《函数的单调性》教学设计
（人教A版高中课标教材数学必修1第一章1.3.1节）
授课教师： 刘 力 天津市第四中学
指导教师： 刘金英 天津市中小学教育教学研究室
张 光 天津市河西区教育中心
刘家征 天津市第四中学
2014年12月
《函数的单调性》教学设计
天津市第四中学 刘力
一、教学内容解析
本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修1第一章《集合与函数概念》1.3《函数的基本性质》中第1.3.1节《单调性与最大（小）值》的第一课时，本节教学内容为函数的单调性．函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质．函数单调性的概念是研究具体函数单调性的理论依据，在研究函数的值域、最大值、最小值等性质中有重要应用，因而函数单调性概念是中学数学中最重要的概念之一．
在研究单调性过程中，经历观察图象，描述函数图象特征；结合图、表，用自然语言描述函数图象特征；用数学符号语言定义函数性质的过程．体现了对函数研究的一般方法．加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．为进一步学习函数其他性质提供了方法依据．
在对函数单调性的探究过程中，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力；让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．
本节课的教学重点：形成增（减）函数形式化定义
二、教学目标设置
（一）学习目标
1. 能从形与数两方面理解函数单调性的概念，掌握用函数单调性的定义证明简单函数在某区间上具有某种单调性的方法（步骤）.
2. 通过对函数单调性定义的探究，感悟数形结合的思想方法，培养观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力．
3. 通过知识的探究过程培养细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．
（二）目标解析
1．能够以具体的例子说明某函数在某区间上是增函数还是减函数；能够举例，并通过绘制图形说明函数在定义域的子集（区间）上具有单调性，而在整个定义域上未必具有单调性，说明函数的单调性是函数的局部性质.对于一个简单的函数能够用单调性的定义，证明它是增函数还是减函数.
2．在探究函数单调性定义时，领悟到数形结合思想、转化思想、变化与对应思想，并能运用这些数学思想观察、分析函数的图象，探究、归纳、概括函数单调性的概念．
3．通过对函数单调性定义的探究，经历观察、分析、探究、归纳的认知过程，将函数图象的“上升”或“下降”这一特征能用该区间上“任意的，都有”的数学语言进行刻画.从函数入手归纳函数单调性定义推广到一般函数的单调性定义.培养良好的思维品质，提高思维能力．
三、学生学情分析
学生已有的认知基础是，初中学习过函数的概念，初步认识到函数是描述事物运动变化规律的数学模型，并且学习了一次函数、二次函数及反比例函数，能熟练的利用描点法画出这些函数的图象.进入高中以后又进一步学习了函数概念，认识到函数是两个非空数集间的一种对应．知道函数有三种表示方法，充分认识到一个函数中自变量与函数值的对应关系，可以利用图象表示函数中函数值随自变量的变化而变化的规律和性质.
“图象是上升的，函数是单调递增的；图象是下降的，函数是单调递减的”仅就图象角度直观描述函数单调性的特征，学生并不感到困难.困难在于，把具体的、直观形象的函数单调性特征抽象出来，用数学的符号语言描述.即把某区间上“随着的增大而增大”这一特征用该区间上“任意的，都有”进行刻画.其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的．
教学中，通过一次函数、二次函数等具体的函数图象及数值变化特征的研究，得到“图象是上升的”，即“随着的增大而增大”，初步提出单调递增的说法，通过图表观察，提出猜想，经历讨论、交流、验证使学生克服思维障碍，经历从直观到抽象、具体到一般的形成知识的过程．
教学难点：形成增（减）函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述，用定义证明函数单调性。
四、教学策略分析
为实现本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上我主要采取了以下的策略：
（1）创设生活情境，找准切入点．函数是描述事物运动变化规律的模型，生活中很多运动变化的现象都值得去关注，让学生通过观察天津市某天气温变化曲线图的变化趋势，完成对单调性直观上的一种认识，并为概念的引入提供了必要性．让学生带着问题（什么是函数的单调性？怎样判定函数的单调性？）进入新课．
（2）探索概念阶段，紧扣主线．在函数图象上“谱好”函数单调性教学的“三步曲”．
①以学生熟悉的函数为例，让学生从图象上获得“上升”“下降”的整体认识，初步认识函数单调性．
②通过观察函数的对应值表格提出猜想，通过几何画板软件加以验证，用数学语言“随着的增大而增大” 来描述 “函数的图象在轴右侧是上升的”，进一步认识函数单调性．
③通过观察、猜想、分析、验证、证明的过程，从而用数学符号语言定描述函数在的单调性.最后通过类比，用数学符号语言定义一般函数的单调性．
（3）注重思想方法的培养．从函数图象的观察出发，经历从直观到抽象，从图形语言到数学符号语言，进而理解增函数、减函数、单调区间概念的过程中，感悟数形结合思想、特殊到一般思想．掌握通过观察图象，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，这一研究函数性质的常用方法．
（4）注重数学应用意识的培养．在整个教学过程中，通过温度曲线创设情境，找准切入点，进入新课．在练习1（1）中，利用温度曲线构造反例，帮助学生理解函数单调性中的“任意性”．在归纳反思中，利用温度曲线说明学习函数单调性知识具有实际意义．
五、教学过程
（一）创设情境，引入新知
我们知道，函数是研究事物运动变化规律的模型，生活中就有许多运动变化的现象是我们经常关注的，如某日天津24小时的温度曲线．
问题1：观察图形，你能得到什么信息？
师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充．
【设计意图】通过学生熟悉的实际问题引入课题．为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性．学生通过观察天津市某天气温变化曲线图的变化趋势，完成对单调性直观上的一种认识．
（二）观察探究，形成新知
问题2：观察函数，的图象随自变量的增大，是如何变化的？
学生获取函数的图象升降特点后，教师以函数为例，初步认识函数单调性：
函数的图象在轴左侧随着自变量增大而下降，我们说函数在区间上是减函数；在轴右侧随着自变量增大上而升，就说函数在区间上是增函数．
师生活动：教师引导，学生观察图象从左至右的变化情况，并回答问题．
【设计意图】体会函数的图象是上升的，函数的图象在轴左侧是下降的，在轴右侧是上升的．以函数的图象为例，通过函数的图象直观感知函数的单调性，初步认识函数单调性定义．
探究一：用数学符号语言定义增函数．
问题3：
①函数的图象在轴右侧是上升的，如何用数学语言来描述这种“上升”？
②观察表格，轴右侧自变量值与对应的函数值的变化规律是怎样的？
教师提出问题①后，组织学生填写表格，观察图表
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
．．．
师生活动：学生观察函数图象在轴右侧是上升的，提出函数在区间上随的增大而增大，在教师的帮助下，借助几何画板软件加以验证．
【设计意图】观察函数的图象，用“在 随的增大而增大”描述“图象在轴右侧是上升的”，进一步认识函数的单调性，从图形的刻画过渡到数量关系，即从图形语言的表述过渡到数学语言的表述．
问题4：如何用数学符号语言描述函数在 随的增大而增大？
师生活动：学生在教师的引导下，总结：
函数，在区间上任取值，当时，都有．就能说明函数在区间上随的增大而增大；函数是增函数.
引导学生观察图象，进行验证，并通过作差比较，对函数在区间上
当时，都有，给予证明．
经历上述观察、猜想、分析、验证、证明的过程，得到结论：
函数定义域为R，在上任意的的值，当时，都有．我们就说函数在区间上是增函数.
【设计意图】结合图、表，学生在教师的引导，结合其初中的认知基础，学生在教师的引导下，用数学符号语言“函数，在区间上任取两个，当时，有”来描述“随着的增大而增大”，学生经历从直观到抽象，从图形语言到数学符号语言，进而理解增函数、减函数、单调区间概念的过程．
问题5：对于一般的函数定义域为I，在区间D上，我们应当如何给增函数下定义？
引导学生给增函数下定义：
一般地，设函数的定义域为：
如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数．
师生活动：学生思考、发言，教师补充、板书．
【设计意图】体现了对函数研究的一般方法：由特殊到一般的思想方法．
问题6：类比增函数的定义，对于一般的函数，我们应当如何给减函数下定义？
教师引导学生通过类比、观察、验证、交流后，得出减函数定义
师生活动：小组讨论，代表发言交流．
【设计意图】得出减函数定义，培养学生的类比能力．
练习1：判断下列说法是否正确，说明理由：
（1）某地0点温度高于1点半的温度，1点半的温度高于5点的温度，则该地0点至5点温度一直在下降.
（2）对于函数在其定义域内有无穷多个值，满足，则函数在其定义域内是增函数.
（3）对于区间上的任意有，则函数在区间上单调递增．若不正确，请画图说明理由.
师生活动：学生回答练习（1）后教师通过本节课开始的“某日天津24小时的温度曲线”作为反例进行说明，练习（2）（3）学生通过作图展示说明．
【设计意图】通过辨析，学生进一步体验到定义中的两个自变量应该“任意”选取．
（三）巩固提高，应用新知
例1 下图是定义在区间上的函数，根据函数图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
师生活动：学生观察图象，独立完成，教师解答学生在解决问题过程中出现的问题．如：
①单调区间是定义域的子集；
②本题中，如果用并集符号，不符合单调性定义；
③本题中，区端点处有意义，那么区间开闭都可以．
【设计意图】学生能够通过函数图象说出函数的单调区间，加深对函数单调性概念的理解．
例2：物理学中的玻意耳定律(为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积减小时，压强将增大．试用函数的单调性证明之．
师生活动：帮助学生分析例2，引导学生将物理问题转化为数学问题，解题过程由学生思考陈述，教师板书证明过程，师生共同总结用定义证明函数为增（减）函数的基本步骤．
【设计意图】利用单调性证明物理学中的玻意耳定律，学生感受到函数单调性的初步应用；教师引导下，学生熟悉用定义证明函数为增（减）函数的基本步骤．
探究二：反比例函数的单调性
问题7：
①画出反比例函数的图象，并说出函数的定义域是什么？
②它在定义域上的单调性是怎样的？
③证明你的结论．
师生活动：学生讨论，代表发言，提出猜想，证明猜想．
【设计意图】学生体会：通过数形结合思想的运用，观察图象，先对函数是否具有某种性质进行猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，是研究函数性质的一种常用方法．
（四）归纳反思，深化新知
问题8：通过本节课学习，你有哪些收获？
师生活动：学生谈本节课的学习感受，教师梳理、概括本节课主要的学习内容，并揭示蕴涵的数学思想方法．
【设计意图】使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法．
（五）目标检测
1．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数．
2．证明函数在上是减函数．
（六）布置作业：
（1）基础达标：
①教材中练习的第1、2题；
②求证：函数在区间上是减函数．
（2）能力提升：研究函数的单调性．
（3）思考探究：函数定义域内的某个区间D上任意两个自变量的值，当时，都有，则函数在区间D上是 ．（填“增函数”或“减函数”）
教学点评
点评人：刘家征（天津市第四中学）
本节课的教学，较好的完成了三个教学目标。课堂教学始终以学生为中心，结合学生认知结构中的“最近生长点”一次函数和二次函数，寻找学生易于接受的思维模式，由感性感知“图象由左向右是上升的，函数是单调递增的”到理性思考 “随着的增大而增大”，再到逻辑推理“任意的，都有”，很自然的突破引入“任意取两个大小不等的”的教学难点，而单调性定义后面给出的三个辨析训练，让学生更加深刻的体会定义中“任意”的含义．教学中增加且板书引导学生证明的单调性，并且在给出定义后明确两个函数的单调性和单调区间，既明确本节课的教学重点，又让学生对本节学习内容有了抓手。
本节课以教学内容为载体，注重培养学生的探究能力和学习能力，让学生通过图表观察、合作探究提出猜想，经过讨论、交流、论证得到数学成果，经历从直观到抽象、具体到一般的形成知识的过程，使学生获得研究数学问题的重要思想方法，积累终身学习的基本素质。
本节课以温度曲线为教学切入点，时刻把抽象的数学问题和实际应用问题相结合，培养学生的应用意识和利用数学解决实际问题的能力，激发学生学数学和用数学的兴趣。
《1.3.1单调性与最大（小）值（第1课时）》教学设计
新疆维吾尔自治区伊犁州奎屯市第三中学 王丽
课型：新授课
教学内容解析
函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都要经历直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.
函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用．函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其它数学知识的重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材.
二、教学目标
按照教学大纲的要求，根据教材和学情，确定如下教学目标：
1.从实际问题出发，使学生通过观察、思考，直观感知函数的单调性.通过探究，讨论函数图像的变化趋势与y值随自变量x的变化情况之间的关系.让学生体验“任意”二字的含义，将图形语言与自然语言建立联系.在此过程中培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯.
2.从具体的二次函数在区间上为增函数入手，通过学生对“y值随x的增大而增大”的逐层深入认识，将自然语言转化为数学符号语言，教师再加以合理引导，顺利突破本课第一个难点。使学生从形与数两方面理解增、减函数的概念，掌握运用函数图像和单调性的定义判断函数单调性的方法.在此，让学生领会数形结合的数学思想方法，经历从具体到抽象，从特殊到一般,从感性到理性的认知过程.
3．通过对增、减函数概念的深入挖掘，初步掌握证明函数单调性的方法与步骤，培养学生归纳、概括、抽象的能力和语言表达能力，提高学生的推理论证能力.
三、学生学情分析
学生在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数的基础上对函数的增减性有一个初步的感性认识，已具备了一定的观察事物能力和抽象思维能力，但对于感性思维向理性思维的过渡仍有一定的障碍，对于自然语言向符号语言的转化，学生会觉得比较困难.另外，单调性的证明是学生在函数学习中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的.
四、重、难点分析
重点：增、减函数概念的形成及单调性的初步应用.
难点：增、减函数的概念形成以及根据定义证明函数的单调性.
五、教学策略分析
本节课是函数单调性的起始课，根据新课改的教学理念，结合本节课的教学内容和学生的认知水平，主要采用让学生自主探究、独立思考、合作交流、探究成果展示及教师启发引导的教学方式进行教学.同时使用多媒体辅助教学，增强直观性，提高教学效果和教学质量.
在学生的学法上我重视让学生利用图形直观启迪思维，完成从感性认识到理性思维的质的飞跃．让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力．
六、教学过程
（一）创设情境
引例
某品牌电热水壶，烧开一壶水需要6分钟，水开后自动断电，50分钟后冷却至室温.
（1）你能描述一下，水温随时间的变化时如何变化的吗？
（2）你能用图像表示出这种变化关系吗？
（3）你能将“图像的变化趋势”与“水温随着时间的增加而变化”相结合起来吗？
这是一个实际问题，在描述上述变化关系时，把定义域分成了两个区间去研究.函数图像上升、下降的趋势反应的是函数的一个基本性质------函数的单调性.
（通过朴素的实际问题，让学生把增、减函数的图形语言与自然语言对应起来，同时为理解函数的单调性是函数的局部性质打下伏笔.）
（二）自主探究
1. 个人独立完成或学习小组合作完成.
任意写出一个函数的解析式及定义域，画出草图，任意列出一些自变量和相应的函数值，将“图像的上升、下降趋势”与“y值随x的变化”结合起来.
2.展示探究成果.
探究成果预设：
x
y
0.5
2
1
1
2
0.5
3
0.33
4
0.25
5
0.2
X<0 x>0
x
y
-3
-4
-2
-3
-1
-2
0
-1
1
0
2
1
3
2
x
y
-5
-0.2
-4
-0.25
-3
-0.33
-2
-0.5
-1
-1
-0.5
-2
,在上，y值随x的增大而增大，图像是上升的.
当时，y值随x的增大而减小，图像是下降的；当时，y值也随x的增大而减小，图像也是下降的.
教师追问：能不能说的图像在整个定义域上是下降的？能不能说整个定义域上y值随x的增大而减小？
3.教师用几何画板演示二次函数的函数值y 随x的变化而变化的过程，并任意选取自变量给出相应的y值，让学生再次感受图像上升与y随x的增大而增大相对应；图像下降与y随x的增大而减小相对应.
(三)抽象出增、减函数的定义
1.问题引导：究竟如何理解“y随x的增大而增大”呢？
学生探讨，得出“y随x的增大而增大”可以用符号语言表示为“当时，都有”.
函数，在上满足，当时，，则在上是增函数.
2.一般的，对于函数），在定义域的某个区间上，如何说明它是增函数呢？
让学生归纳出增函数的定义：
一般地，设函数的定义域为，
如果对于定义域内的某个区间D上的任意两个自变量，当时，都有，那么就说在区间D上是增函数.
用图像刻画增函数.
3.对比增函数的定义，由学生归纳出减函数的定义.
一般地，设函数的定义域为，
如果对于定义域内的某个区间D上的任意两个自变量，当时，都有，那么就说在区间D上是减函数.
用图像刻画减函数。
4、函数的单调性定义
如果函数在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间.
5.比较增函数、减函数的定义.
注意：
①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
②必须是对于区间D上的任意两个自变量，没有例外.
6、深化增、减函数的概念。
让学生找到增（减）函数定义中的关键词有哪些.
7、概念辨析
问题（1）:函数在定义域的区间上有无数个自变量，的值随自变量的增大而增大. 能不能说明在区间上是增函数？
问题（2）:函数在定义域的区间上有两个自变量，当时，有，能不能说明在区间D上是增函数？
（四）例题讲解
例1．课本P29如图，是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还减函数.
-5 -2 1 3 5
类型：根据函数图象说明函数的单调性．
练习1：根据下列函数的图像，指出其单调区间.
两个单调递增区间能并在一起吗？比较以下三个函数。
例2. 课本P29物理学中的玻意尔定律（k正为常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积v减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。
类型：根据函数单调性定义证明函数的单调性．
说明：这两道例题介绍了
（1）判断函数单调性的两种方法：根据图像观察,根据定义证明;
（2）证明函数单调性的步骤：
① 取值，并规定大小；
作差，并判断差值的正负；
下结论．
练习2：证明函数在上是减函数。
证明：设是上的任意两个实数，且，
则
由，得又，得
于是>0,即
所以，函数在上是减函数。
思考：对于定义域内某个区间D上的任意两个自变量，当时，以下条件能判断的单调性吗？
①
④
（五）本课小结
学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
① 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．
证明方法和步骤：取值并规定大小、作差并判断差值的正负、下结论．
数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等．
（六）作业布置
1.习题1.3第1,2题。
2.归纳以下函数的单调性。
3.预习作业：
你知道二次函数的最值吗？最值的含义是什么？
你知道什么样的函数存在最值吗？
（七）板书设计
课后反思：
1．给出生活实例和函数单调性的图形语言，调动学生的参与意识，通过直观图形得出结论，渗透数形结合的数学思想。问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始。这里，通过问题，引发学生的进一步学习的好奇心。
2．从具体的二次函数到一般函数，使学生把定义与直观图象结合起来，加深对概念的理解，得出函数单调性的数学语言。教师再用图像说明，分析定义，提问等办法，渗透数形结合分析问题的数学思想方法。
3．通过安排基本练习题，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成。
4．让学生体验数学知识的发生发展过程应该成为这节课的一个重要教学目标。函数的单调性的定义是对函数图象特征的一种数学描述，它经历了由图象直观感知到自然语言描述，再到数学符号语言描述的进化过程，这个过程充分反映了数学的理性精神，是一个很有价值的数学教育载体。
函数的单调性---课堂练习单
探究：
任意写出一个具体函数的解析式.
（1）画出草图，观察图像的上升、下降趋势.
（2）用列表法列出一些自变量x的值，并计算出相应的y值，观察x增大时,y值如何变化.
（3）你能不能将x增大时y值的变化情况与图像的特征结合起来？
x
y
x
y
x
y
概念辨析：
问题（1）:函数在定义域的区间上有无数个自变量，的值随自变量的增大而增大. 能不能说明在区间上是增函数？
问题（2）:函数在定义域的区间上有两个自变量，当时，有，能不能说明在区间D上是增函数？
练习1：根据下列函数的图像，判断其的单调性。
两个单调递增区间能并在一起吗？比较以下三个函数。
练习2：证明：函数在上是减函数。
思考：对于定义域内某个区间D上的任意两个自变量，当时，以下条件能判断的单调性吗？
①
④
预习作业：
你知道二次函数的最值吗？最值的含义是什么？
你知道什么样的函数存在最值吗？
