课题：§2.2.2向量减法运算及其几何意义
（人教A版高中课标教材数学必修4）
教学设计
授课教师：陈 莹 天津市滨海新区塘沽第一中学
指导教师: 申 铁 天津市中小学教育教学研究室
段淑芬 天津市滨海新区塘沽第一中学
王祥芬 天津市滨海新区塘沽教育中心
2014年12月
课题：§2.2.2向量减法运算及其几何意义
一、教学内容解析
《向量减法运算及几何意义》是高中数学必修4第二章平面向量第二单元第二节的内容。向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。本节课的学习是建立在学生已经掌握了平面向量的基本概念、相等向量，共线向量的特点，以及向量加法运算的基础上，进一步对于向量减法运算及其几何意义进行研究。类比实数的减法运算，通过相反向量将向量减法运算转化为向量加法运算，体现了加法运算与减法运算的内部联系。向量减法的学习是对数学中减法运算的丰富与升华，是运算认识的又一次质的飞跃。
根据本节课的内容特点以及学生的实际情况，在教学过程中让学生自己去感受向量减法的形成过程是这节课的突破口。向量的减法运算及其几何意义，及向量减法与向量加法的类比作为本节课的教学重点。
本节课的学习在发展学生运算能力的同时还需要培养学生运用向量语言和方法表述和解决实际问题的能力。另外，向量减法运算及几何意义与向量加法运算及即将学习的“向量数乘运算及几何意义”都有着密不可分的关系，因此本节的内容起到了承前启后的重要作用；并且通过本节内容的教学还为培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合、类比、转化的数学思想方法提供了重要的素材。
二、教学目标设置
新课标指出教学目标应体现学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形成正确价值观的过程。新课标要求：借助向量加法运算及相反向量的概念，理解向量减法的运算其几何意义。根据新课标的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目标：
1.掌握相反向量的概念，通过类比数的运算理解向量减法的定义，并掌握作两个向量的差向量的方法。
2.掌握向量减法的几何意义并体会向量加减法的内在联系，从而渗透转化的数学思想方法。
3.通过学习，感知向量具有数形兼备的特征，同时向量是研究图形的重要工具，从而深入体会数形结合的思想方法。
4.通过学习使学生经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题，提高分析实际问题的能力，增强数学应用意识。
5.营造和谐的课堂氛围，通过独立思考，合作交流使学生获得学习数学的成功体验，培养良好的学习习惯及严谨的思维方式。
三、学生学情分析
本节课面对的是高一年级的学生，这个年龄段的学生思维活跃，求知欲强，但在思维习惯上还有待教师引导。通过之前的学习学生已经掌握了平面向量的基本概念、相等向量，共线向量的特点，以及向量加法运算及其几何意义。同时对于数形结合、类比、转化的数学思想方法也有了初步的认识。
为了更好的实现本节课的教学目标，需要学生从原有的知识和能力出发进一步体会向量加减法的内在联系，从而深入感受转化、类比的数学思想方法。让学生充分感受向量减法法则的研究方法和生成过程，从而深入体会数形结合的思想方法。
从数形结合、类比、转化的数学思想方法的初步具备到本节课的深入强化，从向量基本概念、加法运算及其几何意义的知识储备到加减法及几何意义的内在联系，可通过实际教学中积极的双边活动让学生自主寻求解决问题的途径。激发学生学习热情，提高课堂效率，使知识得到螺旋式的巩固与提高。而对于加强学生自身对于数学的应用意识及实际问题的分析能力方面，还有待于教师的指导帮助。
根据本节课的教学内容及学生的实际情况，我将本节课的教学难点制定为：对向量减法几何意义的深入理解，向量减法运算的实际应用。学生根据教师提供的情境，采用观察、分析、抽象、概括等方式探索知识，归纳知识。通过创设情境疑问，引导学生开展独立思考、主动探究、合作交流，探求解决问题的方法。鼓励学生创新思考，加强数学实践，培养学生的理性思维，同时注重培养学生良好的数学学习习惯。
四、教学策略分析
遵循教师的主导作用和学生的主体地位相统一的教学原则，本节课我采用引导发现式的教学方法并充分利用多媒体辅助教学，达到提高教学效果和教学质量的目的。从教与学的实际情况出发在教学过程中深入挖掘课本资源，通过“如果没有运算，向量只是一个’路标’，因为有了运算，向量的力量无限。”强调向量运算的重要性，类比实数的减法运算提出是否存在向量减法运算的疑问，调动学生的学习兴趣。教学的核心内容为向量减法的作图方法及几何意义，向量加减法在几何问题中的应用，课后思考题体现了向量减法在实际生活中的应用，实现了课堂知识在课外的延伸。整节课教学材料的选择安排符合学生的认知规律，可以有效提高学生数学思维的参与度，帮助学生逐步学会思考。
根据本课特点及学生情况，教学中教师通过创设情境，设置问题，启发学生通过主动观察、主动思考、自主探究、合作交流，实现动眼、动手、动脑操作来达到对知识的发现和接受。
围绕本节课的教学重点，教学过程中以问题为驱动，逐层递进，使学生对知识的探究由表及里，逐步深入。通过思考题，以“问题串”形式组织教学，通过探究，引导学生思考、归纳、总结。
例题、练习、变式题的设置从浅入深，课后作业分层布置，设置为巩固型、思维拓展型两个阶段，为不同认知基础的学生提供相应的学习机会。在教学过程中，反馈应体现在学生对于课堂所学知识的反馈，同时也体现在教师对于学生解题过程中的诊断性评价。例题的自主完成要给学生足够的时间，通过学生板演反馈知识内化情况。通过反馈教师给予学生更有针对性的指导帮助，从而真正实现知识的内化。
五、教学过程
1．温故复习，强化概念
[师] 通过前面的学习，我们知道向量是既有大小又有方向的量，并掌握了相等向量和共线向量的概念，了解了向量可以进行加法运算，请同学们与我一同看这样一道复习题。
如图：O是正六边形ABCDEF的中心。
(1)作出图中的向量,还能作出哪些向量呢？
(2)找出的相等向量、共线向量
(3),,还能举出类似的例子吗？
[生] 学生回答。复习过程中教师强调向量相关概念，并引领学生复习向量加法的两种法则及各自特点。
【设计意图】知识的复习融入一道题目之中，巧妙的安排设问，复习相关概念并巩固了向量加法的两种法则，为后续的教学做好准备。
2．提出问题，创设情境
[师] 正如教材的第二章扉页上所说，“如果没有运算，向量只是一个‘路标’，因为有了运算，向量的力量无限。”通过向量加法的学习，我们已经初步感受到了运算给予向量的力量，在此基础上我们学习向量减法。
问题串:如何定义向量减法？用怎样的符号表示呢？如何理解向量的减法及其几何意义？（让我们共同开启对于“向量减法”的发现之旅吧。）
我们知道，在实数运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数。
类比相反数，我们在学习向量减法时，是否也有这样的相反的向量呢？
[师]生活情境（1）：一架飞机由天津到香港,再由香港返回天津, 飞机的两次位移分别是什么?
[生] 学生回答
[师] 在物理学中我们学习过作用力与反作用力的概念，是如何定义的呢？
[生] 学生回答
[师] 两个情境中涉及的两个量，具有怎样的关系呢？
[生] 学生齐答：大小相等，方向相反
[师] 结合以上特点，你能否在正六边形中，找到也具有这种特点的两个向量？
满足这样特点的两个向量，我们就把它称作相反向量。
用怎样的数学符号表示呢？
[生] 学生回答：
【设计意图】 问题串的引入符合学生的认知规律，从加法到减法的过渡自然流畅。问题从类比减法运算方法的提出，为学生研究向量减法运算提供了思考方法，同时从生活、物理学情境引入新知可以激发学生的学习兴趣。教学过程中，相反向量的定义由学生自己发现并总结，同时在正六边形的复习题中得以应用，形成呼应。知识的形成并非强加给学生，而是让学生自主发现探索，符合最近发展区原则。
3．探索新知，深入研究
[师] 借助新知完成思考1。
[生]（思考1：逐一请学生回答）其中（3）：教师要适时强调相反向量和共线向量的关系。
[师] 再次类比实数运算，，向量减法是否也有类似的运算？
[生] 学生独立得出向量减法的定义式：
[师] 教师给出向量减法的定义。并强调：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。
思考2：让我们共同探讨：对于已知非零向量，借助减法的定义，（1）如何作图得到？
[生] 请两位同学实物投影并讲解作法，体现减法转化为加法的思想，同时展示两种向量加法的法则。
【设计意图】本环节强化了学生活动，由定义得到，作图得到向量减法的过程完全让学生完成，从而体现学生的主体地位，在学生参与的过程中，教师要适时表扬，适时提出新的问题，激发学习兴趣，培养学生严谨的科学习惯。
[师] 思考2：（2）设,探究：能否直接求，小组讨论。
【设计意图】 思考2：（2）是本课的重点，体现向量减法的形成过程，教师把时间交给学生，小组讨论，形成向量减法的运算规律，并强调几何意义。
思考3：让我们一同总结作图得到的具体步骤。
[生]（请一位同学回答）同时教师板书规范完成求向量差的作图操作。
[师] 我们已经从图形角度研究了向量的减法，再来从表达式的角度研究一下。
（教师板演：）并强调：一个完整的作图应体现出运算结果，同时也更加清楚的表示差向量。通过的变式，应用口诀。
【设计意图】借助多媒体工具辅助教学，强化对于减法几何意义的理解，实现数与形的结合。作图方法具体步骤及运算结果的呈现，为学生提供一种规范的解题作图思路和具体操作方法，做到事事有章可循，从而培养学生严谨的思维方式。
4．巩固双基，挖掘内涵
[师]下面就让我们尝试运用法则来完成第一个例题
例1：（1）已知向量求作向量，并写出运算结果。
（2）已知向量求作向量，并写出运算结果。
（3）已知向量求作向量，并写出运算结果。
（1） （2） （3）
（请三位同学在黑板上分别作出结果）
【设计意图】目的在于考查学生对于法则的理解程度。在教学过程中，要给学生足够的时间完成，讲解时适时强调3个小题中向量的位置关系均有所不同，特别是对于共线的两个向量，减法的法则仍适用，从而完善了向量减法的适用范围。另外，通过本例强调规范的作图方法及运算结果的体现。
例2：已知平行四边形ABCD，，用表示向量
【设计意图】本例的作答对于学生而言并不困难，要求教师引导学生提炼本题中所求向量的几何意义。即为学生介绍了联系，，，的一种几何模型——平行四边形。
5．提升认识，学以致用
[师] 我们前面接触的向量减法均与图像相关，那么我们能脱离图像，解决这组化简的习题吗？请同学们试一试。
例3:化简
[生] （请三位学生回答）并引导学生给出一题多解。
[师] 教师总结解决本练习的精髓：借助向量加法首尾相连，减法共起点的特点，找寻题目的突破口。同时再次强调：借助相反向量实现加减法之间的转化。同时：本例也是对于例4的铺垫。
例4：已知点O是四边形ABCD所在平面上的任意一点，且满足，判断四边形ABCD的形状。
【设计意图】 从化简练习到例2的设计，均体现了不借助图形直接进行加减法运算问题，这个环节的设计力求通过练习为学生搭建解决问题的脚手架。即：若无图形，首尾相连则完成加法，共起点则想到减法，这也就是例2解题的关键所在。
[师] 在学习中我们发现向量的加法和减法是有机联系的一个整体，密不可分。下面我们来一起完成思考4：总结对比向量加法和减法运算。
【设计意图】本环节设置力求让学生较为系统掌握加减法的本质及内在联系，提升认识。
[师] 问题解决（1）：拔河比赛——场景：甲队胜于乙队。你能通过向量的知识来解释吗？
问题解决（2）：在向量加法的学习中，我们接触一道有关于堤坝抢险的实际问题。
江淮流域发生了大洪灾。一条自西向东流淌的大河，在其南岸发现对岸的堤坝处有险情，救险队员坐船从A处出发垂直向对岸驶去，才能到达险情发生处。已知船速、水速，求船实际航行速度的大小及方向。
如果是正对岸出现险情，该如何确定其航向？对你有何启发？
【设计意图】问题解决部分：从生活实例出发，拔河比赛的场景设置激发学生的学习兴趣。在向量加法运算的学习中，运用向量加法的平行四边形法则解决了堤坝抢险的实际问题。在向量减法运算的教学中改变险情位置，提出该如何确定航向的相关问题，体现向量减法运算的实际应用，学以致用，让学生感受到数学服务于生活，有着广泛的应用，留作课后解决。
6．小结升华，布置作业
本环节由学生发言，畅谈这节课的收获与疑惑，并相互评价。最后教师进行归纳、总结、提升。
课后作业：
【巩固型】教材87页练习1,2,3；91页A组4,8.
【思维拓展型】
（1）类比加法中不等式，
试判断是否成立？若成立，给出相应解释。
（2）向量是一种重要的运算对象，从数、式的运算到向量的运算是一次飞跃。
回顾: 数、式 的运算规律，和向量加、减法运算。
思考：向量还会有其它运算吗？怎样运算呢？遵循什么运算律呢？
板书设计：
_____________作图区_________________
___________________________________
步骤： _____________________________________
教学点评
点评人：王祥芬（天津市滨海新区塘沽教育中心）
陈莹老师是天津市滨海新区塘沽一中的青年教师。本节课的内容是人教A版教材《数学（必修4）》2.2.2向量减法运算及其几何意义，向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。向量减法的学习是对数学中减法运算的丰富与升华，是运算认识的又一次质的飞跃。
陈莹老师通过强化概念、创设情境、直观感知、探究新知、挖掘内涵、学以致用等环节层层深入，环环相扣，并充分体现师生互动，在教师的整体引导下，学生动手操作、动眼观察、动脑思考、层层递进，对知识的探究由表及里、逐步深入，激发了学生兴趣，带领学生进入对向量运算更进一步的思考和研究之中，达到知识在课堂以外延伸的目的。本节课亮点如下：
1.理解数学是关键
教师能够站在数学学科的整体高度来把握教材，围绕概念和问题情境，设
计的探究问题起点低、步子小，层次性强，突出“低起点、高观点”的教学方式，注重知识的“生长点”与“延伸点”，把教学知识置于整体知识体系中，突出一种方法、两个定义、三种思想的整体知识框架。
2.问题探究是动力
问题串的设置符合学生的认知规律，从向量加法到向量减法的过渡自然流畅。问题从类比数的减法运算方法的提出，为学生研究向量减法运算提供了思考方法，同时从生活、物理学情境引入新知可以激发学生的学习兴趣，符合学生的最近发展区。
3.主动学习是核心
教师为学生的学习和发展营造了浓郁的学习环境和气氛，通过正六边形的两次探究应用的设计激发了学生的学习积极性，通过让学生口答、板书、交流讨论等形式使学生成为课堂学习的主人，发挥了学生自主学习的主体作用。
总之，陈莹老师这节课以生为主，返璞归真，立足本质，追本溯源，转化形态，便于探索，堪称是快乐分享的课堂。
课件23张PPT。2. 2. 2 向量减法运算 及其几何意义授课教师：陈莹 天津滨海新区塘沽第一中学温故如图：O是正六边形ABCDEF的中心。还能作出哪些向量呢？还能举出类似的例子吗？
如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。教材第二章扉页：提出问题：如何定义向量减法？用怎样的符号表示呢？如何理解向量的减法及其几何意义？向量减法是否也有类似的法则？ 减去一个数等于加上这个数
的相反数。
情境:(1) 一架飞机由天津 香港,再由香港 天津, 飞机的两次位移分别是什么? BA(2)物理学中的作用力与反作用力大小相等
方向相反 BA天津香港情境:(3)结合以上特点，你能否在正六边形中，
找到也具有这种特点的两个向量？
与非零向量 大小相等,方向相反
的向量。 和 互为相反向量。即：规定：零向量的相反向量仍是零向量（2）如果是 互为相反的向量，那么（1）思考1（3）方向相反的向量一定是相反向量吗？
相反向量一定是共线向量吗？反之呢？相反向量:向量减法是否也有类似的运算？ 减去一个数等于加上这个数
的相反数。
对于已知非零向量 ，根据减法的定
义，(1)如何作图得到思考2：定义：转化的思想即：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。思考2：(2)设 , oABoABCC 探究:能否直接求D思考3：作图得到
的具体步骤？共起点, 连终点, 指向被减向量向量减法
几何意义尝试运用法则 已知向量 ，求作向量 并写出运算结果。（3）（2）例1:解：由向量加法平行四边形
法则可得，由向量的减法可得，例2:平行四边形是研究
的几何模型。向量向量的运算沟通了平行四边形边对角线化简：转化：例3:解:由 已知点O是四边形ABCD 所在平面上的
任意一点，且满足 ，
判断四边形ABCD 的形状。例4：得 由向量的减法，可知 所以四边形ABCD为平行四边形 图形的判定、性质，转化为向量的运算。
即：通过向量的方法解决平面几何问题。四边形对边表示的相应向量相等，
即：一组对边平行且相等。向量的加法向量的减法向量运算内在联系法则思考4ABC(1)场景：甲队胜于乙队时甲队乙队问题解决 (2) 江淮流域发生了大洪灾。一条自西向东
流淌的大河，在其南岸发现对岸的堤坝处有险
情，救险队员坐船从A处出发垂直向对岸驶去，
才能到达险情发生处问题解决 求船实际航行速度的大小及方向问题解决两个定义一种运算方法小结与反思三种思想图形和数的双重特征是研究图形的工具ABC
【巩固型】教材87页练习1,2,3；91页A组4,8.
【思维拓展型】
课后作业课后作业 【思维拓展型】
(2)向量是一种重要的运算对象，
从数、式的运算到向量的运算是一次飞跃。
回顾: 数、式 的运算规律，
和向量加、减法运算。
思考：向量还会有其它运算吗？
怎样运算呢？
遵循什么运算律呢？
祝同学们学习进步
谢谢大家
2.2平面向量的线性运算
向量加法运算及其几何意义（第1课时）
（人教A版高中课标教材数学必修4）
教学设计
授课教师：王 蕊 天津市武清区杨村第一中学
指导教师: 申 铁 天津市中小学教育教学研究室
梁 栋 天津市武清区杨村第一中学
张永成 天津市武清区教研室
2014年12月
一、教学内容分析
本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（必修4）中第二章《平面向量》第二节“平面向量的线性运算”的第一课时．
向量是近代数学中重要和基本的数学概念，它是沟通代数、几何、三角的一种工具，其工具作用主要体现在向量的运算方面，向量的加法运算是向量运算的基础．平面向量的加法运算是通过类比数的加法，以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的．向量的加法不同于数的加法，运算中包含大小与方向两个方面，向量加法的法则是通过画图得到的，从这个角度来看，研究向量加法是学生学习过程中的一种突破．是学习向量的减法、数乘以及平面向量的坐标运算等内容的知识基础，为进一步理解其他的数学运算（如函数、映射、变换、矩阵的运算等等）创造了条件，向量的加法在这里起着承上启下的作用．通过不断与数进行类比，学习向量加法及其几何性质，充分体现了类比思想在研究问题过程中的重要作用．
因此，本节课的教学重点：向量加法的定义与向量加法的三角形法则与平行四边形法则及其几何意义，以及利用法则作两个向量的和向量，体会类比思想在研究问题中的重要作用．
二、教学目标设置
1．使学生经历从物理模型抽象为数学问题的过程，掌握向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；掌握向量加法的运算律，并会用它们进行向量计算；通过类比猜想、作图验证掌握向量加法的相关性质；通过数学建模解决实际问题.
2．在学习过程中，使学生掌握通过类比思想提出猜想，并给予证明的解决问题的方法，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识．
3．在数学建模过程中，经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，激发学生的学习热情．培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质．
三、学生学情分析
（一）学生程度
我所授课的对象是天津市杨村一中的学生．学生的水平相对较高，基础知识掌握得较好，学生的理解能力比较强．虽然初中已经经历了有理数加法的学习，但是对向量的学习还处于初期阶段，一些数学方法和数学思想的掌握还有待进一步加强。
（二）知识层面
1．学生初中已经学习过有理数加法、减法等运算并掌握了它们的运算率；
2．掌握了向量、零向量及其共线向量的定义.
（三）能力层面
1．具有物理学习中的力的合成基础；
2．具有一定的数形结合和类比思想的基础．
根据以上三个方面的分析，在学生已有的认知基础的条件下，学生可以自主完成求不共线的两个非零向量的和的作图，部分同学能够注意到零向量与数零的区别以及共线的两个向量的和的求法。但有些学生对平移向量依然在原图上处理，极易造成图形混乱。在具体操作过程中，需要老师的引导和帮助。
教学难点：?理解向量的加法法则及其几何意义，向量加法运算律的作图证明；数的加法对向量加法的负迁移，造成向量加法的意义的理解困难。
四、教学策略分析
1．《高中数学课程标准》倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习方式．根据本节课的教学内容和学生自主学习能力相对比较强的特点，以问题串驱动整个课堂的进行，采用启发、引导、探究相结合的教学方法.
2.为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助多媒体或实物投影仪等信息技术手段，通过图形的动态演示，变抽象为直观，为学生的数学探究与数学思维提供支持．
3．数学是一门培养重要思维的学科．因此本堂课我采取了“开放型探究式”教学模式，体现以学生发展为本的精神．从问题提出到问题解决都竭力把探究问题的主动权交给学生，让学生操作实验、直观感知、自主探索、合作交流，使学生全面参与、全员参与、全程参与，真正确立其主体地位．而教师作为数学学习的组织者、引导者、合作者，及时给予点拨和纠正．
五、教学过程
(一)创设情景
类比导入，引入新知
同学们七年级学习有理数加法时探讨过一个问题，小明从原点出发向东走了2米，再向东走了3米，两次行走后，相对于原点他的最后位置在什么地方？假如小明从原点出发向东走了2米，再沿着东北方向走了3米，这时他两次行走的路程是多少？
师生活动：
教师提问，学生思考回答。从数的加法引入向量的加法。
设计意图
以一个贴近学生生活的实例，引出课题“向量的加法运算及其几何意义”，激发学生学习兴趣。从位移入手，帮助学生清楚认识向量的加法与数的加法在本质上的区别。
（二）合作探究
自主探究，讲授新知
问题1：向量的加法如何定义
师生活动：教师展示课件，引导学生将引例中小明的路径抽象成向量，回顾位移合成知识.学生总结向量加法的定义.
设计意图：
结合实例，回忆物理中关于位移合成的知识，使学生对向量加法运算的学习建立在学生已有的认知基础之上，并建立两点共识：①向量可以相加；②向量的和仍是一个向量.使学生更好的把握向量加法定义及向量加法的特点.
同时通过对位移合成的观察，使学生对向量加法运算的“三角形法则”产生充分感知，为三角形法则知识的建构，奠定了良好的基础，进而提出向量加法及向量加法三角形法则的定义．
如图，已知向量，在平面内任取一点，作＝，＝，则向量叫做与的和，记作+，即 +.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．
向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法
问题2：两个向量的和向量方向如何确定？
师生活动：教师提问，学生归纳总结三角形法则的重点： “首尾相接，起点指向终点”
设计意图：
使学生亲身参与探究过程，通过图形观察概括总结定义，能够激发学生的求知欲，有利于学生对知识的建构。通过问题讨论使学生深入思考，并且会用类比的思想来提出定义.
问题3：对任意的两个向量，，|+|与||，||之间具有怎样的大小关系？
师生活动：
教师提问，学生作图思考，最后师生在合作探究中共同得出结论：
（1）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||；
（2）当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与相同，且||=||-||
（3）当向量与不共线时，<|+|<||+||
所以，综合以上结论有：|+|||+||
设计意图:
通过对有关向量加法中模的大小关系的探究，使学生认识到数的加法与向量加法的联系与区别，强化数形结合思想，自主探究中完成知识的建构.
合作探究，巩固新知
探究一：零向量
例1：已知向量、，求作向量+
师生活动：
教师展示问题，学生“同桌”间合作探究，教师深入学生中与他们交流，了解学生思考问题的进展过程，投影学生的解题过程，纠正出现的错误，规范书写的格式．通过强调三角形法则“首尾相连”这一特点，进行适当点拨，帮助他们突破思维的障碍.在第（2）题中，启发学生探讨两个相反方向的向量当长度相同时求和，得出，引导学生区别数0与，引申出规定：。
设计意图：
熟悉运用三角形法则求两个向量的和向量的几何作图技能. 巩固三角形法则求和步骤.
探究二：平行四边形法则求向量的加法
思考：力的合成与向量的加法有着怎样的关系？
师生活动：
学生阅读教科书探究，类比三角形法则得出平行四边形法则。力的合成也可以看做是向量加法的一个物理模型。向量的物理模型是位移，向量加法的定义是由三角形法则、平行四边形法则这样的作图语言描述出来的，同时，这也恰恰体现了向量加法的几何意义。
设计意图：
通过学生的自主学习，类比概括平行四边形法则的精髓，使学生的知识融会贯通，更好的理解掌握教学内容。
探究三：向量加法的运算律
向量加法的交换律
+=+
思考：三角形法则与平行四边形法，它们求向量和的结果是否一样？
师生活动：
学生在教师的引导下观察图形，通过动手画图，探究交换律的证明的过程
设计意图：
用画图检验向量的交换律。从实数运算律类比向量的结合律，学生自主探索.
2、向量加法的结合律
(+) +=+ (+)
思考：类比有理数加法的结合律，
猜想证明向量加法的结合律
师生活动：
教师提问，前后4人一组，分组交流，了解学生思考问题的进展过程，鼓励学生在学习了两种求和方法的认知基础上、通过作图展示突破思维的障碍，学习小组展示成果，学生在合作探究中得出结论：(+) +=+ (+)。教师让学生明确探究途径是使用加法法则作图研究，并且作图需要设计，选择理想的方法，清晰表述证明过程，学生通过合作交流、自主探究，通过画图动手验证，完成对相关运算律的证明．
设计意图：
通过与数的运算律进行类比，自然提出“向量加法是否也有运算律”的问题，通过设计“探究”活动，作图验证，在合作交流中完成知识的建构.
向量建模 学以致用
例2. 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图所示，一艘船从长江南岸点出发，以km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船的实际航行的速度；
（2）求船实际航行速度的大小与方向.（用与江水速度间的夹角表示）
解：（1）如图所示.表示船速，表示水速，以、为邻边作平行四边形,则表示船实际航行的速度.
（2）在中，，所以
答：船实际航行速度的大小约为4km/h，方向与水的流速间的夹角为.
师生活动：
教师提问，学生讨论回答．
设计意图：
培养学生数学建模能力，以及数学的应用意识．
（三）、总结提炼
(1) 本节课你都有哪些收获？
(2) 给你印象最深的是什么？
(3)课后，你还想进行什么探究
师生活动：
教师引导，学生回答.
设计意图:
对所学内容进行小结，为实际应用打下基础．通过开放型问题，拓展学生的视野，提高学生探究意识.
(四)、反馈训练
1.根据图示填空
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
2.化简：
（1）
（2）
（五）、作业布置：
（1）作业：P91 习题2．2的1．2．3．
（2）拓展探究：数有减法，向量是否有减法呢？结合本节课的探究方法，请大胆的提出猜想，并结合三角形法则与平行四边形法则进行探究．
设计意图：
在布置作业环节中，设置了两组练习，一组必做题，一组探究题，这样可以使学生在完成基本学习任务的同时，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生的学习兴趣．
教学点评
向量加法运算及其几何意义（第1课时）
作课 武清区杨村一中 王蕊
点评 武清区教研室 张永成
王蕊老师是天津市武清区杨村第一中学的青年教师．《向量加法运算及其几何意义》这节课是人教A版必修4第2章第2 单元的第一课时．这节课有很多亮点，主要表现在以下几方面:
1.正确地确立了教学目标和教学重点
教学目标是教学活动的出发点和归宿，对一节课起着定向、定位的作用．一节课的教学目标应是学科目标、章节目标的具体化，与章节、学科目标构成系列．向量加法是学习平面向量基本概念之后首先要掌握的最基本、最重要的运算．一方面，通过类比实数的运算，研究向量的运算及运算律，渗透数学建模思想，加深对向量概念的认识；另一方面，其他平面向量的线性运算如减法运算、向量数乘运算，都可以归结为加法运算，向量加法也为后续学习起到铺垫作用．因此，本节课将向量加法运算及其几何意义定位为理解与掌握是恰当的．另外，通过例题和实际问题的解决，让学生经历和体验数学知识发生、发展的过程，提高了数学建模能力．
教学重点一般是指知识结构中起基础和纽带作用的内容．本节课的重点是向量加法的三角形法则和平行四边形法则．这两种运算法则是向量作为数学工具初步应用的依据，因此是本节课乃至以后学习的关键．
2. 引入自然，直奔主题
本节课通过一个学生熟悉的实例引入课题，使学生感到亲切、自然．通过类比实数运算，直接切入向量加法运算的主题，干净利落．
3.结构合理，内容处理得当
结构确定功能，一个好的课堂结构应该是知识结构和学生的认知结构能够有机融合．本节课先讲三角形法则，然后引导学生发现平行四边形法则；在学习向量运算律时，又紧紧依据向量的两种运算法则获得有关运算律；在处理零向量的运算时，并没有直接硬性规定，而是根据零向量的几何特性，尽可能说明规定的合理性．整节课知识层层递进，体现了用教材的课改理念．
4.活动设计有序有效
新课程改革倡导自主、探究、合作，要求改善学生的学习方式。本节课有对向量运算法则和运算律的合作探究和分组讨论，学生经历知识的发现过程，感受解决问题的喜悦，教师在这个过程中作为参与者、引导者、合作者，充分体现了教师的主导作用和学生的主体作用．
5.轻松快乐，课堂气氛和谐融洽
快乐学习是学生健康成长的一项指标．本节课的教学环境和谐融洽，王蕊老师与学生的交流富于亲和力，所有教学活动都是在轻松、快乐的气氛中完成的．
6.教师基本功
语言精炼、准确，语调轻重缓急，体现了教师较高的语言表达能力；板书简洁、美观、具有启发性，书写规范清晰，布局合理，图文并茂；媒体使用合理，教具使用娴熟．
课件18张PPT。向量加法运算及其
几何意义天津市杨村一中王蕊 小明从原点出发，先向东走2米，再向东走了3米，相对于原点小明的最后位置在什么地方？（+2）+（+3）=+5求两个向量和的运算，叫做
向量的加法1、向量加法的三角形法则:作法：“首尾”顺次相接
起点指向终点问题1：两个向量的和向量方向怎么确定？问题2：例1：如图,已知 ，求作向量（1）（2）（3）2、向量加法的平行四边形法则:作法：起点相同，两边平行
同一起点，对角为和三角形法则与平行四边形法则，它们求
向量和的结果是否一样？思考1：
交换律:思考2：向量加法是否满足结合律？并证明.结合律:1、这节课你有哪些收获？回顾：2、留给你印象最深刻的是什么？3、这节课之后，你还想做些什么探究？课堂小结：作业：（1）作业: P91 习题2．2的1．2．3．
（2）拓展作业: 数有减法，向量是否有减法
呢？结合本节课的探究方法，请大胆的
提出猜想，并结合三角形法则与平行四
边形法则进行探究。.谢谢光临指导课件12张PPT。2.1 平面向量的实际背景及基本概念 普通高中课程标准实验教科书 人民教育出版社 必修 第四册 情境1归纳共性去哪儿了?
嘻嘻!大笨猫!AB 老鼠由A向东北方向以每秒
1米的速度逃窜，
猫由B向正东方向以每秒5米的速度追赶。
猫能抓到老鼠吗？为什么？情境2归纳共性情境3归纳共性甲、乙两车分别以40千米/时、60千米/时的速度从同一地点出发；
（1）甲、乙两车都向东行驶，1小时后，它们相距 千米；（2）甲车向东、乙车向西，1小时后，它们相距 千米。20100抽象定义向量向量：既有大小又有方向的量形象表示思考：如何表示向量？认识特殊（大小）特殊的向量（大小）零向量：长度为0的向量单位向量：长度等于1个单位的向量指出图中各向量的长度（模）ABCDEFG1HNM相等向量：大小相等，方向相同的两个向量.规定：零向量与任一向量平行.（共线向量）平行向量ABCDEFlOQP：方向相同或相反的非零向量.认识特殊（方向）（3）与向量 模相等的有：如图，O是正六边形ABCDEF的中心，则：（1）与向量 相等的有：（2）与向量 平行的有：下面的说法正确吗？平面上，所有的单位向量都相等.若 , , 则 .（不正确）（正确）若 ， , 则 .对向量 ，若 ，则 .（正确）（不正确）辨析升华 表示方法几何表示字母表示零向量单位向量平行向量相等向量向量的概念 特殊关系 特殊对象……大小、方向抽象定义形象表示认识特殊研究一般……归纳共性
