课题：变量间的相关关系（第2课时）
授课教师：深圳市第二高级中学 董正林
教材：数学·人教社A版·必修三·第二章第三节
一、教学内容解析
本课作为“变量间的相关关系”第2课时，主要内容是探究如何用一条直线来近似刻画两个变量之间的相关关系，并且能用所得的直线方程进行预测，在这个过程中渗透多个重要的数理统计思想——最小二乘思想、随机思想与用样本估计总体的思想．
通过第1课时的学习，学生已经能够理解相关关系这一概念，能通过绘制散点图对相关关系进行直观、定性的描述，比如根据散点图判断两个变量间是否存在相关关系，是正相关还是负相关等．本课内容是上节课内容的延续与深入，通过用一条直线来近似代表变量间的线性相关关系，从而实现对相关关系进行定量研究．显然，在整体上与样本点最接近的直线能最大程度地近似代表真实关系．为此我们需要建立一个量化标准，也就是对“从整体上看，直线最接近样本点”进行精准的数学语言刻画．这样量化标准有很多，最经典、最常采用的就是最小二乘思想．
以最小二乘法建立起线性回归方程后，我们就能对所研究的总体情况进行预测．将解释变量代入回归方程计算得到一个数值并不难，更重要地是学生需要正确理解预测值的含义，明确预测值只是实际值的一个近似，是对总体情况的一种估计．
基于上述分析，本节课的教学重点定为：理解回归直线只是对相关关系的一种近似描述，最小二乘法只是确定回归直线的一种方法，理解回归方程的含义以及背后蕴含的统计思想．教学难点则是对“从整体上看，直线与样本点最接近”进行数学刻画，并在这个过程中引出最小二乘法这一重要数学思想．
二、教学目标设置
1、知识与技能：了解线性相关关系、回归直线、回归方程等基本概念，能熟练操作图形计算器进行绘图、计算，认识最小二乘法．
2、过程与方法：在探究如何用一条直线去很好地近似变量间线性相关关系的过程中，学习如何用数学知识去定量刻画实际问题，掌握线性回归的基本方法．
3、情感、态度与价值观：通过合作探究、类比思考，理解回归方程的随机性以及用样本估计总体的思想，感受“见微知著”、“一叶知秋”的哲学原理以及认识客观事物的一种角度．
三、学生学情分析
本课纯粹知识层面的内容并不多，但涉及许多重要且新颖的数学思想方法，有些思想方法与学生已有的认知基础偏离较远，比如学生已经习惯了一个问题无论有多少种解法，答案都是唯一确定的，但本课需要学生实现由确定性思维向统计思维的转变，因此学生要真正做到建构知识体系、抓住本质问题、理解核心概念不是一件容易的事情．此外，学生对大量的样本数据、复杂的公式结构以及代数运算可能心存畏惧，这些都会影响到课堂教学．有利的地方在于学生已经学习过方差的概念，能够理解用平均数去估计总体数字特征，以此作为其思维的“最近发展区”，便于其更好地认识最小二乘思想．同时，学生对新知识的旺盛求解欲望、对问题进行积极思考的态度也是顺利完成本课的重要保证．
教学策略分析
根据学生情况，为了更好地达成教学重点、突破教学难点，本课采用如下教学策略：
1、注重由特殊到一般的思维引导．本课以预设问题链激发学生思考、推动课堂教学．问题的设置体现了由特殊到一般的认知规律——学生先判定有限个方程中哪个方程的拟合效果更好，然后再推广到一般情形，探究如何在所有直线中寻找“最佳”直线．
2、强调实验探究，主张在学生自主活动的基础上进行思考、领悟．比如让学生在散点图中任意添加直线并求其方程，经过实验，就会发现每个人求得的直线都不一样，从而很自然地触发讨论——如何建立起量化标准，用数学知识来度量到底哪一条直线才是最接近样本点的，最终获得最小二乘思想．
3、采用类比思考法．将最小二乘法与方差的概念进行类比，将“用最小二乘意义下的回归直线来近似代表两个变量间的线性相关关系”这一原理与“以多个测量值的平均值作为某物理量真实值的估计”进行类比．通过类比帮助学生更好地理解数学思想，提升思维品质．
4、注意几何直观与代数运算的相互转化．比如将“回归直线并不经过所有的样本点”这个几何问题代数化为“由回归方程计算出来的值与实际值存在偏差”，将“比较各点偏差的绝对值之和”这个代数问题几何化为“样本点与直线间的斜线段的长度和最小”等．
5、应用现代教育技术手段．本课内容涉及大量的图形绘制与复杂的数据运算，用传统教学手段既耗时费力，又难以有效推进教学．TI-图形计算器的强大功能为数据的快捷处理提供了技术支持，让学生有更多的时间来探究、交流，便于达成教学目标．图形计算器在本课的应用包括如下几个地方：
（1）搭建无线网络平台，实现数据的实时上传与共享——借助图形计算器的“即时调查”功能，现场收集学生的身高、体重数据，并将汇总后的数据实时下发给学生，一方面为本课学习营造一个真实的案例，另一方面也避免了大量数据的手工逐一输入．
（2）运用图形计算器的“图形”功能，快速绘制散点图，从散点图中发现样本点大致分布在一条直线附近．在此基础上，请学生凭直观感觉，在散点图中任作一条与样本点整体上最接近的直线，并通过“坐标与方程”功能得到该直线的方程．经过操作学生自会发现，每个人眼中的直线都不一样，到底哪一条直线才是最接近的需要建立起量化标准，用数学语言来精准度量，从而很自然地触发讨论，最终引出最小二乘思想．
（3）利用图形计算器，进行快速计算．包括：在“列表与电子表格”中调用sum()函数求和；利用“统计计算/线性回归”功能直接求出一组数据的线性回归方程；尤其值得一提的是，在“计算器”页面中调用completesquare()函数可以实现对多项式的快速配方，这样我们就可以选取三个特殊样本点，对目标函数进行配方，帮助学生更好地认识系数公式的来历．
五、教学过程与设计
教学环节
问题或任务
双边活动
设计意图
创
设
情
景
触
发
思
考
【实验】身高和体重是生活中最常见的相关关系之一．请在图形计算器中输入你的身高、体重数据，然后根据汇总后的数据绘制散点图，并根据散点图思考下列问题：
（1）从整体上看，随着身体增高，体重如何变化？
[答]从整体上看，随着身体增高，体重越重．
（2）根据样本数据如何推断某一特定身高（比如175cm）的人的大致体重？ 能否估计身高每增加一定高度（比如10cm），体重大约增加多少kg？
（3）如果要用一个函数模型来近似地描述这两个变量之间的相关关系，你会选择哪个常见的函数类型？
[答]一次函数，因为各样本点大致分布在一条直线附近．
学生在图形计算器的手持端输入数据，然后提交；
教师将数据汇总，然后下发给学生；
学生接收数据，绘图，并思考回答问题．
现场搜集数据，创设与学生实际密切相关的问题情景，激发兴趣．
问题（1）旨在复习第1课时所学的相关关系、正/负相关等基础概念．
以问题（2）触发学生思考，引出本课的任务——对相关关系进行深入、定量地研究．
以问题（3）解释线性相关关系的概念．
探
究
问
题
感
悟
思
想
[引题]直线和中，哪一条能更好地近似变量，之间线性关系？
//
[答] ，因为它与各样本点在整体上最接近．
【实验】请根据自己的直觉，在散点图中作一条你认为在整体上最接近样本点的直线，并求出该直线方程．
[问题1] 能否在散点图中作一条直线，使其经过每个样本点？反映到代数计算，由直线方程所计算的值与实际值是否存在差异？
[答]不能．反映到代数计算，说明由直线方程计算出来的值（即估计值）与实际值存在差异．
[问题2]能否将各点偏差直接相加，然后通过比较和值的大小来判定 “最佳”方程？你认为比较合理的方案是什么？
[答]不能，因为直接相加会导致正负抵消，不能反映真实的差异情况．一个比较合理的方案是比较偏差绝对值之和的大小．
方程
偏差绝对值之和
125.68
145.9
127.05
[问题3]方程只是三个方程中“最佳”的方程，如何在所有直线中，找到一条与样本数据“偏差绝对值之和”
最小的直线？
[答]设满足条件的直线方程为，即求当为何值时，函数有最小值．
[问题4]根据阅读材料，思考回答下列问题：
[阅读材料]以“偏差的绝对值之和最小”为标准确定回归直线方程的方法叫最小一乘法．它诞生于1760年，但是由于当时无法解决函数的最值计算问题，最小一乘法在此后百余年中都没有获得长足的发展．直到1950年，人们发现了用线性规划求解的方法以及电子计算机的使用，才解决了计算难题．如今，统计理论的发展使最小一乘法在某些领域（如数量经济学）显示了优良的性质，正在逐步受到高度重视．
（1）能不能用“偏差绝对值之和最小”为标准来确定回归直线？
[答] 可以．
（2）以“偏差绝对值之和最小”为标准来确定回归方程难点在哪里？
[答] 难以求目标函数的最值．
（3）要确定线性回归方程，“最小一乘法”是不是唯一的方法？ 你能否想到其他的判定标准？
[答]不唯一，还可以比较偏差平方和的大小．
[问题5]一组数据的方差是如何定义的？
[答]
方程
偏差平方和
1347.87
1825.72
1330.93
[问题6] 方程只是三个方程中“最佳”的方程，如何在所有直线中，找到一条与样本数据“偏差的平方和”最小的直线？
[答]设满足条件的直线方程为，即当为何值时，函数有最小值．
[问题7] 最小二乘法是一种经典的、广泛应用的数据处理和优化的思想方法，我们在这之前有没有遇见过这种处理手段？
[答]我们通常用一组样本数据的平均数去估计总体的真实情况，原因在于平均数与各样本点差值的平方和最小．
学生绘图、计算，
教师随机展示几个同学的结果．
学生观察后发现每个同学眼中最接近样本点的直线都不一样．
教师随机选取三个方程，探讨如何确定标准，找到最佳方程．
教师提问引导，
学生思考作答．
学生在图形计算器的电子表格中调用sum()函数，计算三个方程的偏差绝对值之和，并以此为标准选出“最佳”方程．
教师提出问题[3]，学生小组合作，将之用数学语言表示出来．
教师给出一段阅读材料，学生阅读后回答问题[4] 以及复习回顾问题[5]．
学生在图形计算器的电子表格中调用sum()函数，计算三个方程的偏差平方和，并以此为标准选出“最佳”方程．
教师提出问题[6]，学生类比问题[3]思考作答．
教师给出最小二乘法 的概念，并通过一组特殊的样本点，用图形计算器展示如何快速对二元目标函数配方、求最值，然后直接给出最小二乘意义下的系数估计公式．
该引题旨在以直观的例子让学生明确：只有在整体上与样本数据最接近的直线才能较好地近似变量间的真实关系．
该实验旨在让学生明白，我们无法仅凭观测就能判定谁是最接近的直线，需要对“最接近”这个标准用数学语言进行定量刻画！
以问题[1]引入偏差的概念．
以问题[2]引导学生比较偏差绝对值之和的大小．
问题[3]将思考上升到更一般的情形，旨在引导学生用数学表达式刻画文字语言．
以问题[4]引导学生通过比较各个方程的偏差平方和的大小来选择，同时培养学生材料阅读与信息获取能力．
以问题[5]回顾方差的概念，通过类比思考，确立比较偏差平方和的大小这一方案．
以问题[6]引导学生将确定直线方程的工作转化为求解目标函数的最值问题．
通过问题[7]，类比平均数的概念，帮助学生进一步加深对最小二乘法的认识．
课
堂
练
习
升
华
认
识
[练习]高原旅行，由于气压低，空气含氧量少，容易产生高原反应．某同学打算去西藏那曲县旅行，但他在网上查询不到当地的大气压值，只知道那曲的海拔约为4500m . 由于大气压与海拔之间存在密切关系，为了研究那曲的大气压，该同学搜集到如下一组关于海拔和大气压的数据：
（1）绘制样本数据的散点图；
（2）计算海拔与大气压之间的回归方程；
（3）用此方程预测那曲（海拔高度4500m）的大气压值.
[提升]另一名同学也研究大气压与海拔的关系，他选取如下七对数据，计算得到的回归方程为，以此方程预测那曲的大气压值为57.85Kpa. 请问：
[问题8] 那曲的大气压值一定是57.85Kpa？
[答]不是，海拔只是影响大气压的因素之一，大气压与海拔间是一种不确定的关系，方程只是对真实情况的一种估计，所以预测值也只是对实际大气压估计．
[问题9] 同样是研究海拔与大气压之间的关系，为什么采集的样本数据不一样，回归方程会有所不同？
[答]因为回归方程的系数由样本数据决定.样本一般是随机抽取的，这意味着回归方程具有随机性．
[问题10]两个回归方程中，哪个方程的预测值会更接近实际值？为什么？
[答]方程的预测值更接近实际值．因为以高海拔地区的样本数据建立的回归方程能更好地预测高海拔地区的大气压值，这体现了用样本估计总体的思想．
学生审题，然后接收教师发送过来的数据，然后在图形计算器中绘制散点图、求回归方程并进行预测．
教师给出提升问题，并提出问题[8]-[10]供学生思考.
学生回答，教师总结，共同剖析背后的蕴含的统计思想.
练习的设置用意有二：
①设置了多个小问，让学生经历一个完整地“发现统计问题→画散点图→选择函数模型→计算回归方程→统计推断”的过程；
②通过设置问题[提升]，帮助学生分析回归方程背后蕴含的一些基本统计思想．
通过[问题8]进一步让学生理解回归方程只是两个变量之间真实关系的近似与估计．
[问题9]意在让学生理解回归方程的随机性——回归方程的系数依赖于样本数据，因此样本选取不一样，所得到的回归方程也不一样．并体会确定性思维与统计思维的差异．
[问题10]意在让学生体会并理解用样本估计总体的思想．
知
识
总
结
分
层
作
业
课堂总结：
一、基本概念
二、最小二乘原理与回归方程的确定
三、回归方程应用
1、随机思想
2、用样本推断总体的思想
分层作业：
（必做）：P94—习题2.3A组T3、T4.
（选做）假设测某个物体的长度，总共测量了n次，每次的测量值分别为，如果定义“最接近”的标准为“与各测量值差值的绝对值之和最小”，则应该用哪个数去估计该物体的真实长度？
师生共同回顾总结.
学生完成作业，教师指导学有余力的学生完成选做作业.
总结本节课主要的知识、方法与思想.
必做作业注重基础性，旨在巩固本节课所学的基本知识与方法.
选做作业要求较高，鼓励学生在课后独立思考或者查阅资料，帮助学生进一步领会本课中涉及的数学思想.
课件17张PPT。变量间的相关关系
（第2课时）
深圳市第二高级中学 董正林第七届高中青年数学教师优秀课展示与研讨活动【数学实验】[实验]请在图形计算器中输入你的身高、体重数据，然后根据汇总后的数据绘制散点图。【问题引入】观察散点图，思考下列问题：
（1）从整体上看，随着身体增高，体重如何变化？（3）如果要用一个函数模型来近似地描述这两个变量之间的相关关系，你会选择哪个常见的函数类型？（2）能否根据样本数据推断某一特定身高（比如175cm）的人的大致体重？ 能不能从中估计身高每增加一定高度（比如10cm），体重大约增加多少kg？若要在l1和l2中选择一条直线作为变量x，y之间线性关系的代表，你会选择谁？[实验]请根据自己的直觉，在散点图中作一条直线，让这条直线在整体上最接近样本点，并求出该直线方程。【数学实验】所有这些直线中，到底哪一条才是最接近样本点的？[问题1]从散点图看，你所作的直线是否经过每个样本点？
反映到代数计算上，由直线方程所计算的值与实际值是否存在差异？【问题探究】[问题2]可否将各点偏差直接相加，然后通过比较和值的大小来判定
哪个方程为“最佳”方程？[问题3]如何在所有直线中，找到一条与样本数据“偏差绝对值之和”最小的直线？【问题探究】[问题4]根据这段阅读材料，请思考回答下列问题：
（1）能不能用“偏差绝对值之和最小”为标准来确定回归直线？
（2）以“偏差绝对值之和最小”为标准来确定回归方程难点在哪里？
（3）要确定线性回归方程，“最小一乘法”是不是唯一的方法？
你能否想到其他的判定标准？【问题探究】[阅读材料]以“偏差的绝对值之和最小”为标准确定回归直线方程的方法叫最小一乘法。它诞生于1760年，但是由于当时无法解决函数 的最值计算问题，最小一乘法在此后百余年中都没有获得长足的发展。直到1950年，人们发现了用线性规划求解的方法以及电子计算机的使用，才解决了计算难题。如今，统计理论的发展使最小一乘法在某些领域（如数量经济学）显示了优良的性质，正在逐步受到高度重视。[问题5]要从甲乙两名跳远运动员中选拔一名去参加运动会，选拔标准是：先看他们的平均成绩，如果两人的平均成绩相差无几，就再看他们成绩的稳定程度。为此对两人进行了5次比赛，得到如下数据（单位：cm），
此时应该如何做出选人的决定？
【知识回顾】[问题6]如何在所有直线中，找到一条与样本数据“偏差的平方和”最小的直线？【问题探究】【问题探究】【知识小结】【问题探究】[问题7]假设测某个物体的长度，总共测量了n次，每次的测量值分别为 ，则我们一般认为其长度是多少？【课堂练习】高原旅行，由于大气压低，空气含氧量少，容易产生高原反应。某同学打算去西藏那曲县旅行，但他在网上查询不到当地的大气压值，只知道那曲的海拔约为4500m . 由于大气压与海拔之间存在密切关系，为研究那曲的大气压，该同学搜集到了如下一组关于海拔和大气压的数据：试用图形计算器完成下列操作：
（1）绘制样本数据的散点图；
（2）计算海拔与大气压之间的回归方程；
（3）用此方程预测那曲（海拔高度4500m）的大气压值. 【认知升华】[问题8]那曲的大气压值一定是50.8Kpa吗？为什么？【认知升华】[问题10]两个回归方程中，哪个方程的预测值会更接近实际值？为什么？[问题9]同样是研究海拔与大气压之间的关系，为什么采集的样本数据不一样，回归方程会有所不同？另一名同学也是研究大气压与海拔的关系，他选取如下七对数据，计算得到的回归方程为 ，以此方程进行
预测，那曲的大气压值为57.85Kpa.【课堂总结】一、基本概念：
线性相关关系、回归直线、回归方程二、最小二乘法与线性回归方程三、应用回归方程进行预测
1、随机思想
2、样本估计总体的思想【分层作业】必做作业： P94—习题2.3A组T3、T4选做作业：假设测某个物体的长度，总共测量了n次，每次的测量值分别为 ，如果定义“最接近”的标准为“与测量值差值的绝对值之和最小”，则应该用哪个数去估计该物体的真实长度？
