3.1 从算式到方程 同步练习（含解析） 人教版七年级数学上册
文档属性
| 名称 | 3.1 从算式到方程 同步练习（含解析） 人教版七年级数学上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 99.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-09 13:16:45 | ||
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文档简介
3.1 从算式到方程
一．选择题
1．下列等式变形中，不正确的是（ ）
A．若a﹣3＝b﹣3，则a＝b B．若am＝bm，则a＝b
C．若a＝b，则 D．若x＝2，则x2＝2x
2．已知（a﹣1）x|a|+3＝10是一元一次方程，则a的值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．±1
3．已知关于x的方程x﹣＝﹣1的解是非正整数，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．2 D．3
4．关于方程（a+1）x＝1，下列结论正确的是（ ）
A．方程无解
B．x＝
C．a≠﹣1时方程解为任意实数
D．以上结论都不对
5．等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是（ ）
A．如果a＝b，那么ac＝bc B．如果a＝b，那么＝（c≠0）
C．如果a＝b，那么a+c＝b+c D．如果a＝b，那么a2＝b2
6．已知等式3a＝2b+5，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A．3a﹣5＝2b B．3a+1＝2b+6 C． D．3ac＝2bc+5
7．下列变形中，不正确的是（ ）
A．若a﹣3＝b﹣3，则a＝b B．若，则a＝b
C．若a＝b，则 D．若ac＝bc，则a＝b
8．下列各式运用等式的性质变形，错误的是（ ）
A．若﹣a＝﹣b，则a＝b
B．若＝，则a＝b
C．若ac＝bc，则a＝b
D．若（m2+1）a＝（m2+1）b，则a＝b
9．若（m﹣1）x|2m﹣3|＝6是一元一次方程，则m等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．任何数
10．已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝﹣3，那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解为（ ）
A．y＝1 B．y＝﹣1 C．y＝﹣3 D．y＝﹣4
二．填空题
11．已知关于x的方程＝x+与方程＝3x﹣2的解互为倒数，则m的值为 ．
12．小明同学在解方程（1﹣）＝x﹣时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，请帮他推算被染了的数字“■”应该是 ．
13．已知关于x的方程（2k+1）x＝3的解是正整数，则整数k的值为 ．
14．若a、b为定值，关于x的一次方程无论k为何值时，它的解总是x＝1，则（2a+3b）2022的值为 ．
15．若x＝2是方程的解，则的值是 ．
16．已知关于x的一元一次方程+5＝2020x+m的解为x＝2021，那么关于y的一元一次方程﹣5＝2020（10﹣y）﹣m的解为 ．
三．解答题
17．已知x＝﹣2是方程a（x+3）＝a+x的解，求a﹣（a﹣1）+3（4﹣a）的值．
18．小明解方程+1＝，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x＝4，试求a的值，并求出方程的正确解．
19．已知a，b是有理数，单项式﹣2xby的次数为3，而且方程（a+1）x2+ax﹣tx+b+1＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求a，b的值；
（2）若题目中关于x的一元一次方程的解是整数，请写出整数t的值．
20．已知单项式﹣7a2x+1b5与单项式ax+3b5的和仍是单项式．
（1）求x的值；
（2）若x的值是方程5a+14＝2+x的解，求整式a3﹣3|a|+23的值．
21．已知：方程（m+2）x|m|﹣1﹣m＝0①是关于x的一元一次方程．
（1）求m的值；
（2）若上述方程①的解与关于x的方程x+＝﹣3x②的解互为相反数，求a的值．
22．已知关于x的一元一次方程ax+＝8x﹣﹣ax，a≠4．
（1）若该方程的解与方程x+1＝2（2x﹣7）的解互为相反数，求a的值；
（2）若a为非零整数，且该方程的解为正整数，求a的值．
23．已知方程（m﹣1）x|m|+5＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求m的值；
（2）写出这个一元一次方程：
（3）判断x＝1，x＝2.5，x＝3是否是该方程的解．
24．如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B的对应数为b，且a、b满足|a﹣5|+（b+3）2＝0．
（1）求A、B所表示的数；
（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+2＝x﹣6的解．
①求线段AC的长；
②在数轴上是否存在点P，使PA+PB＝AC？求出点P对应的数；若不存在，说明理由．
25．如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足|a+3|+（b﹣2）2＝0．
（1）求A、B所表示的数；
（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1＝x﹣8的解．
①求线段BC的长；
②在数轴上是否存在点P，使PA+PB＝BC？求出点P对应的数；若不存在，说明理由．
3.1 从算式到方程
一．选择题
1．下列等式变形中，不正确的是（ ）
A．若a﹣3＝b﹣3，则a＝b B．若am＝bm，则a＝b
C．若a＝b，则 D．若x＝2，则x2＝2x
【解答】解：A．∵a﹣3＝b﹣3，∴a＝b，故本选项不符合题意；
B．∵am＝bm，m≠0，∴a＝b，故本选项符合题意；
C．∵a＝b，∴，故本选项不符合题意；
D．∵x＝2，∴x2＝2x，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．已知（a﹣1）x|a|+3＝10是一元一次方程，则a的值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．±1
【解答】解：∵方程（a﹣1）x|a|+3＝10是关于x的一元一次方程，
∴|a|＝1且a﹣1≠0．
解得a＝﹣1．
故选：C．
3．已知关于x的方程x﹣＝﹣1的解是非正整数，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．2 D．3
【解答】解：x﹣＝﹣1，
6x﹣（4﹣ax）＝2（x+a）﹣6
6x﹣4+ax＝2x+2a﹣6
6x+ax﹣2x＝2a﹣6+4
（a+4）x＝2a﹣2
x＝，
方法1：∵方程的解是非正整数，
∴≤0，
解得：﹣4＜a≤1，
当a＝﹣3时，x＝﹣8；
当a＝﹣2时，x＝﹣3；
当a＝﹣1时，x＝﹣（舍去）；
当a＝0时，x＝﹣（舍去）；
当a＝1时，x＝0；
则符合条件的所有整数a的和是﹣3﹣2+1＝﹣4；
方法2：∵方程的解是非正整数，
∴x＝＝2﹣，
∴当a＝﹣3时，x＝﹣8；
当a＝﹣2时，x＝﹣3；
当a＝1时，x＝0；
则符合条件的所有整数a的和是﹣3﹣2+1＝﹣4．
故选：A．
4．关于方程（a+1）x＝1，下列结论正确的是（ ）
A．方程无解
B．x＝
C．a≠﹣1时方程解为任意实数
D．以上结论都不对
【解答】解：该方程是一元一次方程，但其中含有一个未知量“a”，此时就要判断x的系数“a+1”是否为0．
当a+1≠0即a≠﹣1时，方程有实数解，解为：x＝．
当a+1＝0时，方程无解．
故选：D．
5．等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是（ ）
A．如果a＝b，那么ac＝bc B．如果a＝b，那么＝（c≠0）
C．如果a＝b，那么a+c＝b+c D．如果a＝b，那么a2＝b2
【解答】解：观察图形，是等式a＝b的两边都加c，得到a+c＝b+c，利用等式性质1，所以成立．
故选：C．
6．已知等式3a＝2b+5，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A．3a﹣5＝2b B．3a+1＝2b+6 C． D．3ac＝2bc+5
【解答】解：已知3a＝2b+5
选项A：按照等式的性质1，等式两边同时减去5，可得3a﹣5＝2b，故A一定成立；
选项B：按照等式的性质1，等式两边同时加上1，可得3a+1＝2b+6，故B一定成立；
选项C：按照等式的性质2，等式两边同时除以3，可得a＝b+，故C一定成立；
选项D：只有在c＝1时，可由3a＝2b+5推得3ac＝2bc+5，故D不一定成立．
故选：D．
7．下列变形中，不正确的是（ ）
A．若a﹣3＝b﹣3，则a＝b B．若，则a＝b
C．若a＝b，则 D．若ac＝bc，则a＝b
【解答】D．
8．下列各式运用等式的性质变形，错误的是（ ）
A．若﹣a＝﹣b，则a＝b
B．若＝，则a＝b
C．若ac＝bc，则a＝b
D．若（m2+1）a＝（m2+1）b，则a＝b
【解答】解：A、两边都乘以﹣1，结果不变，故A正确；
B、两边都乘以c，结果不变，故B正确；
C、c等于零时，除以c无意义，故C错误；
D、两边都除以（m2+1），结果不变，故D正确；
故选：C．
9．若（m﹣1）x|2m﹣3|＝6是一元一次方程，则m等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．任何数
【解答】解：∵（m﹣1）x|2m﹣3|＝6是一元一次方程，
∴|2m﹣3|＝1，m﹣1≠0，
解得：m＝2．
故选：B．
10．已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝﹣3，那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解为（ ）
A．y＝1 B．y＝﹣1 C．y＝﹣3 D．y＝﹣4
【解答】解：∵关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝﹣3，
∴关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解为y+1＝﹣3，
解得：y＝﹣4，
故选：D．
二．填空题
11．已知关于x的方程＝x+与方程＝3x﹣2的解互为倒数，则m的值为 ﹣1 ．
【解答】解：解方程＝3x﹣2，得x＝，
解方程＝x+，得，
由题意可知，x＝是程＝x+的解，
∴，
解得：m＝﹣1，
12．小明同学在解方程（1﹣）＝x﹣时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，请帮他推算被染了的数字“■”应该是 5 ．
【解答】解：设“■”表示的数为a，
将代入方程得：，
解得a＝5，
即“■”表示的数为a＝5，
故答案为：a＝5．
13．已知关于x的方程（2k+1）x＝3的解是正整数，则整数k的值为 0或1 ．
【解答】解：（2k+1）x＝3
x＝，
因为方程的解是正整数，
所以2k+1＝1或3，
解得k＝0或1．
14．若a、b为定值，关于x的一次方程无论k为何值时，它的解总是x＝1，则（2a+3b）2022的值为 1 ．
【解答】解：将x＝1代入原方程得﹣＝2，
∴（4+b）k+2a﹣13＝0．
∵关于x的一次方程无论k为何值时，它的解总是x＝1，
∴4+b＝0，2a﹣13＝0，
∴b＝﹣4，a＝，
∴（2a+3b）2022＝[2×+3×（﹣4）]2022＝12022＝1．
15．若x＝2是方程的解，则的值是 ﹣2 ．
【解答】解：∵x＝2是方程的解，
∴x＝2满足方程，
∴3×2﹣4＝﹣a，
解得a＝﹣1；
∴＝（﹣1）2011+＝﹣1﹣1＝﹣2．
16．已知关于x的一元一次方程+5＝2020x+m的解为x＝2021，那么关于y的一元一次方程﹣5＝2020（10﹣y）﹣m的解为 y＝2031 ．
【解答】解：根据题意得：
方程+5＝2020x+m可整理得：﹣2020x＝m﹣5，
则该方程的解为x＝2021，
方程﹣5＝2020（10﹣y）﹣m可整理得：﹣2020（10﹣y）＝﹣m+5，
令n＝10﹣y，
则原方程可整理得：﹣2020n＝5﹣m，
则n＝﹣2021，
即10﹣y＝﹣2021，
解得：y＝2031．
三．解答题
17．已知x＝﹣2是方程a（x+3）＝a+x的解，求a﹣（a﹣1）+3（4﹣a）的值．
【解答】解：把x＝﹣2代入方程a（x+3）＝a+x得：
a＝﹣2，
解得：a＝﹣4，
∴a﹣（a﹣1）+3（4﹣a）＝a﹣a+1+12﹣3a＝﹣4a+13＝﹣4×（﹣4）+13＝29．
18．小明解方程+1＝，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x＝4，试求a的值，并求出方程的正确解．
【解答】解：由题意可知：（在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x＝4），
2（2x﹣1）+1＝5（x+a），
把x＝4代入得：a＝﹣1，
将a＝﹣1代入原方程得：，
去分母得：4x﹣2+10＝5x﹣5，
移项合并得：﹣x＝﹣13，
解得x＝13．
19．已知a，b是有理数，单项式﹣2xby的次数为3，而且方程（a+1）x2+ax﹣tx+b+1＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求a，b的值；
（2）若题目中关于x的一元一次方程的解是整数，请写出整数t的值．
【解答】解：（1）由，得，
即a，b的值分别为﹣1，2；
（2）方程化为：﹣x﹣tx+3＝0，
解得，
当x为整数时，t+1为3的正负因数，
∴t+1＝±1或t+1＝±3，
∴t的值为0，﹣2，2，﹣4
20．已知单项式﹣7a2x+1b5与单项式ax+3b5的和仍是单项式．
（1）求x的值；
（2）若x的值是方程5a+14＝2+x的解，求整式a3﹣3|a|+23的值．
【解答】解：（1）由单项式﹣7a2x+1b5与单项式ax+3b5的和仍是单项式，得
2x+1＝x+3，
解得x＝2；
（2）∵x的值是方程5a+14＝2+x的解，
∴5a+14＝2+2，
解得a＝﹣2，
a3﹣3|a|+23
＝﹣8﹣3×2+8
＝﹣8﹣6+8
＝﹣6．
21．已知：方程（m+2）x|m|﹣1﹣m＝0①是关于x的一元一次方程．
（1）求m的值；
（2）若上述方程①的解与关于x的方程x+＝﹣3x②的解互为相反数，求a的值．
【解答】解：（1）∵方程（m+2）x|m|﹣1﹣m＝0①是关于x的一元一次方程，
∴|m|﹣1＝1，且m+2≠0，
解得m＝2．
（2）当m＝2时，原方程变形为4x﹣2＝0，解得x＝，
∵方程①的解与关于x的方程x+＝﹣3x②的解互为相反数，
∴方程②的解为x＝﹣．
方程x+＝﹣3x去分母得：6x+2（6x﹣a）＝a﹣18x
去括号得：6x+12x﹣2a＝a﹣18x，
移项、合并同类项得：3a＝36x，
∴a＝12x＝12×（﹣）＝﹣6．
22．已知关于x的一元一次方程ax+＝8x﹣﹣ax，a≠4．
（1）若该方程的解与方程x+1＝2（2x﹣7）的解互为相反数，求a的值；
（2）若a为非零整数，且该方程的解为正整数，求a的值．
【解答】解：（1）解方程x+1＝2（2x﹣7），
x+1＝4x﹣14，
解得x＝5．
∵方程ax+＝8x﹣﹣ax与方程x+1＝2（2x﹣7）的解互为相反数，
∴方程ax+＝8x﹣﹣ax的解为x＝﹣5．
∴﹣5a+＝﹣40﹣+5a，
去分母得：﹣10a+5＝﹣80﹣3+10a，
移项、合并同类项得：﹣20a＝﹣88，
∴a＝4.4；
（2）解关于x的一元一次方程ax+＝8x﹣﹣ax，
去分母得2ax+5＝16x﹣3﹣2ax，
移项、合并同类项得（4a﹣16）x＝﹣8，
∴x＝，
∵a为非零整数，且该方程的解为正整数，
∴a＝2或3．
23．已知方程（m﹣1）x|m|+5＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求m的值；
（2）写出这个一元一次方程：
（3）判断x＝1，x＝2.5，x＝3是否是该方程的解．
【解答】解：（1）∵方程（m﹣1）x|m|+5＝0是关于x的一元一次方程，
∴m﹣1≠0，|m|＝1，
解得：m＝﹣1；
（2）由（1）得：﹣2x+5＝0，
解得：x＝2.5；
（3）由（2）得：x＝1，x＝3不是该方程的解，x＝2.5是该方程的解．
24．如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B的对应数为b，且a、b满足|a﹣5|+（b+3）2＝0．
（1）求A、B所表示的数；
（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+2＝x﹣6的解．
①求线段AC的长；
②在数轴上是否存在点P，使PA+PB＝AC？求出点P对应的数；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵|a﹣5|+（b+3）2＝0，
∴a﹣5＝0，b+3＝0，
解得，a＝5，b＝﹣3，
即点A表示的数是5，点B表示的数是﹣3；
（2）①2x+2＝x﹣6，
解得，x＝﹣8，
∴AC＝5﹣（﹣8）＝13，
即线段AC的长为13；
②存在点P，使PA+PB＝AC，
设点P的表示的数为m，
（Ⅰ）若P在线段AB上，则PA＝5﹣m，PB＝m﹣（﹣3）＝m+3，
可得：5﹣m+m+3＝13，
此方程无解；
（Ⅱ）若P在A的右侧，则PA＝m﹣5，PB＝m﹣（﹣3）＝m+3，
可得：m﹣5+m+3＝13，
解得：m＝7.5；
（Ⅲ）若P在B的左侧，则PA＝5﹣m，PB＝﹣3﹣m，
则：5﹣m﹣3﹣m＝13，
解得：m＝﹣5.5．
综上：点P对应的数是7.5或﹣5.5．
25．如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足|a+3|+（b﹣2）2＝0．
（1）求A、B所表示的数；
（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1＝x﹣8的解．
①求线段BC的长；
②在数轴上是否存在点P，使PA+PB＝BC？求出点P对应的数；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵|a+3|+（b﹣2）2＝0，
∴a+3＝0，b﹣2＝0，
解得，a＝﹣3，b＝2，
即点A表示的数是﹣3，点B表示的数是2；
（2）①2x+1＝x﹣8
解得，x＝﹣6，
∴BC＝2﹣（﹣6）＝8，
即线段BC的长为8；
②存在点P，使PA+PB＝BC，
设点P的表示的数为m，
则|m﹣（﹣3）|+|m﹣2|＝8，
∴|m+3|+|m﹣2|＝8，
当m＞2时，解得，m＝3.5，
当﹣3＜m＜2时，无解，
当m＜﹣3时，m＝﹣4.5，
即点P对应的数是3.5或﹣4.5．
一．选择题
1．下列等式变形中，不正确的是（ ）
A．若a﹣3＝b﹣3，则a＝b B．若am＝bm，则a＝b
C．若a＝b，则 D．若x＝2，则x2＝2x
2．已知（a﹣1）x|a|+3＝10是一元一次方程，则a的值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．±1
3．已知关于x的方程x﹣＝﹣1的解是非正整数，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．2 D．3
4．关于方程（a+1）x＝1，下列结论正确的是（ ）
A．方程无解
B．x＝
C．a≠﹣1时方程解为任意实数
D．以上结论都不对
5．等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是（ ）
A．如果a＝b，那么ac＝bc B．如果a＝b，那么＝（c≠0）
C．如果a＝b，那么a+c＝b+c D．如果a＝b，那么a2＝b2
6．已知等式3a＝2b+5，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A．3a﹣5＝2b B．3a+1＝2b+6 C． D．3ac＝2bc+5
7．下列变形中，不正确的是（ ）
A．若a﹣3＝b﹣3，则a＝b B．若，则a＝b
C．若a＝b，则 D．若ac＝bc，则a＝b
8．下列各式运用等式的性质变形，错误的是（ ）
A．若﹣a＝﹣b，则a＝b
B．若＝，则a＝b
C．若ac＝bc，则a＝b
D．若（m2+1）a＝（m2+1）b，则a＝b
9．若（m﹣1）x|2m﹣3|＝6是一元一次方程，则m等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．任何数
10．已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝﹣3，那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解为（ ）
A．y＝1 B．y＝﹣1 C．y＝﹣3 D．y＝﹣4
二．填空题
11．已知关于x的方程＝x+与方程＝3x﹣2的解互为倒数，则m的值为 ．
12．小明同学在解方程（1﹣）＝x﹣时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，请帮他推算被染了的数字“■”应该是 ．
13．已知关于x的方程（2k+1）x＝3的解是正整数，则整数k的值为 ．
14．若a、b为定值，关于x的一次方程无论k为何值时，它的解总是x＝1，则（2a+3b）2022的值为 ．
15．若x＝2是方程的解，则的值是 ．
16．已知关于x的一元一次方程+5＝2020x+m的解为x＝2021，那么关于y的一元一次方程﹣5＝2020（10﹣y）﹣m的解为 ．
三．解答题
17．已知x＝﹣2是方程a（x+3）＝a+x的解，求a﹣（a﹣1）+3（4﹣a）的值．
18．小明解方程+1＝，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x＝4，试求a的值，并求出方程的正确解．
19．已知a，b是有理数，单项式﹣2xby的次数为3，而且方程（a+1）x2+ax﹣tx+b+1＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求a，b的值；
（2）若题目中关于x的一元一次方程的解是整数，请写出整数t的值．
20．已知单项式﹣7a2x+1b5与单项式ax+3b5的和仍是单项式．
（1）求x的值；
（2）若x的值是方程5a+14＝2+x的解，求整式a3﹣3|a|+23的值．
21．已知：方程（m+2）x|m|﹣1﹣m＝0①是关于x的一元一次方程．
（1）求m的值；
（2）若上述方程①的解与关于x的方程x+＝﹣3x②的解互为相反数，求a的值．
22．已知关于x的一元一次方程ax+＝8x﹣﹣ax，a≠4．
（1）若该方程的解与方程x+1＝2（2x﹣7）的解互为相反数，求a的值；
（2）若a为非零整数，且该方程的解为正整数，求a的值．
23．已知方程（m﹣1）x|m|+5＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求m的值；
（2）写出这个一元一次方程：
（3）判断x＝1，x＝2.5，x＝3是否是该方程的解．
24．如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B的对应数为b，且a、b满足|a﹣5|+（b+3）2＝0．
（1）求A、B所表示的数；
（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+2＝x﹣6的解．
①求线段AC的长；
②在数轴上是否存在点P，使PA+PB＝AC？求出点P对应的数；若不存在，说明理由．
25．如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足|a+3|+（b﹣2）2＝0．
（1）求A、B所表示的数；
（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1＝x﹣8的解．
①求线段BC的长；
②在数轴上是否存在点P，使PA+PB＝BC？求出点P对应的数；若不存在，说明理由．
3.1 从算式到方程
一．选择题
1．下列等式变形中，不正确的是（ ）
A．若a﹣3＝b﹣3，则a＝b B．若am＝bm，则a＝b
C．若a＝b，则 D．若x＝2，则x2＝2x
【解答】解：A．∵a﹣3＝b﹣3，∴a＝b，故本选项不符合题意；
B．∵am＝bm，m≠0，∴a＝b，故本选项符合题意；
C．∵a＝b，∴，故本选项不符合题意；
D．∵x＝2，∴x2＝2x，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．已知（a﹣1）x|a|+3＝10是一元一次方程，则a的值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．±1
【解答】解：∵方程（a﹣1）x|a|+3＝10是关于x的一元一次方程，
∴|a|＝1且a﹣1≠0．
解得a＝﹣1．
故选：C．
3．已知关于x的方程x﹣＝﹣1的解是非正整数，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．2 D．3
【解答】解：x﹣＝﹣1，
6x﹣（4﹣ax）＝2（x+a）﹣6
6x﹣4+ax＝2x+2a﹣6
6x+ax﹣2x＝2a﹣6+4
（a+4）x＝2a﹣2
x＝，
方法1：∵方程的解是非正整数，
∴≤0，
解得：﹣4＜a≤1，
当a＝﹣3时，x＝﹣8；
当a＝﹣2时，x＝﹣3；
当a＝﹣1时，x＝﹣（舍去）；
当a＝0时，x＝﹣（舍去）；
当a＝1时，x＝0；
则符合条件的所有整数a的和是﹣3﹣2+1＝﹣4；
方法2：∵方程的解是非正整数，
∴x＝＝2﹣，
∴当a＝﹣3时，x＝﹣8；
当a＝﹣2时，x＝﹣3；
当a＝1时，x＝0；
则符合条件的所有整数a的和是﹣3﹣2+1＝﹣4．
故选：A．
4．关于方程（a+1）x＝1，下列结论正确的是（ ）
A．方程无解
B．x＝
C．a≠﹣1时方程解为任意实数
D．以上结论都不对
【解答】解：该方程是一元一次方程，但其中含有一个未知量“a”，此时就要判断x的系数“a+1”是否为0．
当a+1≠0即a≠﹣1时，方程有实数解，解为：x＝．
当a+1＝0时，方程无解．
故选：D．
5．等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是（ ）
A．如果a＝b，那么ac＝bc B．如果a＝b，那么＝（c≠0）
C．如果a＝b，那么a+c＝b+c D．如果a＝b，那么a2＝b2
【解答】解：观察图形，是等式a＝b的两边都加c，得到a+c＝b+c，利用等式性质1，所以成立．
故选：C．
6．已知等式3a＝2b+5，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A．3a﹣5＝2b B．3a+1＝2b+6 C． D．3ac＝2bc+5
【解答】解：已知3a＝2b+5
选项A：按照等式的性质1，等式两边同时减去5，可得3a﹣5＝2b，故A一定成立；
选项B：按照等式的性质1，等式两边同时加上1，可得3a+1＝2b+6，故B一定成立；
选项C：按照等式的性质2，等式两边同时除以3，可得a＝b+，故C一定成立；
选项D：只有在c＝1时，可由3a＝2b+5推得3ac＝2bc+5，故D不一定成立．
故选：D．
7．下列变形中，不正确的是（ ）
A．若a﹣3＝b﹣3，则a＝b B．若，则a＝b
C．若a＝b，则 D．若ac＝bc，则a＝b
【解答】D．
8．下列各式运用等式的性质变形，错误的是（ ）
A．若﹣a＝﹣b，则a＝b
B．若＝，则a＝b
C．若ac＝bc，则a＝b
D．若（m2+1）a＝（m2+1）b，则a＝b
【解答】解：A、两边都乘以﹣1，结果不变，故A正确；
B、两边都乘以c，结果不变，故B正确；
C、c等于零时，除以c无意义，故C错误；
D、两边都除以（m2+1），结果不变，故D正确；
故选：C．
9．若（m﹣1）x|2m﹣3|＝6是一元一次方程，则m等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．任何数
【解答】解：∵（m﹣1）x|2m﹣3|＝6是一元一次方程，
∴|2m﹣3|＝1，m﹣1≠0，
解得：m＝2．
故选：B．
10．已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝﹣3，那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解为（ ）
A．y＝1 B．y＝﹣1 C．y＝﹣3 D．y＝﹣4
【解答】解：∵关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝﹣3，
∴关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解为y+1＝﹣3，
解得：y＝﹣4，
故选：D．
二．填空题
11．已知关于x的方程＝x+与方程＝3x﹣2的解互为倒数，则m的值为 ﹣1 ．
【解答】解：解方程＝3x﹣2，得x＝，
解方程＝x+，得，
由题意可知，x＝是程＝x+的解，
∴，
解得：m＝﹣1，
12．小明同学在解方程（1﹣）＝x﹣时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，请帮他推算被染了的数字“■”应该是 5 ．
【解答】解：设“■”表示的数为a，
将代入方程得：，
解得a＝5，
即“■”表示的数为a＝5，
故答案为：a＝5．
13．已知关于x的方程（2k+1）x＝3的解是正整数，则整数k的值为 0或1 ．
【解答】解：（2k+1）x＝3
x＝，
因为方程的解是正整数，
所以2k+1＝1或3，
解得k＝0或1．
14．若a、b为定值，关于x的一次方程无论k为何值时，它的解总是x＝1，则（2a+3b）2022的值为 1 ．
【解答】解：将x＝1代入原方程得﹣＝2，
∴（4+b）k+2a﹣13＝0．
∵关于x的一次方程无论k为何值时，它的解总是x＝1，
∴4+b＝0，2a﹣13＝0，
∴b＝﹣4，a＝，
∴（2a+3b）2022＝[2×+3×（﹣4）]2022＝12022＝1．
15．若x＝2是方程的解，则的值是 ﹣2 ．
【解答】解：∵x＝2是方程的解，
∴x＝2满足方程，
∴3×2﹣4＝﹣a，
解得a＝﹣1；
∴＝（﹣1）2011+＝﹣1﹣1＝﹣2．
16．已知关于x的一元一次方程+5＝2020x+m的解为x＝2021，那么关于y的一元一次方程﹣5＝2020（10﹣y）﹣m的解为 y＝2031 ．
【解答】解：根据题意得：
方程+5＝2020x+m可整理得：﹣2020x＝m﹣5，
则该方程的解为x＝2021，
方程﹣5＝2020（10﹣y）﹣m可整理得：﹣2020（10﹣y）＝﹣m+5，
令n＝10﹣y，
则原方程可整理得：﹣2020n＝5﹣m，
则n＝﹣2021，
即10﹣y＝﹣2021，
解得：y＝2031．
三．解答题
17．已知x＝﹣2是方程a（x+3）＝a+x的解，求a﹣（a﹣1）+3（4﹣a）的值．
【解答】解：把x＝﹣2代入方程a（x+3）＝a+x得：
a＝﹣2，
解得：a＝﹣4，
∴a﹣（a﹣1）+3（4﹣a）＝a﹣a+1+12﹣3a＝﹣4a+13＝﹣4×（﹣4）+13＝29．
18．小明解方程+1＝，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x＝4，试求a的值，并求出方程的正确解．
【解答】解：由题意可知：（在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x＝4），
2（2x﹣1）+1＝5（x+a），
把x＝4代入得：a＝﹣1，
将a＝﹣1代入原方程得：，
去分母得：4x﹣2+10＝5x﹣5，
移项合并得：﹣x＝﹣13，
解得x＝13．
19．已知a，b是有理数，单项式﹣2xby的次数为3，而且方程（a+1）x2+ax﹣tx+b+1＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求a，b的值；
（2）若题目中关于x的一元一次方程的解是整数，请写出整数t的值．
【解答】解：（1）由，得，
即a，b的值分别为﹣1，2；
（2）方程化为：﹣x﹣tx+3＝0，
解得，
当x为整数时，t+1为3的正负因数，
∴t+1＝±1或t+1＝±3，
∴t的值为0，﹣2，2，﹣4
20．已知单项式﹣7a2x+1b5与单项式ax+3b5的和仍是单项式．
（1）求x的值；
（2）若x的值是方程5a+14＝2+x的解，求整式a3﹣3|a|+23的值．
【解答】解：（1）由单项式﹣7a2x+1b5与单项式ax+3b5的和仍是单项式，得
2x+1＝x+3，
解得x＝2；
（2）∵x的值是方程5a+14＝2+x的解，
∴5a+14＝2+2，
解得a＝﹣2，
a3﹣3|a|+23
＝﹣8﹣3×2+8
＝﹣8﹣6+8
＝﹣6．
21．已知：方程（m+2）x|m|﹣1﹣m＝0①是关于x的一元一次方程．
（1）求m的值；
（2）若上述方程①的解与关于x的方程x+＝﹣3x②的解互为相反数，求a的值．
【解答】解：（1）∵方程（m+2）x|m|﹣1﹣m＝0①是关于x的一元一次方程，
∴|m|﹣1＝1，且m+2≠0，
解得m＝2．
（2）当m＝2时，原方程变形为4x﹣2＝0，解得x＝，
∵方程①的解与关于x的方程x+＝﹣3x②的解互为相反数，
∴方程②的解为x＝﹣．
方程x+＝﹣3x去分母得：6x+2（6x﹣a）＝a﹣18x
去括号得：6x+12x﹣2a＝a﹣18x，
移项、合并同类项得：3a＝36x，
∴a＝12x＝12×（﹣）＝﹣6．
22．已知关于x的一元一次方程ax+＝8x﹣﹣ax，a≠4．
（1）若该方程的解与方程x+1＝2（2x﹣7）的解互为相反数，求a的值；
（2）若a为非零整数，且该方程的解为正整数，求a的值．
【解答】解：（1）解方程x+1＝2（2x﹣7），
x+1＝4x﹣14，
解得x＝5．
∵方程ax+＝8x﹣﹣ax与方程x+1＝2（2x﹣7）的解互为相反数，
∴方程ax+＝8x﹣﹣ax的解为x＝﹣5．
∴﹣5a+＝﹣40﹣+5a，
去分母得：﹣10a+5＝﹣80﹣3+10a，
移项、合并同类项得：﹣20a＝﹣88，
∴a＝4.4；
（2）解关于x的一元一次方程ax+＝8x﹣﹣ax，
去分母得2ax+5＝16x﹣3﹣2ax，
移项、合并同类项得（4a﹣16）x＝﹣8，
∴x＝，
∵a为非零整数，且该方程的解为正整数，
∴a＝2或3．
23．已知方程（m﹣1）x|m|+5＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求m的值；
（2）写出这个一元一次方程：
（3）判断x＝1，x＝2.5，x＝3是否是该方程的解．
【解答】解：（1）∵方程（m﹣1）x|m|+5＝0是关于x的一元一次方程，
∴m﹣1≠0，|m|＝1，
解得：m＝﹣1；
（2）由（1）得：﹣2x+5＝0，
解得：x＝2.5；
（3）由（2）得：x＝1，x＝3不是该方程的解，x＝2.5是该方程的解．
24．如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B的对应数为b，且a、b满足|a﹣5|+（b+3）2＝0．
（1）求A、B所表示的数；
（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+2＝x﹣6的解．
①求线段AC的长；
②在数轴上是否存在点P，使PA+PB＝AC？求出点P对应的数；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵|a﹣5|+（b+3）2＝0，
∴a﹣5＝0，b+3＝0，
解得，a＝5，b＝﹣3，
即点A表示的数是5，点B表示的数是﹣3；
（2）①2x+2＝x﹣6，
解得，x＝﹣8，
∴AC＝5﹣（﹣8）＝13，
即线段AC的长为13；
②存在点P，使PA+PB＝AC，
设点P的表示的数为m，
（Ⅰ）若P在线段AB上，则PA＝5﹣m，PB＝m﹣（﹣3）＝m+3，
可得：5﹣m+m+3＝13，
此方程无解；
（Ⅱ）若P在A的右侧，则PA＝m﹣5，PB＝m﹣（﹣3）＝m+3，
可得：m﹣5+m+3＝13，
解得：m＝7.5；
（Ⅲ）若P在B的左侧，则PA＝5﹣m，PB＝﹣3﹣m，
则：5﹣m﹣3﹣m＝13，
解得：m＝﹣5.5．
综上：点P对应的数是7.5或﹣5.5．
25．如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足|a+3|+（b﹣2）2＝0．
（1）求A、B所表示的数；
（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1＝x﹣8的解．
①求线段BC的长；
②在数轴上是否存在点P，使PA+PB＝BC？求出点P对应的数；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵|a+3|+（b﹣2）2＝0，
∴a+3＝0，b﹣2＝0，
解得，a＝﹣3，b＝2，
即点A表示的数是﹣3，点B表示的数是2；
（2）①2x+1＝x﹣8
解得，x＝﹣6，
∴BC＝2﹣（﹣6）＝8，
即线段BC的长为8；
②存在点P，使PA+PB＝BC，
设点P的表示的数为m，
则|m﹣（﹣3）|+|m﹣2|＝8，
∴|m+3|+|m﹣2|＝8，
当m＞2时，解得，m＝3.5，
当﹣3＜m＜2时，无解，
当m＜﹣3时，m＝﹣4.5，
即点P对应的数是3.5或﹣4.5．