§2.2.1 等差数列
阿左旗高级中学 杨灵媛
【教学目标】
1、经历大量的实例观察与举例分析，发现数列的项与项之间的“等差”关系，理解等差数列的概念；
2、经历累加、归纳猜想出等差数列的通项公式，并且会用公式解决一些简单的问题；
3、通过等差中项，让学生充分理解等差数列；
4、通过等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
【教学重难点】
重点：理解等差数列的概念，探索等差数列通项公式，并能解决相应的问题。
难点：等差数列通项公式的推导过程。
【教学设计】
【教学过程】
环节一：情境引入
引用实例，让学生认真观察：
（1）从0开始，将5的倍数按从小到大的顺序排列，组成的数列为：
0，5，10，15，20，25，…….
（2）在2000年悉尼奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目，该项目共设置了7个级别，其中较轻的4个级别体重（单位：kg），组成数列48，53，58，63.
（3）水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放 水清库的办法清理水库中的杂鱼.如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位（单位m）组成的数列为：
18，15.5，13，10.5，8，5.5.
（4）我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本息计算下一期的利息.按照单利计算本利和的公式是：本利和＝本金×(1＋利率×存期）.按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和（单位：元）组成的数列为：
10072，10144，10216，10288，10360.
【教师活动】：若把上述例子中的数列放在一起，请同学们考虑：这四个数列有何共同特点？
【学生活动】：学生思考后依次回答上述四个数列都是递增或递减的，而且递增或递减的都是同一个常数。
【教师总结】：同学们观察的非常好，这就是咱们今天要学习的内容：等差数列（板书课题）。
【设计意图】：让学生阅读、研究教材，感受等差数列模型的现实背景，激发学习数学的兴趣，并且为探究共性、引入等差数列的概念提供实例。
环节二：形成概念一
【教师活动】：咱们说例子中的四个数列都是等差数列，同学们能不能试着给等差数列下一个定义？
【学生活动】：学生考虑后给出等差数列定义：相邻的两个数的差是一个常数，那么数列就是等差数列。
【教师活动】举例一：1，2，4，5，8……
意 图：让学生体会必须是同一个常数
举例二：1，0，1，0，1……
意 图：让学生体会是后一项减前一项的差
【教师活动】形成概念：一般地，如果一个数列{an},从第2项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母 d 表示。让学生用数学语言表示：
an - an-1=d(n≥2,n∈N),
【设计意图】：让学生自己总结概念，教师加以完善，让学生充分理解概念中的关键点。
【教师活动】让学生自己写出几个等差数列的例子
【学生活动】1，3，5，7，9…… d=2
2，4，6，8，10…… d=2
0，0，0，0，0…… d=0
10，9，8，7，6…… d=-1
【设计意图】理解并应用概念，同时理解公差可以判断数列单调性
环节三：形成概念二
【教师活动】在如下两个数之间，插入一个什么数后，这三个数就会成为一个等差数列？
（1）2，（ ），4
（2）-12，（ ），0
（3）a,( ),b
【学生活动】：独立思考后，学生对本题作出解答，同时初步感知等差中项
【教师活动】肯定学生的答案，同时讲解由三个数a、A、b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时，A叫做a和b的等差中项。同时对等差中项进行适当的推广，让学生认识到等差中项可以作为判断数列为等差数列的依据。
环节四:探究：等差数列通向公式的推导
【教师活动】设一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d,那么数
列{an}的通项公式是什么？
【学生活动】学生可先独立思考后可以小组讨论，而后给出答案
方法一：归纳猜想
方法二：累加法
【教师总结】由以上两位同学的展示，我们已经得到等差数列的通向公式an=a1+(n-1)d
环节五：理论迁移
【教师活动】例1： （1）求等差数列8，5，2，…的第20项；
（2）判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13…的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
【学生活动】对例题进行解答，同时在实物投影上展示
【教师总结】就题目而言并不难，三但要让学生发现数列通项与一次函数之间的关系，并让学生结合去分析数列的单调性。
【教师活动】在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d .
【学生活动】学生独立完成后进行展示
【教师总结】总结方程思想并让学生再次感知等差数列公差的几何意义。
环节六：课堂小结
知识点：1、等差数列的定义及判定
2、等差中项的概念及简单应用
3、等差数列的通项公式的掌握及应用
思想与方法：数形结合思想；函数与方程思想等
环节七：布置作业
作业：教材39页练习第5题
习题2.2A组第1题；B组第1题
板书设计
§2.2.1 等差数列
一个定义：等差数列
一个概念：等差中项
一个公式：等差数列通向公式
一种思想：函数与方程思想
白板演示区
练习板演区：
课件12张PPT。数列3—等差数列的性质（1）黑龙江省伊春市友好三中 张明慧一、学习目标
知识与技能：理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，了解等差数列与一次函数的关系。
过程与方法：能在具体问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题
情感态度价值观：学会其常用的数学方法和体现出的数学思想，促进思维水平的发展。
二、学习重难点
重点： 等差数列性质的应用
难点： 等差数列性质的应用
三、考纲解读
1、理解等差数列的概念。2、掌握等差数列的通项公式与前项和公式。3、能在具体问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。4、了解等差数列与一次函数的关系。四、知识链接
1、等差数列的性质
（1） 若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，
则有 ，特别地，当m＋n＝2p时，
.
注：此性质常和前n项和结合 使用．
（2）等差数列中， Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．
（3）等差数列的单调性：若公差d>0，则数列为单调递增；若d<0，则数列为 单调递减 ；若d＝0，则数列为常数列。
（4）在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，但剩下的项按原顺序构成的数列不一定是等差数列.2、 的最值的求法。若{an}是等差数列，求前n项和的最值时，
（1）若 ，且满足 ，前n项和 最大；
（2）若 ，且满足 前n项和 最小；
（3）将{an}的前n项和的最值问题看做 关于n的二次函数问题，利用二次函数的图像或配方法求解。
（4）利用 与n的函数关系，进行求导来求最值。五、基础检测
1、如果数列{ }是等差数列，则 （ B ）
B.
C. D.
2、等差数列{ }各项都是负数，且 ，
则它的前10项和 等于（C ）
A.-11 B.-9 C.-15 D.-13
3、在等差数列 { } 中，已知前20项的和 ，则
（ B ）
A.30 B.34 C.60 D.56
4、已知数列 的前项和 ，第k项满足
，则k等于（ B ）
A．9 B．8 C．7 D．6六、学习过程
例1、（1）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知
,则 等于（ A ）
（2）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知
例2、等差数列{an}的前n项和为Sn ，
求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值。例3.已知数列{ }中，a1＝ ，
(n≥2，n∈N*)，数列{ }满足 (n∈N*)，
(1)求证：数列{ }是等差数列； (2)记Sn＝b1＋b2＋…＋ ，求 的最小值． 七、达标训练
1、在等差数列 中,有 ，则此数列的前13项和为（ C ） A.24 B.39 C.52 D.104
2、等差数列{ }中， ，则此数列前20项和等于 （ B ）A. 160 B. 180 C. 200 D. 220
3、等差数列{ }的公差是d，前n项和为 ，当首项 变化时， 是一个定值，则下列各数中也为定值的是（ C ）
A. B. C. D.
4、设 是等差数列{ }的前n项和，若 ，则
等于 （ A ） A. 1 B. -1 C. 2 D.
5、若两个等差数列 的前n项和分别为 和 ，且满足 的值是（ C ）
A. B. C. D.
6、在等差数列 中, 是它的前n项和， ，且 ，则当 最大时，n的值为（ C ）
A.16 B.9 C.8 D.10
7、若{ }是等差数列，首项 ，则使前n项和 成立的最大正整数n是（ B ）
A. 4005 B. 4006 C. 4007 D. 40088、设等差数列 共有3n项，它的前2n项之和是100，后2n项之和是200，则该等差数列的中间n项之和等于 75
9、第一组有1项，第二组中有2项，第三组中有4项，…，第n组中有 项.记 为第n组各项的和，已知 则等差数列的通项公式为
____________________点火预热：数列4—等比数列（1）
一、学习目标
知识与技能：通过实例，理解等比数列的概念；
过程与方法：探索并掌握等比数列的通项公式与前n项和的公式；
情感态度与价值观：对学生进行“事物在一定条件下可以相互转化”的辩证思想教育。
二．学习重难点
学习重点：等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题
学习难点：解决问题时注意数学思想的应用，象通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价转化、分类讨论等，它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力
三、考纲解读：
（1） 理解等比数列的概念．
（2）掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．
（3）能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．
（4）了解等比数列与指数函数的关系．课件22张PPT。等差数列说教材说教法说学法板书设计教材过程
设计www.themegallery.comCompany Logo教材分析教法学法教学过程教学反思一、教材的地位和作用
《等差数列》是必修5第二章第1节的内容。
是学生在学习了数列的有关概念的基础上，
对数列知识的进一步深入和拓展。同时等
差数列的学习也为今后学习等比数列提供了
学习对比的依据。所以，本节课不仅有着
广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用
www.themegallery.comCompany Logo教材分析教法学法教学过程教学反思知识目标:
1）理解并掌握等差数列的概念；
2）了解等差数列通项公式的推导过程及思想；
3）初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。
二、教学目标www.themegallery.comCompany Logo教材分析教法学法教学过程教学反思二、教学目标能力目标：
培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，并通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。www.themegallery.comCompany Logo教材分析教法学法教学过程教学反思二、教学目标情感目标：
通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
www.themegallery.comCompany Logo重点：等差数列的定义、通项公式。 难点：通项公式的推导、理解和应用。教材分析教法学法教学过程教学反思三、教学重点、难点www.themegallery.comCompany Logo教学方法： 开放式探究 启发式引导
互动式讨论 反馈式评价学习方法： 自主探究 观察发现
合作交流 归纳总结教材分析教法学法教学过程教学反思教学手段： 结合多媒体网络教学环境，
构建学生自主探究的教学平台。www.themegallery.comCompany Logo教学过程教材分析教学反思教法学法创设情境——引入概念以台阶问题为载体，
以学生活动为主线观察归纳——形成概念 知识小结——布置作业练习反馈——强化目标 例题解析——熟悉目标探究规律——推导公式 www.themegallery.comCompany Logo（1）从0开始，将5的倍数按从小到大的顺序排列，组成的数列为：（2）在2000年悉尼奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目，该项目共设置了7个级别，其中较轻的4个级别体重（单位：kg），组成数列48，53，58，63.0，5，10，15，20，25，…….（3）水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放 水清库的办法清理水库中的杂鱼.如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位（单位m）组成的数列为：18，15.5，13，10.5，8，5.5.（4）我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本息计算下一期的利息.按照单利计算本利和的公式是：本利和＝本金×(1＋利率×存期）.按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和（单位：元）组成的数列为：10072，10144，10216，10288，10360.www.themegallery.comCompany Logowww.themegallery.comCompany Logowww.themegallery.comCompany Logo等 差 数 列 的 定 义一般地，如果一个数列{an},从第2项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母 d 表示。 定义的符号表示是：an - an-1=d(n≥2,n∈N),这就是数列的递推公式。www.themegallery.comCompany Logowww.themegallery.comCompany Logo通 项 公 式 的 推 导设一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d,那么数
列{an}的通项公式是什么？
所以等差数列的通项公式是：an=a1+(n-1)dwww.themegallery.comCompany Logowww.themegallery.comCompany Logo例 题 讲 解例1： （1）求等差数列8，5，2，…的第20项；
（2）判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,
-13…的项?如果是，是第几项，
如果不是，说明理由。www.themegallery.comCompany Logowww.themegallery.comCompany Logo例 二在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d .这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组，解之得：小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？请同学们思考并做以下练习。www.themegallery.comCompany Logo思考题：已知等差数列{an}中，am,d 是常数，试求出an的值。www.themegallery.comCompany Logowww.themegallery.comCompany LogoThank You !请各位评委指正www.themegallery.comCompany Logo
