《函数的概念》的教学设计
上海市第三女子中学 施雯
一、教学内容解析
本节课是上海市教育出版社《数学》高一第一学期数学第三章《函数的基本性质》的第一节课，本章内容总共16课时，《函数的概念》安排为1课时。
《上海市中小学数学课程标准》对本节课的要求及建议是：“加深理解函数的概念，熟悉函数表达的解析法、列表法和图象法，懂得函数的抽象记号以及函数定义域和值域的集合表示，掌握求函数定义域的基本方法。对函数的值域只要求在简单情形下能通过观察和分析进行确定。”其中，对学生学习水平的要求是：“对所学函数概念有理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释，并能据此进行判断；知道函数的概念的由来及其与其他知识之间的联系；知道其用途，并能进行独立的尝试性应用。”
学生在初中已经初识了函数的概念，但当时的学习是在具体函数的基础上，将重点放在了两个变量的“依赖关系”上；高中阶段再一次介绍函数的概念，则把重点从“依赖关系”向“对应关系、性质、结构”转变，用集合与对应的语言刻画函数。高一数学的起始两个章节“集合和命题”与“不等式”已为函数概念的进一步学习做好了准备。
函数是高中数学的核心内容之一，函数的思想和方法贯穿于整个高中数学的教与学之中。这节课，我尝试运用丰富的材料使学生能抽象出建立在对应观点上的函数概念、并能用准确的数学语言进行刻画；从多角度来认识函数，并发现其本质都是对应关系；进一步用集合语言表示定义域、值域，进一步理解符号的意义。这一节概念课将为接下来从具体到抽象研究函数的性质做准备，也为学生函数的思想和方法的建立打下基础。
教学目标设置
1.在初中函数概念的基础上，通过观察、辨析几个实际的例子，逐步抽象出“函数的概念”，并用准确的数学语言进行刻画。
2.理解并掌握函数的三种表示方法：解析法、图像法与列表法，并揭示出三种方法背后的本质即“对应关系”。
3.通过多个具体函数的例子，理解函数的三要素，掌握确定一个函数的方法。
教学重点：
1.准确理解函数概念中的“对应关系”，通过比较体会用“集合-对应”来定义函数概念的优点。
2.理解并掌握函数的三种表示方法。
教学难点：
准确理解函数概念中的“对应关系”，通过比较体会用“集合-对应”来定义函数概念的优点。
三、学生学情分析
我这节课是借班上课，学生是上海市浦东新区洋泾中学高一（7）班的学生。洋泾中学是一所市实验性示范性学校。在上这节课之前，我与学生们有过一次20分钟的接触，彼此有了初步的认识。
通过上教版八年级数学教材的学习，学生们已经掌握了基于“变量说”的函数概念。与高中用“集合-对应”来定义函数不同，初中的概念侧重于两个变量的依赖关系，还未引进集合的概念，也不提对应关系。“变量-依赖关系”形象生动，以此定义函数符合学生在八年级时的认知能力与需要，但其中描述性的语言损失了数学的严谨性，也限制了函数的应用，所以有了进一步研究函数概念的必要。
学生对函数概念的理解有四个特点：
1．已熟悉具体的一次函数、反比例函数、二次函数、常值函数，生活中大量的函数现象也使学生对函数的概念不缺乏感性认识；但对抽象的函数概念较生疏，难以用自己的语言进行叙述、解释。
2．已熟悉求函数定义域的原则，对于“自变量”“因变量”“定义域”“值域”等数学术语和符号“”也不陌生；但没有用“集合-对应”的语言来表达，这些零碎的函数知识也未能抽象成整体的知识框架。
3．虽然八年级数学教材《函数的概念》第一节课就用到“图像法”和“列表法”来表示函数，但由于种种原因，学生对函数的理解不全面，往往错误地将“函数”等价于“函数解析式”，而学生学习的难点也正是要摆脱“解析法”的表象，发现函数关系的本质即“对应关系”。
4．由于“确定的依赖关系”没有明确指出因变量被自变量“唯一确定”，学生易将“函数”与“二元方程”混淆。
四、教学策略分析
依据这节课的教学内容与要求，并针对学生的认知能力和特点，我对本节课的教学做了如下设计：
1．在教学内容的结构上，注重初高中函数概念的“辩证与统一”，概念理解兼顾“具体与抽象”，教学安排选择“主要与次要”。
“辩证与统一”： 本节课伊始即通过回顾初中函数的概念，指出概念有进一步精细化的必要，让学生能带着目标进入这节“似曾相识”的概念课；当函数概念被建立起来后，再次通过对照两个概念来揭示函数的本质即“对应关系”，使初高中知识得以衔接，并形成知识框架，能以更高的观点来引领后续的学习。
“具体与抽象”：函数在生活中应用众多、学生对函数关系的感性体验也很丰富，这些教学资源被充分地应用在本节课的前二十分钟里，透过不同的实例，逐步将学生的注意力引导到函数共同的特征上，用恰当的方式抽象出函数的概念，并对概念的关键字词进行深入辨析。最后再回到具体的例题中，应用概念来做判断与辨析，使理解更深刻、准确。
“主要与次要”： 《上海市中小学数学课程标准》中明确要求“准确理解函数的概念，掌握求函数定义域的方法”，因此将教学的重点放在函数概念的理解上，突出主线，给予学生足够的时间来真正形成“集合-对应”的函数概念；而将定义域的求法融入到整节课的例题里面，包括实际问题中的限制条件（三个实例）和满足表达式有意义的条件（例题部分），并且将“分段函数”的概念也设计在例题中，拓宽学生对函数解析法的应用，使例题有效且高效。这样的设计着重在概念的形成，又涵盖了其它的知识点，达到本节课的教学目标。
2．在引导学生逐步由“具体到抽象”的概念形成过程中，采用了“启发式”的教学方法，让学生“多角度”地体验，将重点与难点“有步骤”地突破，使概念“图式化”地呈现，最后达到让学生抽象概括函数概念的目的。
“启发式”教学是以学生为教学的本体，充分调动学生的知、情、意、行等方面的积极性，让学生有机会经历各个抽象阶段，从表现形式不同的数学材料中分析它们的共同点，形成新的数学概念。为此我舍弃了教材中一些学生较难以入手的函数例子（如喷泉水滴的高度与时刻的函数模型，出租车计价模型），选择了一些与学生学习、生活密切相关的实例来激发他们的学习兴趣，用一个个问题把他们带进数学课堂的探索之中。比如，第一个例子是学生们在初中就已经掌握的物理问题：自由落体运动；第二个例子是手机移动数据流量余额问题；第三个例子是麦当劳点餐问题，后两个例子源于我们的日常生活，同学们都有感性的体验，就不难参与到之后理性的分析之中。以“如何用恰当的方式表示两个变量的关系？”引出“函数”的课题，再用一个个具体的问题将概念抽丝剥茧，引导学生去发现并探究出精细的函数概念。
“多角度”地观察、比较概念帮助学生拓宽对“函数”的理解，修正狭隘的“函数即函数解析式”的偏见；也帮助了学生挖掘出函数概念的本质。函数的表示方法是这节课的教学目标之一，我从他们最熟悉的“解析法”引入，并用了另外两个难以写出解析式的实例来说明函数还有其它表示方法：如“图像法”和“列表法”。通过比较，使学生体会各个方法的特点：“解析法”运算方便，“图像法”趋势明显，“列表法”对应清晰，从而丰富了他们对函数表示方法的认识；通过归纳，使学生概括三种表示方法的共同点：“解析法”通过运算得到函数值，“图像法”通过横坐标找到对应点的纵坐标，“列表法”的每一列就是一个对应关系，从而提炼出函数的本质就是“唯一确定的对应关系”，即使用其它的表示方法（如：文字叙述）只要能得到“唯一确定的对应关系”就是函数了。
“有步骤”地实现教学目标与重点，突破教学难点也是本节概念课所采取的教学策略。高中函数的概念与初中概念是统一的，但用了更数学化、更抽象的“集合-对应”语言来定义，所以我分以下三个步骤：（1）规定用集合来表示定义域、值域；（2）抽象出对应关系的意义；（3）强调“唯一确定”的对应关系，运用几个实例来逐步实现它们。特别是“唯一确定”这一概念中的关键词，我通过三个正例来强化，一个反例来辨析，让学生能正确理解、判断。在课堂中“集合-对应”的函数概念被逐步完整、逐步抽象，最终水到渠成。
“图式化”是本节课板书设计的特点。虽然几个实例的背景不同，但通过图式的方法进行整理，将定义域，对应法则及值域抽象出来，简洁有效地展现出几个函数的共性，使学生能透过函数的不同表示方法（解析法、图像法或列表法）、不同的变量名称（x和y，或t和s）、不同的对应符号（、或）看到函数的本质就是对应关系，达到最终能用较准确的数学语言叙述、解释的目的。
教学过程
（一）概念的温故
在我们身边充满了变化的量，我们该怎样来描述它们呢？数学中我们用“变量”来描述可以取不同数值的量。那么又该如何来描述两个变量之间的关系呢？让我们来看一个具体的例子：
实例1：自由落体实验
从10米的高处让一个小球自由落下，已知重力加速度为9.8，若空气阻力忽略不计，试用恰当的方式表示小球在下落过程中经过的距离（米）与时间（秒）的关系。
初中学习的函数概念：
在某个变化过程中有两个变量和，如果在变量的允许取值范围内，变量随着的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量叫做变量的函数，叫做自变量，叫做因变量。
初中的函数概念虽然形象生动，却有一些模糊的表述，如：“随着的变化而变化”，“确定的依赖关系”等。今天，我们将再一次研究“函数”这一核心数学概念，用更高的观点来理解它，用更数学化的语言来刻画它。
（二）概念的深化
实例1：自由落体实验
解析式很好地表达了与的依赖关系：将自变量先平方，再乘以4.9得到函数值。如此，是否由“2”对应得到“19.6”呢？此题中，允许取值的范围是什么呢？
允许取值的范围就是函数的定义域，我们用集合来表示，并简记为。当取遍定义域内的每一个值，通过“先平方，再乘以4.9”的法则得到的函数值所组成的集合就是函数的值域。定义域和值域是同学们曾接触过的概念，但今后我们必须用集合（区间）来表示它们；“先平方，后乘以4.9”的法则称为函数的对应法则，记为。
学生在理解函数概念时，往往只注意函数的表达式而忽略函数的定义域，割裂了函数的三要素。在这个同学们熟悉的“自由落体实验”中，通过一个反例：“2对应得到19.6”首先让学生注意到定义域是函数不可缺少的要素。接下来规定用集合表示函数的定义域和值域，重温了符号“”，并第一次提出“对应法则”的概念。最后利用图式，淡化了函数解析式，抽象概括出函数的三要素。但未纠正“对应法则”即“解析式”的误区。正真理解“对应法则”还需再看实例2。
实例2：10月手机流量走势图
小明每个月手机移动数据总流量为50MB，10月份他的剩余流量(MB)与时间 (天)之间的关系可以用以下图像来描述. 这个图中的两个变量：时间与手机流量余额是“函数关系”吗？为什么？
当取一个确定的值时，通过横坐标可以找到图像上相应点的纵坐标。如此，函数的对应关系就被确定了。这里我们虽然难以写出函数解析式，但图像上已经凸显了流量余额与时间的对应关系，不妨用字母“”来代表此图中的对应法则，那么当我们取定义域内的一个确定的值时，就得到唯一确定的函数值。
在设计实例2时，有两方面的考虑：一是要贴近学生的生活，使同学们发现数学的概念就在身边；二是想找到一个难以用解析式来拟合的函数图像，排除“函数解析式”这个看似不可或缺，实则与“函数概念”无关的表示方法，强化“函数概念”中“对应关系”的实质。“手机流量走势图”正满足了上述的设计意图。再者，这里将对应法则记为“”，温习了的意义，也提示同学们记为“”或“”是无关的，重要的是符号背后的“对应法则”。最后，对比了“解析法”与“图像法”各自的特点，并提出是否还有其它表示方法的问题。
实例3：麦当劳点餐
一位外国人走进麦当劳餐厅，他想买一个汉堡包，可他看不懂中文菜单，想一想他该怎样来点餐呢？如果他指出所选择汉堡包的编号，那么营业员就能奉上他想要的汉堡包，他所需支付的价格也被唯一确定了。这里有两个变量：编号和价格，它们也是函数关系吗？思考一个合理的表示方法使编号与价格的关系一目了然。
列表法：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
价格
15.5
17
17
19
15.5
16
9
9
7
如果反过来，编号是价格的函数吗？
价格
15.5
17
17
19
15．5
16
9
9
7
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
实际情景中，如果顾客付17元，一定能拿到想要的汉堡吗？由于不确定，这样点单会乱套的。同样，由于存在一个价格对应两个不同编号的情况，编号并不是价格的函数。函数关系不仅强调了存在对应的函数值，更要求通过对应法则存在“唯一确定”的函数值。
“列表法”表示函数对应清晰，通过实例1和实例2，学生已能顺利地判断两变量之间是否为函数关系，正确确定自变量与因变量，用集合表示出定义域，并通过表格找到对应法则。此例的设计意图不仅在于抛开解析式，突出函数的对应法则，还在于通过反例使学生明确对应法则必须“唯一确定”： 可以是“多对一”或者“一对一”，但不能是“一对多”。为接下来抽象出精确的函数概念做准备。
（三）概念的抽象
函数既表示定义域中元素按照对应法则与值域中元素对应的“过程”，又表示由定义域，对应法则和值域所构成的“对象”。通过之前的几个实际例子，相信学生已经充分体会到函数概念的本质，教师抓住时机引导学生从“过程”的角度、用自己的语言归纳出函数即变量间唯一确定的对应关系；而教师则从“对象”的角度抽象出函数即函数三要素所组成的整体；“过程”与“对象”的统一从而得到函数概念的新认识：
函数的概念
在某个变化过程中有两个变量和，如果对于在某个实数集合内的每一个确定的值，按照某个对应法则，都有唯一确定的实数值与它对应，那么就是的函数，记作，.叫做自变量，叫做因变量，的取值范围叫做函数的定义域,和的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.
得到概念后，教师归纳出什么是函数概念的关键（定义域，对应法则和值域），而什么与函数的本质无关（如表示方法），并指出概念中的限制条件，如：“每一个……都有……”、“唯一确定”等，使学生能准确地理解概念。当然，函数概念中还有其它的限制条件，如变量的个数是两个，定义域与值域是实数集合等，但由于在高等数学中，学生将学到“多元函数”、“复函数”以及“定义在任意非空集合上的函数”，所以此处并不强调这些“人为”的限制条件，只讲概念的实质属性。
当学生能准确把握“集合-对应”语言所定义的函数概念后，再对比初高中函数的概念，发现新的概念在表达上更准确、便于应用，但它们实际上是统一的，从而将初高中函数的知识整合起来。
（四）概念的应用
例题1、请指出下列图中哪一个不是函数的图像.
(A) (B) (C)
例题2、若，请判断是否是的函数？如果不是，请说明理由；如果是，请指出这个函数的定义域和值域.
例题3、下列各组所表示的函数是否相同？请同学们判断并说明理由.
（1），;
（2），;
（3），.
通过这三个层层深入的例子来应用函数概念，使同学们的理解更精致化。例题1与例题2从图像和算式两个角度来辨析函数的概念，由于学生较好地掌握了“唯一确定”这一限制条件，能快速得出正确的判断与理由。例题3讨论了如何来确定一个函数。两个反例的判断并不困难，但第三小问需要学生理解函数的本质不是变量的名称，也不是函数解析式，而是定义域、对应法则和由此被确定的值域，难度较大。回答的同学能做成正确判断，并在教师的引导下给出正确的解释。
三个例子也都有变式教学，让学生不断回到概念中去，并且都涉及到求函数定义域的问题；例题1还结合了分段函数的概念教学，总体来说，例题的设计还是高效的。
（五）小结与作业：
本节课我们一起建立了对函数概念的新认识：对应法则作用在非空实数集上，从而确定了非空实数集。（定义域）、（对应法则）和（值域）是组成函数的三个要素。对应法则可以用解析法、图像法或列表法来表示，因为这三种方法都能使定义域中的每一个确定的值通过对应法则得到唯一确定的函数值。这种对应关系可以是“多对一”或者“一对一”，但不能是“一对多”。最后，在函数关系中一旦定义域和对应法则确定了，值域就被确定了，函数也就被唯一确定了。
函数在生活当中的应用是广泛的，函数也是高中数学的核心概念；今天我们从“集合-对应”的角度来定义函数的概念，本质上与初中的函数概念是一致的，但它更具有一般性、也将在后续的学习中有更多的应用。
课后作业：数学练习部分 习题3.1函数的概念
课件21张PPT。为什么上这节《函数的概念》？为什么上这节《函数的概念》？为什么上这节《函数的概念》？既熟悉
又陌生片面的理解错误的混淆初中的学习《函数的概念》教些什么？ 教学内容解析 教学目标设置1.2.《函数的概念》教些什么？函数的概念定义域对应法则值域变量名称对应符号表示方法内容解析任意性唯一确定《函数的概念》教些什么？在初中函数概念的基础上，通过观察、辨析几个实际的例子，逐步抽象出“函数的概念”，并用准确的数学语言进行刻画。1.2.理解并掌握函数的三种表示方法：解析法、图像法与列表法，并揭示出三种方法背后的本质即“对应关系”。3. 通过多个具体函数的例子，理解函数的三要素，掌握确定一个函数的方法。《函数的概念》教些什么？准确理解函数概念中的“对应关系”，通过比较体会用“集合-对应”来定义函数概念的优点。教学重点2.1.理解并掌握函数的三种表示方法。教学难点准确理解函数概念中的“对应关系”，通过比较体会用“集合-对应”来定义函数概念的优点。1.《函数的概念》的教学策略是什么？教学内容的结构 辩证与统一 具体与抽象__ 主要与次要《函数的概念》的教学策略是什么？函数概念的形成 启发式 有步骤_————_ 多角度 图式化《函数的概念》的教学策略是什么？函数概念的形成启发式《函数的概念》的教学策略是什么？函数概念的形成多角度解析法图像法列表法反例《函数的概念》的教学策略是什么？函数概念的形成有步骤123《函数的概念》的教学策略是什么？函数概念的形成图式化《函数的概念》的教学过程概念的温故概念的深化概念的抽象概念的应用小结与作业《函数的概念》的教学过程概念的温故提问：如何描述两个变量之间的关系？自由落体实验初中学习的函数概念《函数的概念》的教学过程概念的深化再探：自由落体实验手机流量走势图麦当劳点餐《函数的概念》的教学过程概念的抽象“过程”与“对象”的结合“相关”与“无关”的区分“新知”与“旧识”的统一《函数的概念》的教学过程概念的应用层层深入，精致概念面面俱到，达成目标题题变式，有效高效《函数的概念》的教学过程小结与作业小结概念的核心提升概念的高度作业的布置
