课件11张PPT。授课教师：齐威娜
工作单位：东北师范大学附属中学3.1.1 方程的根与函数的零点
求下列方程的实数根，画出相应函数的简图，并求出函数图象与x轴交点的坐标,完成表格.自主探究方 程x2-2x+1=0x2-2x+3=0y=x2-2x-3y= x2-2x+1 函 数函
数
的
图
象方程的实根x2-2x-3=0y=x2-2x+3方程ax2 +bx+c=0
(a>0)的根函数y= ax2 +bx
+c(a>0)的图象判别式
△ =b2－4ac△＞0△=0△＜0函数图象与 x
轴的交点有两个相等的
实数根x1 = x2没有实数根( x1, 0 ) , ( x2, 0 )( x1, 0 )没有交点两个不相等
的实数根x1 , x2一、函数零点的概念 对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x
叫做函数y=f(x)的零点.学习新知函数零点的求法：
（1）代数法：求方程f(x)=0的根；
（2）几何法：利用函数的图象求解.
例1 判断下列函数是否有零点，若存在请
求出零点.例题精讲 若函数y=f(x), x∈[a,b]，在开区间(a,b)内一定存在零点，应满足什么条件？自主探究(1) f(a)f(b)>0(2) f(a)f(b)<0(3) f(a)f(b)=0 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是
连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，
那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点. 即存在 c∈(a,b) ，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的根.零点存在性定理答案 B例题精讲方程的根
与函数的
零点一个关系：函数零点与方程根的关系.
一个定理：函数零点存在性定理.三种题型：
求函数的零点；
判断零点个数；
求零点所在区间.
两种思想：
函数方程思想；
数形结合思想.课堂小结“方程的根与函数的零点”教学设计
云南楚雄东兴中学 吴俊坤
一、教学内容分析：本节内容是人教版必修一第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一个内容《方程的实数根与函数的零点》，是下一节“二分法”的知识基础。本节课的一个重要任务就是让学生学会用函数的知识去研究方程的根的问题，通过零点概念的学习，建立方程与函数在数和形上的对应，体会函数与方程的思想解决问题的基本方法。
二、教学目标分析：
知识与技能:
1、结合一元二次方程的实数根与对应二次函数与x轴交点横坐标的对应关系，理解函数零点的定义；
2、结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；
3、结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法.
过程与方法:
1.让学生充分体会特殊到一般的探究方法，学会从特殊现象中提炼一般的规律。
2、通过数形结合思想的渗透，提升学生对函数的认知能力。
3、零点存在性定理的探究过程和巩固练习，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；
情感、态度、价值观:
1、培养学生热爱自然，保护自然的意识，让学生体会数学来源于生活，服务于生活。
2、让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；
3、使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。
教学重点：零点的概念及零点存在性的判定。
教学难点：方程的实数根与函数零点关系的灵活转化，探究判断函数的零点个数和所在区间的方法.
三、学生情况分析：
1、学生的知识准备：通过初中和高一上学期的学习，学生掌握了一元一次方程、一元二次方程的解法。对几种初等函数的图象有了比较全面的了解，能够比较准确的判断初等函数与x轴的交点情况。学生学习函数零点有了较为充分的函数知识准备。同时学生通过对指数和对数的学习，在遇到用零点存在性定理判定超越函数在区间上是否存在零点提供了运算的知识准备。
2、心理准备：学生能够通过一元二次方程的根与对应二次函数与x轴的交点横坐标的关系理解零点的概念，但在任意函数的零点与对应方程的实数根关系的转化上还存在一定难度。
四、教学手段和方法：
利用多媒体辅助教学手段，创设问题情景，让学生通过观察，体会方程的解在函数图像中表达的事实，借助几何画板作出函数图像，让学生直观体会函数零点的概念。
五、教学过程与操作设计：
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
创设情景
将青藏铁路的设计者如何选定藏羚羊迁徙的通道，转化为数学上函数与轴的交点问题，引出这节课的重要内容，如何判定函数与x轴有没有交点的问题
学生通过看图片，听老师讲，明确这节课的学习任务。
以藏羚羊迁徙的自然现象与青藏铁路设计的冲突，提出用数学解决问题方案，诱发学生的学习兴趣，培养学生应用数学解决实际问题的意识。
复习旧知
1、教师让学生用所学的知识求方程的根，并作出函数的图象。
2、教师鼓励学生观察体会数与形之间的联系。
3、教师引入二次函数与x轴的交点与对应方程根的关系。
1、让学生通过亲自动手计算和作图，加深对函数与x轴的交点的横坐标与方程的根的映象，并能明确二者的对应关系。2、直接观察谈看法，引起学生的求知欲。
新课导入
让学生会使用代数法和几何法判定函数的零点。
1、学生通过图像的观察和分析，得出函数与x轴的交点的横坐标就是对应一元二次方程的解。
3、通过对以上三组一元二次方程的实数根和对应二次函数交点的横坐标的关系，归纳二次函数零点的判定方法。
4、结合二次函数零点的判断方法，结合藏羚羊迁徒路径与青藏铁路交汇口的确定问题引出一般函数零点判定的方法：代数法、几何法。
4、通过一组巩固训练来驾驶学生对代数法和几何法判定函数零点的方法的理解。
1、问题的提出，让学生在通过图像的观察以后，逐步将方程解的问题与函数的图像对应起来，奠定数形结合思想是解决方程的实数根与函数零点问题的关键。
2、让学生敢于谈自己对知识的看法，通过学生的直观感受来深入数学问题的探究。
探究发现
探究：
让学生通过，观察图象得出函数有零点，大致在区间
[2，3]，而且仅有一个。
问：如何用数学知识说明？
例1：
分析：1、取点计算对应函数的值，估计零点所在的位置。2、用零点存在性定理判定函数零点的范围。
3、根据函数的单调性说明函数有零点仅有一个零点。
提炼：如果函数在某一区间内单调，至多有一个零点。
教师引导，学生合作探究：
1、让学生用代数法和几何法去判定函数有没有零点。
2、让学生尝试后谈自己的用代数法和几何法判定函数零点的困惑；首先，学生不会解超越方程，所以无法用代数法解。其次，学生用几何法的时候无法准确描点。
3、用几何画板画出图象，让学生从直观上观察出函数有零点，提出问题，如何说明它？借助二次函数图象由特殊到一般的思想，探究零点存在性定理。
4、在问题的解决过程中，让学生学会归纳知识应有的步骤。
1、让学生在用所熟悉的知识解决看似常规的问题时产生疑惑，提出质疑，产生探求解决问题方法的动机。
2、在探究的过程中体会特殊到一般的解决问题的方法，大胆猜测和积极尝试，学会简单的评价尝试结论的合理性。
练习巩固
巩固训练一
巩固训练二
巩固训练三
1、第一组练习让学生在体会了二次函数的零点的判定与二次函数与x轴的交点和一元二次方程实数根的关系后，将判定函数零点两种方法，即代数法和几何法的方法推广到任意函数零点的判定上来。
2、第二组练习是在探究出零点存在性定理后，让学生体会零点存在性定理的意义。
3、第三组训练是让学生通过例一的学习后，明零点存在性定理在函数连续且单调时在某区间上要有零点仅有一个。
1、鼓励学生采用独立思考与小组活动相结合的办法解决问题，倡导合作学习。
2、让学生在巩固训练的过程中能够提炼解决问题方法，比较代数法和几何法的特点。
3、加深对零点存在性定理意义的理解。
归纳小结
一、本节完成的两个任务：
1、引入函数的概念，得到判定函数有无零点的两种方法：
代数法、几何法。
2、形成零点存在性定理，并能用零点存在性定理判定函数在某一区间上是否存在零点。若有，如何确定零点所在的区间。
二、本节强调的数学思想和方法：
数形结合思想、特殊到一般的思想、转化思想
1、教师引导学生总结一节课的学习体会，并进行课堂交流
2、鼓励学生大胆体会，认真分析，注重实践，学会总结。
让学生回顾本节所学的知识与方法，以逐步提高学生自我获取知识的能力。
布置作业
1. 课后练习
学生课后在作业本上完成
1、让学生巩固所学内容，进一步提高对数学通性通法的学习与研究的认识。
2、进一步体会数形结合的思想
3.1.1方程的根与函数的零点教学设计
东北师范大学附属中学
齐威娜
教学内容解析
《方程的根与函数的零点》是人教A版必修一第三章《函数的应用》第一节的内容.必修一共分为三章，第一章介绍了函数的概念及性质，第二章引入了指、对、幂三种基本初等函数.本章是函数应用问题，主要分为两个层面：（1）数学学科内部应用，如方程的根与函数的零点的关系，可以通过函数方程思想，及数形结合思想，获得函数的零点的具体取值或零点所在的区间.零点存在性定理的引入，为一些超越方程的近似解提供了求解方案.（2）生活中的应用.通过建立函数模型来解决相应问题，使之前一、二章所学内容与生活紧密联系起来，感受数学在生活中的重要性.
本节课根据学生已经掌握的函数的内容，从初中二次方程与二次函数关系的具体学习，过渡到了高中一般方程与其相应函数关系的抽象研究，得出了函数零点的概念.进一步，通过对函数零点所在区间的判断，引入了零点存在性定理，是一节概念课.本节课不仅揭示了方程与函数之间的本质联系，并且以“函数与方程”为理论基础，为“二分法求方程的近似解”做了铺垫，起到了承前启后的作用.
二、教学目标设置
1．知识与技能：（1）理解函数零点的定义；（2）掌握零点存在区间的判断方法.
2. 过程与方法：（1）由特殊的一元二次方程的根与相应二次函数的关系，推广到一般方程与函数的
关系；（2）由特殊函数的零点所在区间的判断推广到一般情况；（3）由学生自主探究得到零点存在区
间的判断方法.
3. 情感、态度、价值观：（1）在学习的过程中，体会函数方程思想及数形结合思想的应用；（2）感
受学习、探索、发现的乐趣.
教学重点：函数零点与方程根之间的联系，初步形成利用函数方程思想处理问题的意识.
教学难点：理解函数零点存在的判定条件.
三、学生学情分析：
通过前面的学习，学生已经了解了函数的概念、性质，以及一些基本初等函数的模型，可以熟练做出函数图象，具备一定的看图识图能力，这为本节课提供了一定的知识基础.但是针对高一学生，他们的思维习惯、动手作图能力以及观察、归纳、转化等能力都还不强，在本节课的学习上还是会遇到一些困难.尤其是在本节的难点：零点存在性定理的学习上，由于零点存在性定理是高等数学下放的一个内容，它的证明需要用到《数学分析》中的连续函数的有关概念、区间套定理和局部保号定理，高中学生没有这个知识基础，因此高中学生学习这个知识只能通过一些特殊函数去探究.在探究过程中要突破三个关节点：一是在解决给定具体方程根的存在性问题时，很难想到将这个问题转化为借助对应函数的图象和性质来判断.二是如何想得到：当函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线时，连接两个端点的曲线经过轴（次数不限），即曲线与轴一定有公共点（个数不限），可以用来表示.三是对定理条件中图象连续不断以及对定理条件“充分而不必要性”的认识都有一定的难度.为此，在教学中要从具体函数和几何直观入手，给学生搭建脚手架，让学生从特殊到一般，从具体到抽象，同时利用反例促成对定理本质的理解，突破学习难点.
所以在本节课的教学设计中，注重了从具体的、简单的知识出发，经过逐层推广，自主探究，获得了一般性的结论的过程.
四、教学策略分析
1.教学方法的选定
在教学中，这节课采用以导学案教学，体现以学生为主体的教学方法.在教学手段上，充分利用
了多媒体及实物投影，发挥了教师的主导作用，充分调动学生学习的主动性，让学生真正成为教学活动的主体.
在零点概念的教学上，我充分利用了 “由特殊到一般”的教学方法，以具体的二次方程与相应二
次函数的关系为载体，引出了函数与方程的关系，并将其进行了推广.而在零点存在性定理的教学中，
我主要采用了“启发－探究－讨论”的模式，找到问题讨论的切入点后，将学生分成小组充分进行讨
论，在思维上通过学生之间的质疑，产生火花，进而生成了定理的内容.这样的讲解，自然且易于理
解.
2.突破重、难点的策略
对于函数零点概念的引入，学生从解决熟悉的问题的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系，为新知识提供“停靠点”.把函数零点的概念作为解决课堂探究问题的过程性知识，可以让学生的探究更自主，思维活动更充分.
探究函数零点存在性定理是本课的难点.为突破这一难点，本节先利用例1（4）的变式引出定理的必要性，即不是所有的函数都可以直接求出零点，所以我们有必要掌握零点存在区间的判断方法.而通过例1（4）的解决方法，由特殊到一般，过渡到对于一般的函数，，若在开区间内一定存在零点，应满足什么条件？学生很容易找到切入点，即讨论端点函数值的符号.之后通过分组讨论获得定理，这个过程体现了定理的合理性.这样的引入，会让学生感觉更加的自然，由此产生的讨论，使定理的生成过程更加的水到渠成.
五、教学过程
教学活动
教师活动
学生活动
设计意图
一．创设情境，提出问题
以短版形式讲述解方程的历史，而后出示引例：这样的超越方程的根应如何求解？
给出具体的三个一元二次方程及相应的二次函数填表.提出问题：方程的根与函数的图象有什么联系？通过追问，引导学生准确回答二者的关系.
继续追问：上述结论是否可以推广到一般的一元二次方程与二次函数关系上？
再次追问：上述结论是否可以推广到一般方程与函数的关系上？
学生积极思考，认真填表，利用实物投影分享结果.回答出方程的根与函数图象和x轴交点的横坐标相等.
学生思考，类比，归纳.
通过对数学史的了解增加民族自豪感，激发学生的求知欲.
体会方程的根与函数图象的联系，为零点概念的引出做好铺垫.
由特殊到一般，感受零点产生的过程，使零点不再抽象，而是更加具体形象，便于零点概念的理解.
二、概念引入
1.总结零点概念，提问：零点是点么？
2.概括零点的意义
3.零点求法：（1）代数法
（2）几何法
理解、归纳
三、概念应用
给出4 个例题，其中前3个为代数解法，最后一个为几何解法.
独立完成，并于台前展式.其中（4）题共有两种求解思路.
通过例题的设置，加深零点求法，求解过程体现了函数方程思想及数形结合思想.
四、自主探究
提出问题：函数的零点已直接求出，但是不是所有的函数零点都可以在不借助信息技术的条件下，准确求出？
追问：的零点取值情况怎样？
学生思考、质疑.
师生共同探究，发现不可直接获得其零点.
引导：像这样的函数，我们不能直接获得其零点，所以我们更加观注其零点所在区间.例如在[－1，1]上是否存在零点，只从解析式出发，如何判断？
推广：对于函数，，若在开区间内一定存在零点，应满足什么条件？
巡视指导，适时点拨
组织展示，评价追问
学生思考，分析可利用的条件，计算出端点函数值，判断其符号，结合图象连续，得到图象必穿过x轴的结论.
学生分小组讨论：
探究1：
（1）
（2）
（3）
探究2：在（2）的条件下，存在零点的个数唯一么？怎样可使零点唯一？零点个数最少有几个，最多有几个？
探究3：(2)的结论可逆么？
各小组积极参与，并派代表到前面总结，在讨论过程中，不断的质疑，产生思维的火花，使学生成为课堂的主体.
通过具体问题的探究，为零点存在性定理讨论的引出进行了铺垫.
由特殊到一般，学生很容易找到问题讨论的切入点：即利用端点函数值的符号进行分类，使得问题的引入更加自然.
通过以上学生们的讨论，使得零点存在性定理的生成水到渠成.
五、定理应用
例2 判断函数的零点个数.
变式：函数的零点所在区间为（ B ）
(A) (B) (C) (D)
学生积极思考，独立完成，并利用实物投影讲解答题过程.
六、反思总结
引导学生回顾整个探究过程，生成数学知识：一个概念、一种关系和一个定理.数学思想方法
反思探究过程中，归纳蕴含的数学思想方法
一、数学知识方面
1.函数零点的概念
（1）定义：对于函数，使方程的实数叫做函数的零点（zero point）.
（2）方程有实数根函数图象与轴有交点函数有零点
2.零点存在性定理
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间上存在零点，即存在，使得，这个就是的根.
二、数学思想方法方面
函数与方程思想
数形结合思想
反思核心任务的解决过程，归纳提升知识、方法.学生亲身经历核心任务的解决过程，体验所蕴含的思想方法，生成一个概念、一种关系和一个定理，符合学生的认知规律.
六、板书设计
课件15张PPT。3.1.1方程的根与函数的零点云南楚雄东兴中学授课教师：吴俊坤情景创设探本寻源概念引入零点不是点,是一个实数概念引入知识升华0－21，3达标训练1深入探究零点存在性定理：B达标训练A例1:求函数 的零点的个数。 例题讲解达标训练（2，3）1个D小结课后作业再见
