自选课题：分类加法计数原理与分步乘法计数原理
武汉市第二十三中学 张 静
一、教学设计
1．教学内容解析
“分类加法计数原理和分步乘法计数原理”（以下简称“两个计数原理”）是人教A版高中数学课标教材选修2-3“第一章计数原理”第1.1节的内容，教学需要安排4个课时，本节课为第1课时．
计数就是数数．原理是在大量观察、实践的基础上，经过抽象、归纳、概括而得出具有普遍意义的基本规律．两个计数原理不仅是继续学习排列、组合和二项式定理的理论依据，更是处理计数问题的两种基本思想方法，在本章中是奠基性的知识．
从认知基础的角度看，两个计数原理实际上是学生从小学就开始学习的加法运算与乘法运算的拓展应用，是体现加法与乘法运算相互转化的典型例证．
从思想方法的角度看，运用分类加法计数原理解决问题是将一个复杂的计数问题分解为若干“类别”，再分类解决；运用分步乘法计数原理解决问题则是将一个复杂的计数问题分解为若干“步骤”，先对每个步骤分类处理，再分步完成．综合运用两个计数原理就是将综合问题分解为多个单一问题，再对每个单一问题各个击破．也就是说，两个计数原理的灵魂是划归与转化的思想、分类与整合的思想和特殊与一般的思想的具体化身．
从数学本质的角度看，以退为进，以简驭繁，化难为易，化繁为简，是理解和掌握两个计数原理的关键，运用两个计数原理是知识转化为能力的催化剂．
因此，本课的主要任务是如何依托学生已有的认知基础总结得出两个计数原理，并能初步领会应用原理简捷地解决计数问题的要领．
根据以上分析，本节课的教学重点确定为：
教学重点：归纳出两个计数原理，并能初步用其解决一些简单的实际问题.
2．学生学情分析
计数问题学生并不陌生，在不同的学段都有相应的接触，特别是在高中数学《必修2》中学习“古典概型”时，学生又学会了用列举法解决最简单的计数问题；同时在学习和生活中，学生已经不自觉地会使用“分类”和“分步”的方法来思考和解决问题，这些都是学生学习两个计数原理的认知基础．
两个计数原理虽简单朴素，易学好懂，但如何让学生借助已有的数学活动经验，抽象概括出两个计数原理，并领悟其中重要的数学思想方法，实现认知的飞跃，则是本课必须要突破的难点所在．为此，抓住以下两个要点尤为重要：
一是要通过典型丰富的实例来帮助学生完成归纳提炼的过程，加强学生应用两个计数原理解决问题的意识——这是有效提升学生抽象概括能力的契机；
二是要在解决问题的过程中，始终突出两个计数原理的核心要素，即弄清“完成一件事”的含义和区分“分步”与“分类”的特征——这是如何选择两个计数原理的关键．
根据以上分析，本节课的教学难点确定为：
教学难点：根据实际问题的具体特征，正确理解“完成一件事”的含义；准确区分“分类”和“分步”．
3．教学目标设置
（1）通过给出的具体实例，学生经历两个计数原理的抽象概括的发现过程，能归纳出两个计数原理，并能说出两个计数原理的联系与区别，体会从特殊到一般的思维过程；
（2）根据具体的问题情境，学生能描述“完成一件事”的具体含义，说出“分类”与“分步”的区别，总结出应用两个计数原理的基本步骤；
（3）通过变式练习、引例探究和列举实例，学生会正确选择和应用两个计数原理解决一些简单的实际问题，领悟运用两个计数原理所包含的划归与转化、分类与整合和特殊与一般的思想方法，以及以退为进的思维策略.
4．教学策略分析
本节课是概念原理课的教学典范．拟定采取以退为进的教学策略，采用“情景引入—问题诱导—实例探究—抽象概括—原理应用—归纳总结—拓展铺垫”的探究发现式教学方法，紧紧围绕如何抽象、怎样概括、如何归纳和怎么应用等问题展开，通过典型丰富的实例引导学生归纳出两个计数原理，并能学会初步应用．
具体教学策略分成如下五个环节：
第一环节：创设情境，提出问题．从“神十的身份证号码”出发，引出“人造天体的编号问题”，通过问题设疑，引导学生在不断思考中获取两个计数原理的发现过程；
第二环节：实例探究，归纳原理．从以退为进的实例出发，通过先“两类”后“多类”，先“分类”后“分步”，先“加法”后“乘法”的逐步过渡，引导学生在加法与乘法相互转化的过程中提炼归纳两个计数原理；
第三环节：演练反馈，巩固提升．从选择两个原理解决计数问题的关键出发，通过“各取”“任取”等关键词的辨别，引导学生真正弄清“完成一件事”的具体含义，领会准确区分“分步”和“分类”的操作要领；
第四环节：归纳小结，认知升华．从放手让学生自主小结出发，通过提纲挈领的表格式小结，引导学生进一步加深对两个计数原理本质的认识；
第五环节：课后检测，拓展铺垫．从引发学生进一步思考出发，通过设置有关高考科目改革的热点思考题，为后继学习排列组合做好铺垫，激发学生进一步学习的欲望．
其教学流程如下：
二、课堂实录
1．创设情境，提出问题
开场白：中国梦，航天梦．近年来，我国科技发展突飞猛进，“神十”的发射更是让世人瞩目，下面我们就一起来回顾这令人激动的时刻．
视频：“神十”升天，飞入太空．
画外音：“神十”升天，国人欢呼，世界瞩目．你知道他的“身份证号码”吗？它的国际编号为2013-029A.
人造天体的编号规则：
①发射年份+四位编码；
②四位编码前三位为阿拉伯数字，第四位为英文字母；
③前三位数字不能同时为0；
④英文字母不得选用I，O（ I易与1混淆，O易与0混淆）．
按照这样的编号规则，2013年的人造天体所有可能的编码有多少种？
师：欣赏完激动人心的视频，我们来看看这个问题的设问方式，“按照这样的编号规则，2013年的人造天体所有可能的编码有多少种？”这就是一个典型的计数问题．所谓计数就是数数．其实类似的问题有很多：幼儿园时我们数有多少个鸭子？我们班有多少同学？甚至我们穿校服上衣和裤子有多少种不同的搭配种数等等，我们将这种方法数的计算问题都称之为计数问题．
师：小时候，我们是怎么数的呀？
生：一个一个的数．
师：刚才这个问题“一个一个的去数”可以吗？比较复杂．看来我们有必要探究更有效的计数方法．这个问题研究四位编码比较复杂，怎么办？我们不妨先退回来研究一位、两位的情形，从中探索出规律，从而解决四位的情形．
【评析】以学生关心的知识背景切入本节课，以视频演示烘托气氛，提高了学生主动参与学习的积极性，同时点题：如何有效的计数．
2．实例探究，归纳原理
（1）师生共同探究，得出分类加法计数原理
问题1：如果用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给卫星编号，那么总共能够编出多少种不同的号码？
生：26+10=36种
师：对的．这就是加法运算．
问题2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车．一天中，火车有26班，汽车有10班．那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?
生：一共有26+10=36种不同的走法．
师：对，那这两个计数问题有什么共同特点呢？
生：这两个问题告诉我们，计数是可以分类的：问题1按英文字母和阿拉伯数字分成两类，问题2按交通工具分成两类．将每类的方法数相加就得到了问题的答案．
师：梳理同学们的总结，我们列成表格，将共性总结成一个命题，即如果完成一件事有两类不同方案，在第一类方案中有种不同的方法，在第二类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法．根据特点给它起个名字，就叫分类加法计数原理．原理是在大量观察的基础上经过归纳、概括而得出的基本规律．同学们还要特别注意：这里的关键词是完成一件事，分类，加法，每类中的任一种方法都能独立完成这件事．
【评析】让学生体会知识获得的过程，通过独立思考、自主探究、合作交流归纳出原理．
师：同学们试一试，能用自己得到的原理解决具体的问题吗？
例1 在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
A大学?????????? B大学
生物学????????????????????????? 数? 学
化? 学????????????????????????? 会计学
医? 学????????????????????????? 信息技术学
物理学????????????????????????? 法? 学
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
生：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所，而且只能选择一个专业，又由于A大学有5种不同的选择，B大学有4种不同的选择，所以共有5+4=9种不同的选择．
师：对．如果还有C大学呢？
变式：在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A，B，C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
A大学?????????? B大学????????? C大学
生物学????????? 数? 学??????? 新闻学
化 学????????? 会计学???????? 金融学
医 学????? ? 信息技术学???? 人力资源学
物理学????????? 法? 学
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
生：5+4+3=12．
师：看来加法原理不仅对完成一件事有两类不同方案适用，也对分三类方案适用，对分n类同样适用．
生：一般地，如果完成一件事有类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类中有种不同的方法…，在第类中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同方法．
【评析】例题及变式训练由易到难，循序渐进，而且为学生自主生成加法原理的一般形式做好了铺垫．
师：下面，我们看大家能否用这个原理解决更复杂的问题！
（2）类比转化探究，得出分步乘法计数原理
问题3：如果用前六个大写英文字母中的一个和1～9九个阿拉伯数字中的一个，组成编码形如A1，B2的方式给卫星编号，那么总共能编出多少个不同的号码?
【评析】承上启下，既巩固加法原理，又为乘法原理做铺垫，然后落脚在“分步，乘法”这两个特征上，有利于原理的主动生成．
生：6×9=54．
师：请谈谈你的具体想法．
生：完成编号这件事我先确定数字，再确定字母．数字有9种选择，字母有6种选择．因而共有96=54（种）．
师：那你是着眼于完成这件事的过程，先确定数字，再确定字母，需分步，用乘法解决．那交换两个步骤可以吗？显然可以．那54对不对呢？哪位同学能用分类加法计数原理帮他检验一下．
生：按照题意，按字母分类：以A开头有9个，以B开头有9个，如此类推，以F开头有9个，所以共有9+9+9+9+9+9=96=54种不同的号码．
师：那你是着眼于完成这件事结果，根据首字母不同，分六类，用加法原理解决．看来54是此题的答案确定无疑！
师：从此题中我们感觉到 “分步相乘”，那类似问题都能这样吗？下面看一个新问题．
问题4：从甲地到丙地，要从甲地先乘火车到乙地，再于次日从乙地乘汽车到丙地．一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
生：从甲地到丙地需 2 步完成，第一步，由甲地去乙地有 3 种方法；第二步，由乙地去丙地有 2 种方法，所以从甲地到丙地共有3 ×2 = 6种不同的方法．
【评析】从加法原理过渡到乘法原理，让学生检验分步相乘的合理性与简洁性．
师：类比加法计数原理，归纳问题3和问题4的共同特点，我们可以得到什么结论？
生：如果完成一件事需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法．
师：我们称它分步乘法计数原理．同学们还要特别注意：这里的关键词是完成一件事，分步，乘法，每步中的任一种方法都不能独立的完成这件事，只有各个步骤都完成才算做完这件事情．
【评析】让学生从感性体验上升到理性认识，通过独立思考、自主探究、合作交流归纳出原理．
师：请用你们得到的原理解决下面的问题．
例2 某班有男生30名，女生24名，现要从中选出男、女生各一名代表班级参加公益活动，共有多少种不同的选法？
师：你把选代表这件事分成两步，你是先确定男生人选，再确定女生人选，所以分两步用乘法原理．那先确定女生人选，再确定男生人选是否可以呢？
生：都可以，只要能达到完成这件事的目的就行．
变式：某班有男生30名，女生24名，任课老师10名，现要从中选出男、女生各一名代表班级参加公益活动，还要从中选派1名老师作领队，组成代表队，共有多少种不同选法？
生：再乘以10.
师：由此你们又可以得到什么结论呢？
生：一般地，如果完成一件事要个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同方法．
【评析】例题及变式训练由易到难，循序渐进，而且为学生自主生成乘法原理的一般形式做好了铺垫．
师：我们已经归纳了两个计数原理，他们的共性是：为了计数．区别是：因为问题特征不同，有时需要分类，有时需要分步．希望以后用原理解决问题时，要清楚的用原理表达完成一件什么事，怎么完成，是分步还是分类呢？下面我们来做几个练习．
3．演练反馈，巩固提升
练1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．
（1）从书架的第1，2，3层各取一本书，有多少种不同取法？
（2）从书架中任取1本书，有多少种不同的取法？
变式：从书架中取2本不同种类的书，有多少种不同的取法？
【评析】设问循序渐进，突出强调解题时，弄清完成一件事的要求至关重要，只有这样才能正确区分“分类”和“分步”（区分的关键是对“完成一件事”的理解）．
师：还记得人造天体编号的问题吗？请同学们试一试，我们现在能解决了吗？
练2 【引例回放】“神十”的国际编号为2013-029A．人造天体的编号规则：
①发射年份+四位编码；
②四位编码前三位为阿拉伯数字，第四位为英文字母；
③前三位数字不能同时为0；
④英文字母不得选用I，O（ I易与1混淆，O易与0混淆）．
这样的编号规则，2013年的人造天体所有可能的编码有多少种？
生：
师：同学们很好的解决了这个问题．随着科技的发展，以后人造天体更多了，超过了23976，怎么解决呢？
生：可增加位数．
生：还可以增加每一位的选择．
师：非常棒．
【评析】呼应引例，开放探究，巩固两个计数原理．
师：计数原理有广泛的应用，在生活中需要计数，在科学实践中也需要计数，那么大家想一想：你在生活中学习中遇到哪些分类计数问题和分步计数问题呢？
练3 【应用访谈】你能举出生活中或其它学科中的运用两个原理的计数问题吗？
生：武汉市的汽车牌照以鄂A开头，后面有五位．我分5步，第一步确定第一位，第二步确定第二位，…，第五步确定第五位，又因为每一步既可以选择字母，又可以选择数字，由加法原理有26+10=36种选择，再由乘法原理共有种不同的选择．
生：身份证后4位是随机数，就可以分成4步完成，第1，2，4位上有0～ 9十种选择，第3位上有5种选择，所以共有种不同的选择．
生：开运动会时，有5个同学要报四个体育项目，每位同学只能报其中一种，每位同学有4种选法，所以共有种不同的选法．
生：氢元素有3种同位素，氯元素有2种同位素，所以HCl的分子质量共有3×2=6种．
生：…
师：大家举得例子漂亮极了．看来数学来自生活，又应用于生活，数学是有用的！同学们，生活丰富多彩，世界奥秘无穷，在知识的天空里，让我们借助数学的力量，像“神十”一样展翅飞翔吧！
师：这节课同学们举出了很多实例，老师也给出了一些实例，根据以上的计数实例，我们收获了什么？
4．归纳小结，认知升华
生：在计数问题中，有的是用分类加法计数原理，有的是用分步乘法计数原理，而有的是既用分类加法计数原理，又用分步乘法计数原理．
生：当我们遇到复杂问题时，先把复杂的问题化为一些简单的问题，然后通过一系列的简单问题得到一些规律，然后用规律解决复杂问题．
生：经过小组讨论，我们总结了两点．第一是今天学到了计数问题的解决办法：列举法和两个计数原理．在应用这两个计数原理的时要小心审题，正确选择原理．第二是我们不仅学到知识本身，还学到了研究问题的方法，我们先是从实际问题中归纳出原理，然后再运用于实际之中，让我们感受生活中处处有数学．
生：…
师：我们今天探讨了一个问题就是如何计数？得出了计数方法的两个原理．这两个计数原理是怎么来的？是我们从实际生活中归纳出来的．那么应用这两个计数原理的关键是什么？就是关注它们的应用场合：有的要分类，有的要分步，有的既要分类又要分步．这两个计数原理的不同点是：分类加法原理中每类中的任一种方法都能独立的完成这件事．分步乘法计数原理中，每步中的任一种方法都不能独立的完成这件事，只有各个步骤都完成才算做完这件事情．它们的异同点如下表：
【评析】学生在谈收获的同时，就是学生主动建构知识的过程，加深了对本章知识的理解和思想方法的掌握．
5．课后检测，拓展铺垫
（1）阅读作业：阅读教材第6页至第10页；
（2）书面作业：教材第6页练习1，2，教材第10页练习1
（3）（思考题）2014高考改革方案——改革考试科目设置：“考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试中的3个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物等6个科目中自主选择．”如果按照这样的报考要求，某位考生可以有多少种不同的选择？
附：板书设计
1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
三、课后反思
1．可取之处
（1）情境线、知识线、数学思想线三线交融，构建有效课堂．通过创设情境，引导学生探究知识，并在探究的过程中，促进学生数学思维的养成和发展．我感悟到：只有发挥数学的内在力量，教给学生数学的思想，才能为学生谋取长远利益．
（2）好实例，好导引，好舞台三好合一，促进学生自主发展．教师精选实例，精心设计变式，通过问题引导，给学生展示思想的舞台．特别值得一提的是，深挖问题三的功能，让学生在发现、验证、探究、升华的过程中快乐学习，进而实现教学的自然衔接与自然生成．我感悟出：经典的实例，巧妙的设问是促进学生自主发展的有效方法．
（3）从数学、生活、学科三个角度看两个原理，拓展了学生的科学视野．开放探究的过程，极大的调动了学生的积极性．我感悟出：生活、学科中的数学问题，能将学生的思维引入更广阔的空间．课堂的生成、学生的参与意识、应用意识超过我的想象．
2．改进之处
遗憾的是对学生的回答和交流，有些地方的定评不是很到位；受课堂45分钟的时间限制，很多同学还想发言交流，意犹未尽，怎么利用它？这将是我要进一步探索的．
分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第一课时）
教学设计
重庆市涪陵实验中学校 罗艳
一、教学内容解析
（一）教材的地位和作用
本节课是人教版《数学》选修2-3第一章第一节（第一课时）。分类加法计数原理与分步乘法计数原理是人类在大量的实践经验的基础上归纳出的基本规律，是解决计数问题的最基本、最重要的方法，它们不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法也贯穿在解决本章应用问题的始终，在本章中是奠基性的知识。
返璞归真的看两个原理，它们实际上是学生从小学就开始学习的加法运算与乘法运算的推广，它们是解决计数问题的理论基础。从思想方法的角度看，运用分类加法计数原理解决问题是将一个复杂问题分解为若干“类别”，然后分类解决，各个击破；运用分步乘法计数原理是将一个复杂问题的解决过程分解为若干“步骤”，先对每个步骤进行细致分析，再整合为一个完整的过程。这样做的目的是为了分解问题、简化问题。由于排列、组合及二项式定理的研究都是作为两个计数原理的典型应用而设置的，因此，理解和掌握两个计数原理，是学好本章内容的关键。
（二） 教学目标
1．通过实例，能归纳总结出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，经历从特殊到一般的思维过程，进一步提高学生学习数学、研究数学的兴趣；
2．掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理，能说明两个计数原理的不同之处，能根据具体问题的特征、选择恰当的原理解决一些简单的实际问题，体现数学实际应用和理论相结合的统一美，经历从特殊到一般的思维过程；
3．经历由实际问题推导出两个原理，再回归实际问题的解决这一过程，体会数学源于生活、高于生活、用于生活的道理，让学生体验到发现数学、运用数学的过程。
（三） 教学重点与难点
重点：归纳地得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能应用它们解决简单的实际问题。
难点：正确地理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题的特征、正确地区分“分类”或“分步”。
二、学生学情分析：
1.认知基础：在学习必修2 “古典概型”时突出了树形图、列举法在计数中的作用；在学习和生 活中，我们会不自觉地使用“分类”和“分步”的方法来思考解决问题。
2.能力基础：高二学生有较强的观察能力和数学抽象概括能力。
3.可能障碍：一是应用原理的意识淡薄，二是不能根据问题的特征，正确地选择原理解决问题。
三、教学策略分析：
（一）教法分析
对于两个计数原理，不仅仅在于规律本身，更在于学生从已有的方法中发现原理、归纳原理，进一步深刻认识原理，在发现的过程中学会学习，学会探究，提升思维的品质。因此我采取引导学生分析典型事例，归纳共同特征，进一步抽象概括出两个原理的本质特征，最后通过应用示例，小组讨论，加深对原理的区分和思想方法的理解。
（二）学法指导
学生已具备一定的计数能力（树形图、列举法等），能解决一些基本的计数问题，包括本节课所涉及的一些实际问题，只是还没有上升到理论的高度。但是要由实际问题转变为数学知识，必须借助于老师的引导和帮助。而当归纳总结得出分类加法计数原理之后，运用类比的方式得出分步乘法计数原理对学生来说就并不困难了。同时，对于两个原理的应用，关键是能否根据具体问题的特征选择相应的原理，要指导学生感悟两个计数原理的区别与联系及其应用的前提条件、应用的注意点。
四、教学基本流程
五、教学手段
采用多媒体辅助教学，营造愉悦的学习情境。
六、教学过程：
（一）计数问题的引入
教学过程设计
学生活动
设计意图
创设情景
引入课题
同学们，上课之前老师想问大家一个问题：大家看过《爸爸去哪儿》吗？知道第二季第一期他们来到了重庆的哪个地方吗？就是因为明星效应的带动，他们所住过的五家农户已被当地开发成了一个入住式体验的旅游项目。
师：如果你去旅游，你会选择入住几号房呢？
生1: 我选5号。生2:选2号。生3:4号。
师：假如这三名同学他们分别选的是1,1,3号房，请问，这两种入住方式一样吗？不一样。那么
思考：3名同学从5家农户里各选一家入住（可以选同一家），一共有多少种不同的入住方式呢？
师：可以一一列举吗？
生：应该可以，但需要时间。
师生互动，学生回答。
从学生感兴趣的电视节目入手，唤起学生学习的心向，通过一个比较复杂的计数问题，制造认知冲突，激发学生的兴趣，揭示探究原理的必要性。
教学过程设计
学生活动
设计意图
生活中我们还会遇到很多类似的计算方法数的问题，我们称之为“计数问题”。
计数问题：即计算完成一件事的方法数的问题。
今天我们先来学习计数问题中两种最基本、最重要的方法。
（板书课题：1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理）
（二）分类加法计数原理的形成
教学过程设计
学生活动
设计意图
生活感知
初识原理
问题1：
（1）小明要从北京到重庆，一天中，飞机有4班，火车有3班，一天中乘坐这些交通工具从北京到重庆共有多少种不同的走法？
生：7种。
（追问：你是怎么想的）
师：这个问题中，小明要完成一件什么事？
生：从北京到重庆。
师：怎么完成的呢？
生：坐飞机或坐火车
师：你的意思是按交通工具不同分成了两类不同的解决方案？你是怎么计算的呢？
生：因为每一个班次的飞机或火车都能到达重庆，所以4+3=7.(以图表形式板书)
师生共同分析本小题。
通过生活中的简单的实例，源自学生的邻近发展区，使学生初步感知计数问题中有这样一类用加法计算的分类问题。
感
知积累
再识原理
（2）用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？
（由完成一件什么事，怎么完成这件事，完成没有？怎么计算方法数四个方面来解决这个问题）
（3）从班上30名男生、25名女生中任选1名学生担任数学课代表，一共有多少种不同的选法？
这些问题同学们解决得都很不错。
但是发现问题、提出问题比解决问题更重要，我们不妨思考一下，
追问：能否举出一些生活中类似的例子呢？
引导学生分析本小题，再由学生举例，并分析要完成一件什么事，怎么完成的，怎么计算的。
在学生的初步感知的基础上，通过类似的两个简单问题和学生自己所举例子，进一步积累感知经验，让感知多次重复被学生熟知，从而形成“共同性印象”，为下一步归纳概括原理打下坚实的基础。
抽象概括
揭示原理
问题2：这一类问题有什么共同特征呢？
（分类、加法、计数）
追问：你能不能把这种解决问题的规律用数学语言来表述呢？
分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，第1类方案里有m种不同方法，第2类方案里有n种不同方法，完成这件事一共有N=m+n种不同的方法。
学生感知积累，概括获得计数问题的特征。由学生叙述原理，老师适当补充。
在经历了感知与想象内化后，结合具体感知的事实材料，和学生一起“去粗取精，去伪存真，由此即彼，由表及里” 的反复提炼推敲，抽象概括出加法原理的特征。让学生体会数学源于生活的同时也培养了学生归纳概括、数学表述的能力。
教学过程设计
学生活动
设计意图
类比迁移
同化原理
练习：
小明在参观重庆的大学时了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A大学 B大学
如果小明要从这两所大学选一个专业，他一共有多少种不同的选法呢？
变式：如果C大学里还有两个感兴趣的强项专业，A大学 B大学 C大学
如果小明要从这三所大学里选一个专业，他一共有多少种不同的选法呢？
学生思考回答出答案，并指明完成一件什么事，怎么完成的。
及时给时间让学生检验自己的研究成果，进一步体会加法原理，不但起巩固的效果，还能增加学生的兴趣和信心。
完成一件事有三类不同方案，第1类方案里有种不同的方法，第2类方案里有种不同的方法，第3类方案里有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。
(如果完成一件事可以有四类、五类，甚至n类方案，每类方案里有若干种不同方法，又当如何计数呢？)
分类加法计数原理的推广
完成一件事有n类不同方案，第1类方案里有种不同的方法，第2类方案里有种不同的方法，…第n类方案里有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。
学生独立探究、归纳总结，然后类比分类加法计数原理进行推广。
通过一个具体的实例及其变式，让学生经历了数学知识从特殊到一般的推广过程，培养了学生类比、逻辑推理的思维能力，体会了数学的逻辑美。
（三）分步乘法计数原理的形成
教学过程设计
学生活动
设计意图
生活感知
初识原
理
问题3：
（1）小明先从北京到成都，飞机有4班，一天后再从成都到重庆，火车有3班。小明乘坐这些交通工具从北京经成都到重庆共有多少种不同的走法？
教学过程设计
独立思考，用列举法、树形图、乘法进行计算，然后展台展示。
学生活动
设计意图
展台展示：①树形图
②43=12(请做的同学自己分析解释)
师：乘法运算是特定条件下加法运算的简化，由于加数相同，所以乘法优化了加法，使得计数更为科学。
我们可以换个角度来看这个问题，问题中小明要完成一件什么事？
生：从北京到重庆。
师：怎么完成的？
生：先坐飞机再坐火车。
师：只选择一班飞机能完成吗？
生：不能，还要选择一班火车，所以这个过程分成了两个步骤进行。
师：那怎么计算呢？
生：因为第一步里的每一班飞机都对应第二步里的三班火车，所以43=12。（以图表形式板书）
学生概括出“任意一班飞机都能与3班火车中的任何一班形成一种走法”。
从一个简单的生活实例入手，让学生通过已有的计数经验，和前面所学习的分类加法计数原理，得出结果。让学生初步体会生活中还存在着一类与分步有关，可用乘法计算的计数问题，让学生经历在特定条件下将加法简化的过程，领会分步与乘法的关系，为进一步的探究积累经验。
感知积累
再识原理
（2）用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯数字，以的方式给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？
（引导学生从完成一件什么事，怎么完成这件事，怎么计算的去分析这个问题）
（3）从班上30名男生、25名女生中选男生、女生各1人担任数学课代表，一共有多少种不同的选法？
追问：你能举出生活中类似的例子吗？
学生举例，并类似地加以分析。
体会乘法的便利性，举例是原理形成和概括的重要手段，让学生初步体会几个具体实例之间的关系，提高观察力，让学生在发现问题、解决问题的过程中主动建构，理解数学知识的本质。
抽象概括
揭示原理
问题4：这一类问题的共同特征是什么？
（分两步、乘法、计数问题）
追问：你能不能把这种解决问题的规律用数学语言来表述呢？
分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同方法，做第2步有n种不同方法，那么完成这件事一共有N=mn种不同方法。
类比分类问题的共同特征，学生归纳叙述分步乘法计数原理。
从实例和具体经验出发，通过比较、归纳、概括等思维过程获得分步乘法计数原理的内容，培养学生分析问题、模仿和语言表达能力。
类比迁移
同化原理
如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，做第3步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。
(如果完成一件事需要n个步骤，每个步骤里有若干种不同方法，又当如何计数呢？)
分步乘法计数原理的推广
完成一件事需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…做第n步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。
学生类比分类加法计数原理归纳叙述出分步乘法计数原理及其推广。
让学生经历从直观到抽象，从特殊到一般，进一步提高学生学习数学、研究数学的兴趣，从中也可体会归纳、类比等合情推理方式。
（四）两个计数原理的辨析与应用
教学过程设计
学生活动
设计意图
辨析理解
固化原理
题组训练：
（1）从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，共有多少种不同的走法?
（2）从5名同学中选出正、副班长各一名，共有多少种不同的选法？
（3）有不同颜色的5件上衣与3件不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法有多少种？
（4）从一个装有4个不同白球的盒子里或装有3个不同黑球的盒子里取1个球，共有多少种不同的取法？
（5）某校高一有6个班，高二有8个班，从中选择1个班级担任周一早晨的升旗任务，一共有多少种不同选法？
（6）某商场有6个门，某人从其中的任意一个门进入商场，再从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？
请第2组的一名同学回答前三个小题，请第3组的一名同学回答后三个小题。
学生独立思考，完成练习，回答问题，指明使用了哪个原理。
感知容易理解难，具体应用更难，这组题组训练采用分类分步问题交叉设置，使学生有较多的机会在应用过程中加深对原理的理解，正确区分使用两个计数原理，提高学生的分析问题和解决问题的能力。
其实，刚才在请同学回答的过程，这本身就是一个数学问题。（口述，然后板书在黑板上。）
“每个学习小组有6人，老师从第2、3小组中各选1人来回答问题，一共有多少种不同的选法？”
这个问题中是要完成一件什么事呢？这是一个分类还是分步问题呢？如何计算呢？
学生体验一种经历式学习。
这个环节的设置，使学生亲身经历体验发现数学问题，数学并不是一个抽象而模糊的概念，数学就是源于生活，解决生活中所遇到的问题。
问题5：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的相同点和不同点是什么?（讨论交流）
生1：相同点都是计数问题。不同点是分类用加法，分步用乘法。
追问生1：你是如何区分这个问题是分类还是分步呢？
生1：如果做这件事情只做一次选择就可以完成这件事，就是分类。如果要做多次选择才能完成就是分步。
生2：我觉得分步问题也是分类问题。分类是一步到位，而分步是以第一步的方法不同为分类标准，每一类里是多步完成。
学生独立思考、小组讨论、代表发言。
学生能从分析问题和解决问题的过程中去挖掘两个原理的本质区别。这是本节课的一个难点突破，所以设置了小组讨论。学生在与人分享中倾听、质疑、表述，体验成功的喜悦，培养学生合作交流的能力，让学生学会在参与中发展自己的数学知识和能力。
教学过程设计
学生活动
设计意图
生3：分类是每一种方法都可以独立完成这件事情，而分步必须是每一步都完成才能完成，也就是每一种方法不能独立完成这件事情。
相同点
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
都是计算完成一件事方法数的问题
不同点
分类、加法
分步、乘法
分类中每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事
分步中每步中的每一种方法不能独立完成这件事，只有各步都完成这件事才算完成
注意
类类独立
不重不漏
步步相依
缺一不可
让学生体会两个计数原理的异同，理解两者的本质，学会在遇到具体问题时如何根据问题的特征选择对应的计数原理。
实际应用
活化原理
巩固练习：
书架上第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第三层放有2本不同的体育书。若从第一,二,三层中各取1本书，共有多少种不同取法？
变式1：若从书架上任取1本书，共有多少种不同取法？
变式2：若从书架上取2本不同类别的书，共有多少种不同取法？
学生回答，并加以分析。
通过实例能够说出“完成一件事”的具体含义，怎么才算“完成”，以及采用何种方式完成，能合理设计完成这件事的过程，提高学生分析解决问题的能力，树立先分类、后分步的策略意识，能充分体现课堂的有效性。
解决课前遗留的思考：
3名同学从5家农户里各选一家入住（可以选同一家），一共有多少种不同的入住方式？
通过解决前面的遗留问题，满足学生的好奇心，让学生脱离用数的方法，灵活使用计数原理。
（五）反思回顾，深化认知
教学过程设计
学生活动
设计意图
反思过程顺化原理
思悟小结：
从今天两个计数原理产生的过程和问题的解决过程来看，对你以后的学习有什么启示？
生1：分类不光用在计数问题上，分类讨论思想在生活和学习中也很重要。
学生回顾学习过程，思维活跃，认识逐步深入。
不仅要反思学习的结果，还要反思学习的过程、学习的方法，在反思中回顾知识发生发展的过程，强化对知识的理解，领悟其中的思想方法，获得科学研究的一般认识，还体会到了数学源于生活，高于生活，用于生活。
教学过程设计
学生活动
设计意图
生2：今天的学习可以把复杂的问题通过分类或者分步拆分成几个简单的问题，然后一个个或一步步去完成。
生3：今天的例子都是生活中的实例，说明数学是与生活相关的，最后去解决生活中的问题的。
作业布置：
1. 完成课本P12 A组1、2、3
2. 阅读课本P11：子集的个数有多少
3. 从我们生活中找寻运用两个计数原理解决的实例并相互交流
作业的安排是为巩固课堂内容的，从课堂延伸到课外，拓展探究空间的。
七、板书设计
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
完成一件事
题组训练：
（口述、板书）每个学习小组有6人，现在从第2，3小组中各选1人来回答问题，一共有多少种不同的选法？
