
① ②
③ ④
（各组派代表展示，并发言谈谈自己的发现）
方法一：列表、描点、连线
（各组派代表展示图像，并说出自己通过图像发现的函数性质）
生：对数函数与指数函数互为反函数，而互为反函数的图像又关于y=x对称，所以我们可以指数函数，，，的图像画出上述对数函数的图像.
师：非常好，学以致用！你能给大家展示一下你的做法吗？
方法二：反函数法（与对数函数图像关于y=x对称）
方法三：利用几何画板
我们只画出了四个对数函数的图像，是不是所有的对数函数都像上面两类函数的图像呢？现在科技可以带个我们答案。 （老师用几何画板画出含参数a的对数函数）的图像，展示给学生）
①通过小组合作，亲自动手，让学生经历知识的产生过程，并对函数的图像留下深刻的印象。
②学生展示发言，培养学生善于表达和总结的能力。
③引出反函数法画函数图像，让学生体会一题多法的同时，要学好思考，学会致用。
④现在教育技术的发展，几何画板的强大数学功能能激发学生利用现在教育技术学习的欲望，也能激发学生学习的动力。
归
纳
总
结
学生活动：（总结归纳）
对数函数的性质
图像
定义域
（0，＋∞）
（0，＋∞）
值域
R
R
定点
（1,0）
（1,0）
单调性
单调递减
单调递减
越小图像越靠近x轴
越大图像越靠近x轴
取值
0
0;x>1,y<0
01,y>0
对称性
全班交流，共同进步。
①通过讨论交流，达到解决问题的目的，让学生感受团队合作的力量，从而培养学生团队合作的意识。
②通过表格的形式总结函数性质，学生易形成对比和体系化，有助于学生理解记忆。
升
华
应
用
巩固练习
例1：求下列函数的定义域
① ②
③ ④
总结：对数函数的求定义域有几点需注意：
（1）真数N>0；（2）底数
（3）分式形式的分母不为零；
（4）开偶次方根的被开方数非负；
（5）中不等于零；
例2：比较大小
① ②
③ ④
总结：对数比较大小方法
（1）若只同底，可利用对数函数的单调性直接比较；
（2）若只同真数，可根据a的大小进行判断；
（3）若底数和真数都不同，可找中间量过渡（如1,0等）
（4）对于含有参数的对数往往要分类讨论比较大小；
拓展思考：解关于x的不等式：
①通过简单的练习，增加学生对对数函数性质的理解，同时增加学生应用性质解决数学问题的兴趣。
②在解决问题的过程中培养学生总结方法的意识，养成良好的学习习惯。
③利用思考题提高学生学习兴趣；
课
堂
小
结
1，“谈谈你这节课的收获吧！”
（学生各述，老师总结）
知识上：对数函数的图像与性质；
方法上：体会从特殊到一般，从理解到应用；
2，更深的收获：
①让学生自己总结，老师可以更好的把握他们的学习情况，老师总结可帮学生梳理知识。
②更深的总结让学生明白，总结的重要性。
课外
读物
《对数的诞生与发展》
（了解对数的起源与发展，认识苏格兰数学家纳皮尔）
①缓解紧张的课堂气氛；②普及数学史小知识；③激发数学学习欲。
作
业
设
计
P97 A组 第3,4题；
求下列函数的值域
①
②
①作业布置可使学生发现和弥补不足，并强化基本技能。
②作业2为下一节课的学习埋下伏笔。
板
书
设
计
5.2 对数函数的图像与性质（一）
一、回顾 三、性质： 例2：
1，定义： （表格）
2，关系：
二、图像 四、应用 例3：
1. 2. 例1：
3. 4.
合理的板书设计能给学生一知识体系理解的启发和对本节课知识的把握。
六、评价分析
本节课主要是以自主探究、讨论总结为主及简单的性质应用练习为辅的函数性质探究课。故本节从以下几个环节来作评价：
通过画对数函数图像的方法，考察学生对函数学习一般性方法的掌握和思
维多样性评价；
2，在探究讨论的过程中，评价学生的参与程度、活动过程中的思维方式、与同学合作交流、团队意识的情况；
关注学生思维的多样性，关注学生观察、交流、总结的能力；
4，通过简单例题的解决，评价学生对运用知识解决问题的能力；
5，通过作业的布置，评价学生解决问题的能力和激发深入了解性质解决更复杂问题的能力。
6，在学习的过程中，积极开展自评和小组内互评、师生共评的评价体系，激发学生学习数学的积极性。
附：课外读物
对数的诞生与发展
对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔（Napier，1550-1617年）男爵。 在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科。可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数。 当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样。在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的。 那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法。让我们来看看下面这个例子： 0、1、2、3、4、5、6、7 、8 、9 、10 、11 、12 、13 、14 、…… 1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、…… 这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂。如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的加和来实现。 比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6，256对应8；然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384。 纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了。回忆一下，我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候，采用的不正是这种思路吗：计算两个复杂数的乘积，先查《常用对数表》，找到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数的反对数表》查出加和值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了。这种“化乘除为加减”，从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？ 经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点。 所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣。伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明。法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯（PierreSimonLaplace，1749-1827）曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”。
—————教学设计————
普通高中课程标准实验教科书（必修1）第三章 第五节
工作单位：西安市铁一中
姓 名：田群向
时 间：2014年11月
《3.2.2对数函数》教学设计
辽宁省辽阳市 辽阳石油化纤公司高级中学 宋纯亮
一、教材分析
本小节选自人教B版教材必修一第3.2.2节《对数函数》（第一课时），主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，本节教学过程体现了数形结合、分类讨论的思想，同时蕴含丰富的解题技巧，这对培养学生的观察、分析、概括的能力、发展学生严谨论证的思维能力有重要作用。
二、学情分析
学生从初中到高中，还没有完全适应，大多数同学保留着初中的学习特点。例如认真上感性思维远远多于理性思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，学生运算能力有所下降，所以在解决实际问题时学生会比较吃力。
三、设计理念
在本节课的教学过程中，通过细胞的分裂得到的细胞个数y与分裂次数x的函数关系式的探索，应用指数和对数的关系引出对数函数的概念。通过对底数a的分类讨论，探究总结出对数函数的图象与性质，使学生经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生、形成过程，通过例题的分析与练习，进一步培养学生自主探索，合作交流的学习方式，通过学生经历直观感知，观察、发现、归纳，抽象概括等思维过程，落实培养学生积极探索学习习惯，提高学生的数学思维能力的新课程理念。
四、教学目标
知识与技能目标：通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，能通过具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的性质。
过程与方法目标：根据图象探索、理解对数函数的单调性与特殊点，感受数形结合的数学思想。
情感、态度与价值观目标：通过本节课学习，学生养成自主学习、数学交流能力和数学应用意识。落实培养学生积极探索学习习惯，提高学生的数学思维能力。
五、教学重点与难点
重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响．
六、教学过程设计
(一)创设情景
【引例】已知细胞分裂时，一个细胞每次分裂为2个，经过若干次分裂后，得到的细胞个数 x 与分裂次数 y 之间是什么关系？
（二）探究新知
【定义】引导学生看引例，利用以上图表帮助学生共同分析，得到关系式再转化为对数式，，从这个对数函数的限制函数出发，引导学生认识对数函数，再从特殊到一般，让学生总结出对数函数的定义。同时借助四道小题，让学生认识对数函数定义也是一个形式上的定义。由于学生有了对数和指数函数定义的基础，该定义不用过多强调。
[设计意图：新课标强调“考虑到多数高中生的认知特点，为了有助于他们对函数概念本质的理解，不妨从学生自己的生活经历和实际问题入手”。因此，选择从材料引出对数函数的概念，让学生熟悉它的知识背景，初步感受对数函数是刻画现实世界的又一重要数学模型。这样处理，对数函数显得不抽象，学生容易接受，降低了新课教学的起点]
【图象】
学习了定义后，问学生下面该研究函数的哪个方面？由于学生有直接经验，很容易得出下面应该进行的是探究对数函数的图象。关键是让学生明确怎样探究对数函数的图象？方法是从特殊的对刷函数图象得到一般对数函数图象。启发学生联想到指数函数图象的探讨过程，从而找到方便我们画图的函数
四个函数。
请学生1到展台展示并讲解自己的列表及图象。
再请学生2到展台展示并讲解自己的列表及图象。展示后给学生的动手能力给予充分的肯定。
[设计意图：之说以选择四个函数图象，一半同学画前两个，另一半同学画后两个，目的在于让学生静静的体会图象的得出，感受到获得劳动成果喜悦，同时也分享了别人的劳动成果，大大提高了课堂的效率。]
提问：当底数a 取其它值，图象是什么样的？此时通过几何画板演示底数从1.8开始，逐渐变到2，到3，到4时的图象，再展示从0.9,0.8,一直到0.2,0.1，请学生注意观察图象的大体形状和趋势，让后请学生总结一般地对数函数图象应该什么样的？
由于学生自己动手，加上‘几何画板’的强大作图功能，学生非常清楚地看到了底数是如何影响函数，且图象的变化。有了这种画图感知的过程以及学习指数函数的经验，学生很明确图象代表对数函数的两种情形。
[设计意图：本节课的设计注重引导学生用特殊到一般的方法探究对数函数图象的形成过程，加深感性认识。同时，帮助学生确定探究问题、探究方向和探究步骤，确保探究的有效性。这个环节，还要借助计算机辅助教学作用，增强学生的直观感受。]
【性质】
研究了对数函数的图象，把作图时的两组对数函数图象合并到同一平面直角坐标系中来，让学生观察四个图象？
请学生思考：1.对数函数有什么性质？2.对数函数的图象分布有什么分布规律？然后小组讨论得出性质和分布规律。讨论后找一个小组派代表向全体同学汇报探究成果，如果不全，同组其他组员补充。 教师与学生共同整理汇总对数函数的图像和性质。
图
象
性
质
①定义域：（0，+∞）
②值域：R
③过点（1，0），即当时，
④时
时
时
时
当 且时，有 ；当 且时，有
⑤在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数
分布规律：a>1时，a越大图象越靠近x轴，0[设计意图：发现性质、弄清性质的来龙去脉，是为了更好揭示对数函数的本质属性，利用小组合作的形式通过图象主动探索出对数函数的性质。教学实践表明：当学生对对数函数的图象已有感性认识后，得到这些性质必然水到渠成。]
（三）应用举例
例1.求下列函数的定义域:
(1) (2) y=loga(4-x)
处理方法是，第一问学生分析，教师板书的形式，目的是强化定义，规范解题过程。第二问提问学生口述解题过程，培养学生的模仿能力。
例2.比较下列各组数中两个数的大小：
第一问学生分析，教师板书。第二问提问学生口述解题过程。重点强调利用单调性解决比大小的问题。规范学生的语言和解题过程。第三问请学生用展台展示并讲解，目的在于强调对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1．而已知条件并未指明，因此需要对底数a进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握。第四问给学生充足时间思考，再找学生展台展示并讲解，目的是强调利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接进行比较时，可在两个对数中间插入一个已知数（如-1，1 或0），间接比较上述两个对数的大小。
练一练.比较下列各组数中两个数的大小：
以学生为主体完成，第二问突出比大小与对数运算的结合。第三问强调一题多解，拓宽学生视野。给学生充足的时间思考，如果得不出来，采取小组讨论的方法。
（四）课堂小结本节课你学到了什么？
让学生从知识内容与思想方法两个方面进行总结。知识内容是对数函数的定义，图象，性质。思想方法有数形结合，分类讨论等。
（五）布置作业
基础题：教材P104 练习A.2 练习B 1.2
提高题：三个数。
七．板书设计
人教B版3.2.2《对数函数》一课的评析
授课者 辽化高中 宋纯亮
这节课的主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用，宋老师在教学设计中，让人印象最深刻的是充分发挥学生的主体作用，注重对学生的学法指导，重视新旧知识的契合，关注数学思想方法的渗透，紧紧抓住对数函数的图象这一关键，重点突出。
教学过程中，宋老师通过细胞的分裂得到的细胞个数与分裂次数的函数关系式的探索，应用指数和对数的关系引出对数函数的概念，通过例题辨析深化对定义的理解。然后，让学生动手通过列表、描点、连线产生函数图象，使学生理解对数函数的图像及其分布规律，再通过几何画板的熟练操作，让学生有直观的感知，并进一步进行观察、分析、归纳等探究活动，形成了底数和两种情况下对数函数的图象。性质的得出是以四个具有代表性的对数函数的图象为出发点，通过小组讨论的方式，完成对数函数性质和分布规律的探究，使学生经历从特殊到一般，体会数形结合和分类讨论的数学思想。通过例题的分析与变式练习，进一步加深学生对所学内容的理解，培养学生分析问题和解决问题的能力。最后，课堂小结从知识和思想方法两个角度由学生进行总结，培养学生对数学的认知由感性到理性的转变，培养了学生归纳总结的能力。
不足之处：板书设计再合理些；个别语言不是十分准确；题型再丰富一些。
课件10张PPT。3.2.2 对数函数 辽宁省辽阳市
辽化高中
宋纯亮214283细胞个数分裂次数已知细胞分裂时，一个细胞每次分裂为2个，经过若干次分裂后，得到的细胞个数 x 与分裂次数 y 之间是什么关系？164………创设情景 ： 想一想：下列哪个函数是对数函数？探究新知 ：画一画：在同一坐标系中画出以下函数图象 例1.求下列函数定义域(a>0,a≠1):（1）y=loga x2应用举例 ： （2）y=loga(4-x) 解：∵4-x>0∴x<4∴ 函数y=loga(4-x)的
定义域为（－∞，4） 例2.比较下列各组数中两个数的大小：(4) log56 log74练一练.比较下列各组数中两个数的大小：练一练.比较下列各组数中两个数的大小：知识内容这节课学到了什么？1. 对数函数的定义2. 对数函数的图象3. 对数函数的性质及应用思想方法1.数形结合2.分类讨论
课堂小结：布置作业：基础题：教材P104 练习A.2 练习B 1.2提高题：课件12张PPT。对数及其运算新课引入实例1：研究细胞分裂时，一个细胞经过x次分裂后，细胞的个数为y。得到函数y=2x，要想得到8个细胞，需要分裂__次；
得到16个细胞，需要分裂__次；34实例1：指数式中，已知底数和幂，求指数我们需要解决怎样的一类问题？实例2：某种资产价值10万元，每年贬值5℅,该资产经过多少年会贬值到2万元？（2）对数是已知指数式的底数和幂求指数时，定义的一种新的运算。（1）对数和指数是同一关系的两种表达形式。已知加法运算定义减法运算已知乘法运算定义除法运算已知乘方运算定义开方运算已知指数运算定义对数运算……减法：已知加法运算，求加数时定义的新运算例1 将下列指数式写成对数式。（1） （2） （3） 讲解范例 例2 将下列对数式写成指数式。（1） 例3 求下列对数的值。3-3例4 求下列各式的值。总结收获通过本节课的学习，你有什么收获？作 业教材97页A组题，B组题课件34张PPT。苏教版高中数学必修1南京师范大学附属中学 张萍3.2.1对数4教学内容解析1235教学目标设置学生学情分析教学策略分析教学过程设计4教学内容解析1235教学目标设置学生学情分析教学策略分析教学过程设计指数函数、对数函数和幂函数指数函数幂函数对数函数对数对数
的运算性质对数
函数1.对数的概念；2.对数式与指数式的互化.对数概念的理解4教学内容解析1235教学目标设置学生学情分析教学策略分析教学过程设计123理解对数的概念，会熟练地进行指数式
与对数式的互化，了解两个特殊的对数．类比无理数的表示，让学生体验符号化表示数学对象的思想．自主举例，相互交流，经历对数概念的形成过程和理解过程，体会从特殊到一般和化归的数学思想．14教学内容解析1235教学目标设置学生学情分析教学策略分析教学过程设计 逆运算的经验较好的归纳、
类比推理能力良好的反思习惯4教学内容解析1235教学目标设置学生学情分析教学策略分析教学过程设计初步感悟
适度模仿
归纳概括
自主举例对数概念
的理解问题自己提问同学互问教师追问概念建构概念理解概念应用概念4教学内容解析1235教学目标设置学生学情分析教学策略分析教学过程设计具体实例 理解概念概念应用 方法总结课堂小结 布置作业 创设情境
学生提问
解决问题
获取概念
创设情境 建构概念类比 ，经历符号化语言表示新的数学对象的过程.
探究指数b的存在性和惟一性，感受引入对数概念的必要性和合理性. [问题2]
2b=3,
这样的指数b有没有呢?学生活动
认识对数
具体实例 理解概念请每位同学写3—5个对数，与同桌交流.
学生活动明确对数式与指数式的等价关系．熟练指数式与对数式互化，实现教材中例1和例2的教
学功能.独立思考
方法交流
回顾反思
加深理解 概念应用 方法总结方法提升，对数性质及相关结论为对数求值提供了新的方法.回顾反思，培养良好的学习习惯，把对数性质发现的机会留给学生.知识归纳
方法提升
课堂小结 布置作业知 识方 法 符号化思想化归思想对数的概念 对数是一个数对数是一种运算谢谢大家！ 张萍：jsnjzp@126.com