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《向量法》
山东省实验中学 宋晖
一、教学内容解析
作为现代数学重要标志的向量引入到中学数学中来，进一步发展和完善了中学数学知识结构体系。向量具有数与形的双重身份，可以为解决图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加一种代数方法，成为研究几何、代数问题的共同工具，也是研究力学、电学以及许多现代科学技术的有力工具。因此,向量成为中学数学知识的交汇点，通过对传统问题的分析，帮助学生建立代数与几何的联系，构造学生知识的网络，也为中学数学向高等数学的过渡打下良好的基础。
所谓向量法，即从问题的条件入手，找到与向量知识相关点，转化为向量背景下的形式，借助向量的运算法则求解，然后回到原问题中达到解决问题的目的。通过向量解题的学习，使学生掌握解决数学问题的基本技能和技巧，认识数学内容之间的内在联系,提升运算能力和逻辑思维能力,体会向量解题思维遵循的相关原则:数形结合、转化与化归等。
二、教学目标设置
根据《课程标准》的要求和教材特点，结合高三学生的认知能力，确定如下三维教学目标：
1、知识与技能目标：
(1)掌握向量的运算（线性运算、数量积）；
(2)能用基向量法和坐标法两种向量法解决平面几何、立体几何问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
2、过程与方法目标：
(1)培养学生利用思维导图总结知识结构的能力、归纳总结关键点和思想方法的能力；
(2)借助题组的探究让学生体会数学结合与转化在向量法应用中的作用。
3、情感、态度与价值观目标：
通过师生互动，生生互动的教学活动，培养学生锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度，激发学生学数学、爱数学的情感。
【教学重点】用基底法和坐标法两种向量法解决平面几何、立体几何问题
【教学难点】用基底法解决平面几何、立体几何问题。
根据以上目标的确定，教学上力求体现三种能力：探究能力、交流能力、反思能力。在学生已有知识和方法的基础上，通过教师引导，学生自主学习、小组讨论、交流合作的办法来实现重难点的突破，进而达到预期的教学目标。
三、学生学情分析
对高三学生进行试题讲评时,应按照“三讲三不讲”的原则，即：讲易混点，讲易错点，讲易漏点；学生自己已经会了的不讲，学生自己能学会的不讲，老师讲了学生也学不会的不讲。师生互动、生生互动时,采用“焦点访谈”方式探讨三个焦点：知识的模糊点；简单题的易错点；综合题的突破点，通过重点出击，逐个突破的教学过程使学生深化知识应用进而形成能力，实现教学目标。
【认知储备】学生已经掌握向量加法法则、数乘的意义及其运算律、向量数量积的意义和运算律以及空间向量基本定理等核心知识, 具备数形结合、转化与化归等思想方法。
【心理准备】由于学习活动形式多样,展示汇报机会较多,学生学习数学兴趣浓厚而且热情高涨，为本节课的探究活动的有效开展作好了铺垫。
四、教学策略分析
【教法分析】
本节复习课依据建构主义的认知理论，强调学生的自主复习、自我建构，而复习课的关键是提高复习的有效性，实施有效教学，基于以上几点分析采用“学案导学-自主探究-重点突破”复习模式。教师课前编制学案,提出学习资源供学生参阅,批阅学案并收集其中做题方法新颖巧妙、思路简捷、一题多解等典型范例;课上向全班进行交流，以达到消除错误，引导学生顺利突破教学难点,从中总结思想方法，同时让思维得到升华。
【学法分析】
美国著名数学教育家波利亚明确指出：“学习任何东西，最好的途径是自己去探究发现”。课堂不是教师的一言堂，而是学生探究的乐园，投影展示既可以完整展示学生的思路、过程又提高了课堂效率，学生的补充交流可以更好的激起思维的火花，让学生做到三“动”即：形动、心动、神动，逐步养成良好的学习习惯。
五、教学支持条件分析
1、为了有效实现教学目标，借助多媒体、实物投影仪、微课等辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，真正实现高效课堂。
2、利用教师提供的学习资源包给学生一个辅助的平台，帮助学生有效解决问题。
六、教学过程设计
项目前：
学生课前复习平面向量、空间向量的知识，分以下三个阶段完成工作:
1、自主探究：总结向量知识结构，完成学案上的题组；
2、微课助学：观看视频，改进知识结构,促进问题的解决；
3、合作互学：小组内交流，完善知识结构，释疑解惑。
教师批改学生的学案，总结学生的问题，为项目中做好准备。
[设计意图]通过三个阶段任务的解决，一方面可以复习相关知识，建构知识结构;另一方面可培养学生发现问题、解决问题的能力, 更多地让学生主动参与。
项目中：
（一）思维导图 知识建构
【问题1】总结向量的知识结构，你认为重点和易错点是哪些？
活动：小组代表梳理本章知识结构图，其他小组补充，教师借助思维导图加以总结。
[设计意图]知识梳理、建构是复习的“根”，它是一个不断完善的过程。学生课前结合学案中的考纲要求来查找知识的模糊点，使学生完成对知识的第一次建构;课前小组内交流结果和课上小组代表展示成果, 加深学生对知识的理解，使学生完成对知识的第二次建构;师生共同补充总结，使学生完成对知识的第三次建构。通过三次建构,让学生主动参与进来，提升课堂效率。
（二）典例分析 方法探究
【问题2】向量都有哪些应用？
向量在解决平面几何、立体几何、解析几何、三角以及物理中都有广泛的应用，而高中数学中向量应用最多的还是平面几何和立体几何。
活动：学生个别回答，其他同学可以提出自己的见解，教师总结点评。
[设计意图] “学生的头脑不是盛东西的容器，而是需要点燃的火把”，设置问题2可以激发学生的探究欲望,阐明本节课的重点是回顾平面几何和立体几何这两方面的应用,其它应用可以借助微课学习进行课下探究。
探究一：向量法在平面几何中的应用
题组1：
1、（1）设是所在平面内的一点，设与的面积分别为,则=_______
（2）已知平面内有一点及一个，若，则点在（ ）
.的内部 .边所在直线上
.边所在直线上 .边所在直线上
2、（1）点为所在平面内一点，且满足，则为 .
（2）点为所在平面内一点，满足， 则是的（ ）
.外心 .内心 .重心 .垂心
活动1：对问题较多的第2题（1）问，选取两个小组的代表板书并讲解题目。
[设计意图] 学生的两种做法:一是运用了向量运算的几何意义，二是抓住了减法运算的逆运算进行拆分的技巧，很好的体现了数形结合和转化的思想方法。
活动2：投影展示个别学生的典型错误，小组讨论交流后学生本人讲解错因。
[设计意图] 解决问题过程中，“试误”和“顿悟”常常是交替进行的,它们有助于学生找到题目在整个知识体系中的落脚点，从纷繁复杂的习题中提炼本质的、共性的思想方法。
【问题3】题组1解决了平面几何的什么问题？用到了哪些知识方法？
题组1主要解决了利用向量法判断平面几何中的图形关系问题，用到了向量的基本运算和运算的几何意义，体现了数形结合和转化的思想方法。
活动：小组交流讨论，派代表汇报成果，师生共同补充评价。
[设计意图] 问题3是本节课的重点，把时间还给学生，培养学生的概括总结能力，使学生对解题方法由感性认识上升到理性认识，完成了思维的提升。
题组2：
1、在边长为的正三角形中, 设则________．
2、如图，在中，,,,则 .
活动1：教师屏幕展示同学们第1题出现的两种解法，并选取个别同学进行讲解。
[设计意图] 第1题的设置意在强调两种解决向量有关求值问题的方法：基底法和坐标法，尤其是抓住了图形中隐含的垂直关系建系，通过坐标法来求解可简化运算。
活动2：教师屏幕展示个别学生解决第2题的基底法，同时引导学生自主探究尝试用坐标法解决此题。
[设计意图] 第2题学生出现的问题较多，恰当选取基底可将其化繁为简, 体会转化的思想方法。，引导学生运用坐标法巧解这个题目，既激发了学生探究新方法的兴趣，又加深了学生对基底法和坐标法两种方法的理解和应用。同时学生探究出的特值法也是做选择填空题的常用技巧方法。
【问题4】题组2解决了平面几何的什么问题？用到了哪些知识方法？
题组2解决了平面几何求值的问题,用到了向量分解和运算的知识，方法上用到了基底法和坐标法，根据题目特点可以灵活选择方法。
活动：小组交流讨论，派代表汇报成果，师生共同补充评价。
[设计意图]问题4设置的目的在于:成功的习题课必须使学生达到对知识的全面理解，对知识点强化到位，对重点和难点突破到位，对基本技能掌握到位，对思维方法发展到位，对知识的灵活运用到位。
探究二: 向量法在立体几何中的应用
题组3：
1、如图所示，在正方体 中，是棱的中点。
（Ⅰ）求直线与平面所成的角的正弦值；
（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使平面？
证明你的结论。
2、如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，
是的中点，底面，。
（Ⅰ）证明：平面⊥平面;
（Ⅱ）求平面和平面所成二面角的大小。
第1题主要考查了利用向量法证线面平行和求线面角的方法，由于大部分同学完成较好，所以课堂上不集中处理。重点探究第2题:
活动1：展示部分学生的运用坐标法解题的过程,师生共同分析错因。
[设计意图]引导学生分析坐标法求解立体几何问题常见的错误:坐标写错、法向量求错、建系或步骤不规范，使学生进一步掌握运用坐标法解决立体几何问题的注意事项。
活动2：师生共同对比（Ⅰ）中运用坐标法解题的两种做法, 并寻求（Ⅱ）中法向量夹角与二面角关系的判定方法， 展示学生的正确做法和标准步骤。
[设计意图]对（Ⅰ）问,解法一是证两个面的法向量垂直，对几何判断要求较低；解法二是先通过几何条件预判线面垂直关系，再证方向向量平行于法向量,对几何判断要求较高，所以两个做法各有千秋。（Ⅱ）问中求解二面角的问题时要注意看两个半平面的位置关系来判断二面角具体是锐角还是钝角。
活动3：小组派代表到讲台讲解用基底法的解题思路,师生共同评价方法。
[设计意图]通过对方法的分析,让学生达成共识:如果建立空间直角坐标系较难，尤其是点的坐标容易求错，用基底法完全避开这两个难题，从而使得求解过程简洁明了,学生的分析便水到渠成，从而突破了教学难点。所以利用基底法也是解决立体几何的一种重要方法。
活动4：对比基底法和坐标法，总结用向量法解决几何问题的步骤。
向量法解决立体几何乃至平面几何问题的三个步骤：1、向量表示几何关系；（点—位置向量；直线---方向向量；面----法向量）2、进行向量运算；3、还原为几何结论。
[设计意图]结合两个同学的标准做法，通过反思加深学生对向量法在几何中应用的理解和整体把握，体会数形结合的思想。
【问题5】题组3解决了立体几何的什么问题？用到了哪些知识方法？
向量法可以证明立体几何中的平行和垂直关系，还可以求线线角、线面角、二面角的大小。知识用到了空间向量基本定理和向量的基本运算，常用方法是：基底法和坐标法。
活动：小组交流讨论，派代表汇报成果，师生共同补充评价。
[设计意图]复习课应是一个反思性的学习过程，解题后让学生对题目及解答进行反思、领悟是很好的方法，对基本问题、典型问题进行反思，对提高分析问题、解决问题的能力有很大的帮助。通过反思总结，使学生自主总结出知识方法，加深对空间向量基本定理的认识，体会基底法和坐标法只是表示形式的不同，并对比平面几何整体把握向量法解决平面几何和立体几何问题的方法是相通的。
（三）聚焦高考 能力深化
练习：
1．（2013山东（理））已知向量与的夹角为°,且,,若,且,则实数的值为__________.
2、（2014山东（理））如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，是线段的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若垂直于平面，且，求平面和平面所成的角的余弦值.
活动1：模拟高考，教师呈现相关内容的高考题，要求学生在规定的时间内完成，并要求写出规范的解答步骤。
活动2：投影展示个别学生的解题过程,师生共同评价。
[设计意图]两道高考题主要考查运用向量法解决立体几何和平面几何问题,能够巩固本节所学内容。题目设计有梯度，让不同的学生学习不同的数学；让学有余力的同学有选择的余地。使学生体会高考题所考察的形式和特点，把相关的知识和思想方法应用于问题解决中，巩固所学知识方法，增强学习信心。
（四）反思升华 完善建构
请归纳总结本节课从知识方法和数学思想两方面的收获。
知识方法：向量的知识结构和应用基底法、坐标法
数学思想：数形结合、转化与化归
活动1：学生代表发言，其他学生补充，教师再次借助思维导图做总结。
[设计意图]本环节充分实现了学生的主体地位，这样既发展了学生的概括总结能力和表达能力，又使学生进一步系统所复习的知识点和数学思想方法，把它们纳入原有的认知结构中，从而完善形成新的体系。
活动2：师生共同评出冠军小组和mvp。
[设计意图] 课堂不是教师的一言堂，而是学生探究的乐园，通过评选活动可以更好地激起学习数学的热情，锻炼学生的合作交流、分析表达的能力，充分挖掘学生的潜力。
（五）分层作业 课外探究
自测：完成过关检测题
探究：（1）向量法在解析几何中的应用；（2）向量法在三角中的应用
[设计意图]过关检测能更好的帮助学生巩固所学知识，反馈课堂教学效果，提升学生对知识方法。将课落实。探究问题是课堂研究方法的延伸，使学生将课堂所学内容再认识和升华。数学探究让学生体会到数学来源于生活，又应用于生活，体验探索的乐趣，激发学生学习数学的兴趣，为学有余力的学生提供思考的平台，体现了不同起点、不同终点的思想，使不同层次的学生都有收获。
七、教学设计说明
【板书设计】：
向量法
一、知识结构 题组2、 聚焦高考
二、在平面几何中的应用
题组1、 三、在立体几何中的应用
题组3、 总结反思
向量法
■ 一、教学背景————————————————————————————————
1.1教学内容解析
通过具体实例的分析，帮助学生掌握向量法解几何问题的一般方法,在过程中体会向量法的应用价值。本节课的教学重点是运用基向量法解决几何问题，而难点在于如何将几何问题转化为向量问题。因此从认知心理学的角度看，所教授的知识主要是程序性知识，当然这些知识需要与向量有关的陈述性知识为依托。本节课的上位知识是向量，特别是向量的线性运算，基本定理，数量积等相关内容。在本节课的教学过程中会涉及从一般到特殊的思想、数形结合思想、转化与化归思想以及类比推理等思维形式。
1.2教学目标设置
引导学生经历从具体的几何问题（如长度，角度，位置关系等）出发、不断分析，将条件与结论逐步用向量表示，并利用向量运算得到向量结论，进而解决几何问题的全过程，重构向量的知识体系，体验其中蕴涵的丰富的数学思想。
1.3学情分析
第一个维度：学生的知识储备和方法储备：学生必修四学习了平面向量，选修2-1学习了空间向量，经过第一轮复习，学生熟悉向量的基本知识，对向量法在平面几何和空间几何中的应用有一定的了解。但对向量的工具性认识较浅，面对几何问题，基本都选择建立坐标系，用向量坐标法解决。不明白向量法的理论基础及背后所蕴含的数学思想，无法变被动应用为主动运用。
第二个维度：教师优势在于态度友善，尊重和宽容课堂上的每一个人，有耐性，注重问题引导、思路分析，善于变式教学，精于将学科课程与信息技术的整合。而不足在于课堂教学语言相对不够准确简练，板书不够清晰美观。
1.4教学策略分析：
由于教学目标重点在于数学思想方法的体会，因此在教学素材的选择上，第一，例题的来源尽量选择课本例题，习题改编，例如问题1和问题2均来源于课本，不仅突出思想，简化运算，也提醒学生高三复习要回归课本。第二，例题选择注意丰富性。向量法解决的几类几何问题，例如长度，角度和位置关系问题都有涉及，帮助学生有全面的认识。第三，例题安排的层次性，根据教材的安排，本堂课选择从一般到特殊的思路安排，而且注意到从平面到空间的类比推理等，力求处处渗透数学思想方法。第四，注重变式训练，从题目条件的增减，结论的改变等多方面多角度变式，力求帮助学生掌握基本方法，领会数学思想，培养理性思维。
■ 二、设计思想————————————————————————————————
波利亚强调，不仅要教给学生知识，并且要教给他们“才智”、思维的方式、有条不紊的工作习惯。而现代建构主义关于学习的理论中，不断强调教师在讨论中要设法把问题一步步引向深入以加深学生对所学内容的理解；要启发诱导学生自己去发现规律、自己去纠正和补充错误的或片面的认识。而教师应该在这一过程当中提供一些学习的“支架”：教师演示，并且说出其思想；提示或给予线索：帮助学生在停滞时找到出路；提问：帮助学生诊断错误的原因，并且修正完善。帮助学生从现有能力提高一步。
具体到本节课当中，学生已经复习了向量的基本知识，但还未能深刻体会向量法的本质，无法主动运用向量法解决几何问题。对于向量法所蕴涵的数学思想体会不深，无法应用来指导解题实践。
向量兼具几何与代数的双重特点，向量法解题往往蕴含丰富的数学思想方法。通过向量法的教学，有利于学生重建向量的知识体系，深刻理解向量的核心知识点，有利于理解向量本质，并运用向量法解决几何问题，在解题中体会数学思想，提升数学能力。
因此本节课的设计中大胆突破平面和空间的界限，精选例题，强化类型，让不同层次的学生都能充分体会到向量法的基本思路。重在分析，重在引导，讲练结合，讲在关键处，让学生经历挫折，调整，成功的过程。
在课堂上，学生可亲身体验到向量在沟通几何与代数方面的作用，体会向量基本定理的重要作用，深挖向量坐标法的理论基础，体会基向量法与向量坐标法的区别与联系。在整节课当中，不断渗透各种数学思想，帮助学生从宏观上重视蕴涵其中的关系映射反演，数形结合，基底转化，函数方程等思想，确立向量法解题的策略，能自觉运用数学思想方法来指导解题实践，摆脱题海的羁绊。
■ 三、教学目标————————————————————————————————
（一）知识与技能
1. 掌握向量坐标法和基向量法；
2. 能合理的选用向量法求解几何问题。
（二）过程与方法
1.经历几何问题转化为向量问题，再从向量结论回归几何解释的过程，体会向量在代数和几何的问题解决中的桥梁作用。
2.在从平面到平面，从平行四边形到矩形，从空间到空间，从平行六面体到长方体，从平面到空间不断运用向量工具解决几何问题的过程中，学习从具体实例中提炼数学方法，体会不同方法间的区别与联系。
（三）情感、态度与价值观
1.在课堂教学过程当中，学生能从具体到抽象，从一般到特殊，能充分发挥在学习中的主体地位，主动观察、思考、模仿、互动、探究、归纳、反思，形成研究氛围。
2.在方法的归纳与应用过程中，养成扎实严谨的科学作风。
3.在向量法解题过程中体会向量法的简洁美、和谐美。
■ 四、教学重点与难点——————————————————————————————
1.重点：基向量法解几何问题
2.难点：几何问题的向量表示
■ 五、教学方式—————————————————————————————————
以问题为主线的启发式教学
■ 六、教学媒体—————————————————————————————————
多媒体课件
■ 七、教学过程设计——————————————————————————————
教学
环节
教学过程
问题驱动与互动
学情
预设
设计意图
问
题
引
入
开
场
白
数学是从认识和研究图形和数开始的，而向量既有图形形象直观的特点，又便于运算，是我们解决几何问题的好帮手，我们共同来回顾向量法在几何中的应用。
设问1：请问，什么叫向量？
大部分学生经过高三复习对向量的定义比较熟悉。但个别同学可能会忽视向量定义。
开宗明义，指出本堂课教学目标和学习目标，帮助学生做好心理准备。
一、
向
量
法
在
平
面
几
何
中
的
应
用
问题1: 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
已知：平行四边形ABCD
求证：
证明：不妨设，，则，
所以平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方。
知识链接（课件展示）：
向量的加法的平行四边形法则，
三角形法则，
减法的三角形法则，
平面向量基本定理。
设问2：请大家观察，这个问题陌生吗？能否用向量法解决这个问题？
设问3：已知条件是什么？目标是什么？如何用向量来表示条件与结论？
（分析与引导细节）
问题的目标是求什么？
长度如何用向量来表示？
如何将对角线相应的向量向边相应的向量转化？运用了向量的哪些知识点？
总结：
在问题1的解决过程当中，我们通过选取一组基底，运用向量加法和减法的法则，完成了向量的表示过程，由形到数，其次通过向量数量积运算，由数到形，得到向量结论，第三步将向量结论回归几何转化为几何结论。这一过程体现了向量法解几何问题的基本步骤：①向量表示；②向量运算③回归几何，其中蕴涵了数形结合以及转化与化归的数学思想。
①学生对文字型的证明问题有畏难情绪。所以首先要引导学生将文字转化为符号语言。
②要帮助学生将几何问题转化为向量问题。
③部分学生对向量的加减法，数乘运算还不够熟悉。
④引导学生认识平面向量基本定理与加减法法则之间的关系。
⑤部分基础不扎实的学生对向量数量积运算有所遗忘，尤其是借助其来求模。
①从课本例题出发，引导学生复习回归课本；
②引导学生将几何对象用向量表示，体会向量法解几何问题的一般方法。
③体现向量法求解距离问题的优势。
变式：在平行四边形ABCD中,E是AB的中点,BD⊥CE,
,试求∠A .
解：不妨设，，
设，则，即有，，易得，，所以∠A=90°
设问4：如果增加题目条件，请尝试用向量法解决这个问题？
（分析与引导细节）
问题的目标是求什么？
角度如何用向量来表示？需要运用向量的何种运算？
∠A是哪两个向量的夹角？
选择哪两个向量作为基底？
已知条件如何用向量转化？
与问题1有何区别？
①经过复习，学生已熟悉向量的数量积运算，容易得出解决问题方向。
②题目难点在垂直条件的应用和基向量的选择。
①复习向量的数量积；
②体会向量法求解角度问题的一般方法；
③体会基底的转化思想，体会从一般到特殊的思想方法
二、
知
识
重
构
从以上两个问题当中，我们可以发现向量------有3大法宝，1.向量的线性运算；2.向量的数量积；3向量的基本定理。
在平面几何中，向量在距离，角度和位置关系问题中大显身手，我们进一步来研究向量法在立体几何中是如何发挥作用的。
设问5：以上的两个问题的解决过程当中，向量的哪些知识点起了关键作用？
设问6：运用这些法宝可以解决哪些问题呢？
学生经过两个问题的复习，对向量法解题的基本工具有了一定了解。
通过具体问题的解答过程，激活学生头脑中先前掌握的知识，构建完整的知识体系。
三、
向
量
在
立
体
几
何
中
的
应
用
猜一猜：平行六面体的的对角线的平方和和各棱平方和有何关系？
已知：平行六面体
求证：
证明：不妨设，，
所以平行六面体的的对角线的平方和等于各棱平方和
知识链接：空间向量基本定理
设问7：类比问题1，猜猜看，平行六面体的的对角线的平方和与各棱平方和之间有何关系？
（分析与引导细节）
问题的条件是什么？有几条对角线？结论分别是什么？如何转化为向量结论？
向量法解题三部曲第一步是什么？关键是什么？我们如何选择基底？
以对角线相应的向量为例，如何用基底表示？
设问8：问题1到问题2的过程当中，哪个知识点起了关键作用？突出了哪种数学思想？
总结：空间向量基本定理与平面向量基本定理的最大不同在于平面中需要两个不共线的基向量，而空间中需要三个不共面的基向量。数学中定理虽多，但每一个基本定理并不是随意命名的，向量基本定理将无穷的向量转化为了2个或3个基向量，充分体现了无限到有限，化繁为简化归思想。
①根据问题1，学生易于猜想得出结论。但是，由于对平行六面体并不熟悉，尤其是对角线，因此，在此注意引导，找到对角线。
②对于空间向量的表示问题中，由于基向量的增加，图形复杂程度增加，部分同学在向量表示上存在困难，要考虑提示回路法。
通过这个问题从平面类比到空间，帮助学生体会平面向量和空间向量的共同的本质。注意到平面向量基本定理和空间向量基本定理的不同，在这一过程当中体会基底化繁为简、化无限为有限的转化思想。
变式：如果，且，
（1）求 （2）求直线和所成角的余弦值。
解：设，，
则
设所求角为，则其余弦值为
知识链接：
异面直线成交与相应向量夹角相等或互补
请同学们将变式完成在学案上。
（分析与引导细节）
直线用向量如何用表示？模如何求？夹角如何求？
总结：在以上问题的解答当中，基底思想显得如此重要，既然基底如此重要，那么，基向量应该如何选择？
其实，平面向量只需2个不共线即可，空间向量只需3个不共面即可，但是在具体解题过程当中，为了解决问题的方便，我们常选择模长已知，夹角已知，且共起点的向量作为基底。
①学生基本能用合理的基向量将表示出来。
②三个数的和的平方公式有部分学生会有问题，需及时提醒。
③对异面直线成角与向量成角之间的关系还有部分同学有所遗忘，需适时引导。
④部分学生提到向量法解立体几何就认为是坐标法，不考虑具体情况建立坐标系解决。
让学生全程动手，在操作的过程当中，体会空间向量基本定理和数量积的作用，体会基向量的选取方法。
问题3：（2012 福建理改编）如图，在长方体中，，，E为CD中点
在棱上是否存在一点P，使得∥平面？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；
知识链接：空间向量的正交分解
设问8：阅读问题3，考虑如何运用向量方法解决这个问题？还采用基向量方法吗？
设问9：请进一步思考基向量方法与向量坐标法之间什么关系？
总结：向量坐标法与基向量法思路是一致的，坐标法强调由形到数，再由数到形，强化了数的运算，显示了向量运算简洁明快的特点。而基向量法是由形到向量，由向量到形，在运算部分还需要运用线性运算法则，对几何的还有一定的依赖性。向量坐标法关键在于选取了3个两两垂直的单位向量作为基底，进而得到其坐标表示。二者其实统一于基本定理。
①面对正方体长方体模型，学生首先想到的应该是坐标法，但由于本节课之前所有问题均强化基向量法，因此，学生在此会犹豫。
②学生对向量坐标法较为熟悉，但是并未能从学科方法的角度来理解，尤其与基向量方法的关系，学生理解有困难。
①从方法上进行比较，进一步渗透数学思想方法。
②在比较的过程中，总结归纳，深化学生对基本定理尤其是正交分解的认识。
四、
归
纳
总
结
本节课我们复习了运用向量法解决角度长度位置关系等几何问题的基本步骤。
首先通过向量的线性运算，基本定理完成了几何问题的向量表示，可以通过代数的角度用坐标表示，也可以通过几何的角度用基底来表示。
其次，经过简单的向量运算得到向量结论。
最后，将向量结论回归几何。
这一过程当中，蕴涵有丰富的数学思想，有数形结合，基底转化，类比等等。
最后我们用李尚志老师的一首诗来结束本堂课：
平面空间向量同，不须插翅便腾空，
登天入地凭加减，角度棱长一点通。
希望同学们课后仔细体会其内涵。
设问10：我们本节课主要学习了向量法，其基本步骤是什么？
设问11：解决的基本问题是什么？
设问12：蕴涵的常见数学思想有哪些？
（分析与引导细节）
在向量表示的过程当中我们一般有几种方法？分别是？其中向量坐标法突出了向量的代数运算简洁明快的特点，而基向量方法则突出几何图形形象直观的特点。
通过本堂课的教学，学生对向量法应该有了一定的认识。
需要进一步归纳其中蕴涵的数学思想，增进认识的深度。
①帮助学生养成及时总结归纳的习惯，
②帮助学生从学科方法的角度理解向量法，理解其中蕴涵的数学思想。
五、
课
后
巩
固
必做作业：
点P是正方形ABCD所在平面外一点，点M，N分别在，上，且，
1.若平面ABCD，且，
（1）求异面直线MN与PC成角的余弦值；
（2）求平面AMN与平面PBC所成锐二面角。
2.点P是正方形ABCD所在平面外一点，点M在上，且，N为BD上的动点，若平面ABCD，且，
求MN的最小值，并求当MN最小时，MN与平面ABCD所成角的正弦值。
3.点P是正方形ABCD所在平面外一点，点M，N分别在，上，且，求证：∥平面
4.点P是正方形ABCD所在平面外一点，点M，N分别在，上，且，若
，，试求。
5.如图，等边三角形ABC中，D，E分别是AB,BC上的一个三等分点，且AE和CD交于点P，求证：BP⊥DC
选做：
1.请同学们根据学案上向量的知识结构框图，整理相关知识点；
2.有兴趣的同学请参阅《绕来绕去的向量法》 张景中 彭翕成/著.
请同学们课后完成以下作业，仔细比较1,2两题和3,4两题的解题方法，完成在学案上。
①学生对1,2两题比较熟悉，能熟练运用向量坐标法来解决，问题主要集中在向量夹角与异面直线成角，线面成角和二面角的关系。
②学生的主要问题在于第3,4题上，不注意审题，想当然有垂直条件，建系用坐标法解决。
③另外，在运用基本定理来解决线面平行关系证明上稍显薄弱。
④第5题，在必修2课本用直线方程来解决较麻烦。
但合理选择基底，用基本定理来解决就简洁许多。
①进一步巩固基本定理，熟悉回路法。
②复习向量基本知识点，制作向量知识框图，头脑风暴，构建完整知识体系。
■ 八、参考文献——————————————————————————————
1.张景中、彭翕成. 论向量法解几何问题的基本思路 《数学通报》 2008第2期 6-10
2.张景中、彭翕成. 论向量法解几何问题的基本思路续 《数学通报》 2008第3期 31-36
3.李尚志. 中学数学中的向量方法 《数学通报》 2007第2期 1-8
4.李尚志. 中学数学中的向量方法续 《数学通报》 2007第3期 1-8
《向量法》教学设计
孙 原
一、教材内容分析
《向量法》这节课安排在人教版新课标实验教材选修2-1的第三章《空间向量与立体几何》内容之后，在对本章知识进行归纳总结的基础上,使学生对空间向量的基本内容有一个系统的认识，着重突出了用空间向量解决立体几何问题的基本思想和方法，并通过典型例子，使学生感受向量法解决立体几何问题的优势，提高学生主动应用向量法的意识以及应用向量法解决立体几何典型问题的能力。
二、学情分析
学生在学习完必修4《平面向量》、必修2《空间几何体》和《点、直线、平面之间的位置关系》、选修2-1《空间向量与立体几何》之后，对向量的概念和立体几何知识有了初步的了解和把握，但是，由于所学内容时间间隔较长，学生学习水平参差不齐，又存在能力差异，因此，要进行本堂课的教学，首先要有意识地进行课前安排学生复习基础知识，提高能力，对需要学生突破的重点和难点，需要给学生足够的时间去思考，交流，让学生在互帮互助中形成共识,提升思维水平。
三、教学目标（知识，技能，情感态度、价值观）
知识与技能
1、通过对空间向量的基础内容的复习，能够熟练掌握空间向量的基本概念和基本运算。
2、能够初步建立空间向量基础知识的知识体系。
3、能够熟练应用利用向量方法解决立体几何问题的一般方法（三步曲）。
过程与方法
1、经历归纳梳理知识的全过程，初步形成空间向量基础知识体系
2、提高学生主动应用向量法的意识以及应用向量法解决典型问题的能力
情感态度与价值观
体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。
三、教学重点、难点
教学重点：
1、能够初步建立空间向量基础知识的知识体系。
能够熟练应用利用向量方法解决立体几何问题的一般方法（三步曲）
教学难点：建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题。
四、教学策略分析
教学方法的选择是以教学内容为载体，以学生参与为标志，以启迪学生思维、培养学生创新能力为核心，以育人为宗旨的。在教学我采用以问题为主线，以小组合作探究为主体，学生自我展示，老师适当点拨为辅助的教学模式。对于本节课的难点突破，我通过设置难度递进的问题，采用启发、诱导、合作探究的方式，引导学生分析、归纳得到结论。让学生主动参与，积极思考，认真探究，鼓励他们“敢想敢做”， 积极引导他们学会合作与交流，进而逐步将知识内化为自身的认知结构。倡导以“主动参与、乐于探究、交流合作”为主体特征的学习方式。努力实现把课堂还给学生，把课堂作为学生展示自己的舞台，使得学生积极参与到知识的构建中来，通过讨论交流、引导探究，自主解决问题，从而提高积极性，增强信心，最终形成能力。
五、教学过程
环节一、基础梳理：
(学生交流、梳理基础知识，教师答疑)
（一）向量的定义及表示法
1．在空间中具有 的量叫做空间向量．
2．向量的表示方法:用 表示向量；用 表示向量；用 表示向量.
（二）向量的运算
1、向量的加、减法运算
空间向量的加减法遵循 和 ．
（1）加法：平行四边形法则： (四边形OACB为平行四边形)；三角形法则：．
坐标表示：设＝(x1，x2，x3)，＝(y1，y2，y3)，则＝________________________
加法运算律 (1)交换律: = . (2)结合律: =________.
（2）减法：三角形法则坐标表示：设＝(x1，x2，x3)，＝(y1，y2，y3)，则＝_________
2、向量的数乘运算
（1）向量的数乘：λ是向量，其中：|λ|＝|λ|·||；
当λ＞0时，λ与______；当λ＜0时，λ与______；当λ＝0时，λ＝________.
（2）坐标表示：设＝(x1，x2，x3)， 则λ＝__________________________
（3）空间向量与实数的乘法满足如下的运算律：
λ()＝____________(对实数加法的分配律)
(λ1＋λ2) ＝__________(对实数加法的分配律)
λ(μ)＝______________(结合律)
3、向量的数量积运算
（1）向量的数量积：＝ .
坐标表示：设＝(x1，x2，x3)，＝(y1，y2，y3)，则＝ .
（2）在上的投影是指 ．
的几何意义是 .
（3）两个向量、的夹角公式cos θ＝ . , .
4．空间向量的数量积满足以下运算律：
＝ ； ＝____________；
＝_______________.
（三）空间向量基本定理
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}，使得
【设计意图】帮助学生复习空间向量基础知识，为总结知识体系做铺垫。
教师展示PPT，给出答案，并引导学生对重点、难点知识进行总结梳理，并就易错知识点着重提醒。
【设计意图】帮助学生进一步梳理知识体系，并加强对重、难点知识点的理解与记忆。
【师生互动】
师：请大家思考上述基本知识的知识体系是什么？
生：通过独立思考，得出：向量的定义及表示法；向量的运算 ；空间向量基本定理
师：可以总结如下：
一个定理，两种形式，三类运算
师：通过以上知识体系，可以解决有关向量的什么问题？
生回答：证明平行、证明垂直、求夹角、计算模
【设计意图】通过对基础知识的总结回顾，得到空间向量基础知识的知识体系，并通过有规律的书写，使得学生理解、记忆深刻。
环节二、巩固练习：
练习1、如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，各棱长均为1，从A1点
出发的三条棱两两夹角为60。，M为AC与BD的交点，若，，
，则 （用表示 ）.
.
练习2、在如图所示的棱长为1的正方体中，
= . = .
【设计意图】通过练习， 运用基础知识，并通过两个问题得到
向量方法和坐标方法两种解决立体几何问题的思路。
【师生互动】
师:如以上两个练习，我们可以用向量方法解决立体几何问题，请概述用向量方法解决立体几何问题的一般过程？
生:总结出向量方法解决立体几何问题“三步曲”。
【设计意图】通过对练习的总结，得到向量方法解决立体几何问题“三步曲”，并对向量方法解决立体几何问题的思想和方法进行总结，提升。特别强调教学难点：建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题在“三步曲”中的作用。
环节三、能力提升：
师：（引导）如何通过上述方法解决下面问题？
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，
点D是BC的中点,M在BB1上，BB1 =4BM。
（1）求证CM ⊥平面ADC1
（2）求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值。
生：独立思考，小组内交流，小组组长展示答案。
师：结合学生展示给出解答，并比较使学生感受向量法解决立体几何问题的优势。
【设计意图】学生通过独立思考及小组交流，可能会得到向量坐标法的解决思路，也可能会想到综合法或者向量几何法的思路。通过学生展示答案和教师指导，实现突破难点的目标。由于所选题目第二问为求一个无棱二面角，可以通过对比解题过程深刻体会坐标方法解决某些立体几何问题的优势。
环节四、归纳小结：
空间向量的概念----空间向量的运算------用空间向量表示点、直线、平面等元素-----建立空间图形与空间向量的联系------利用空间向量的运算解决立体几何中的问题
环节五、作业布置：
探究向量法解决空间角的方法，并举例说明。
六、教学反思：
对本节内容在进行教学设计之前，本人反复阅读了课程标准和教材，同时请教了很多老师，针对教材的内容，编排了一系列问题，通过让学生回顾知识发生、发展的过程，积极投入到课堂活动中来，通过与学生的互动交流，关注学生的思维发展，在逐渐展开问题的过程中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的完善与拓展，实现知识的螺旋式上升，收到了一定的预期效果，尤其是例题的处理，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和发展创造性思维的能力，充分发挥了学生的主体作用，也提高了学生的合作意识，达到了设计中所预想的目标。
然而还有一些缺憾：对本节内容，本人认为，我对教材的理解还有有待提高的地方，在复习方式、激发广大学生的积极性以及例题的选择上还有值得反思提高的地方，希望能通过进一步地学习，提高自己的认识，提升教学水平，以便今后更好地服务学生。
课件31张PPT。普通高中课程标准试验
教科书数学B版 人民教育出版社向量法 山东省实验中学 宋晖知识建构向量法问题1：总结向量的知识结构，你认为重点和
易错点是哪些？思维导图向量法知识建构向量法问题2：向量都有哪些应用呢？学习支持能力形成反思小结拓展探究方法探究向量法能力形成反思小结拓展探究学习支持方法探究向量法探究一：向量法在平面几何中的应用.能力形成反思小结拓展探究学习支持方法探究向量法题组1：能力形成反思小结拓展探究学习支持方法探究向量法题组1：能力形成反思小结拓展探究学习支持方法探究向量法
问题3：本题组解决了平面几何中的什么问题？
用到了哪些知识方法？
利用向量法判断平面几何中的图形关系问题。知识方法：向量的运算以及运算的几何意义。题组1：数形结合与转化的思想方法能力形成反思小结拓展探究学习支持方法探究向量法题组2：能力形成反思小结拓展探究学习支持方法探究向量法题组2：能力形成反思小结拓展探究学习支持方法探究向量法题组2：能力形成反思小结拓展探究学习支持方法探究向量法
问题4：本题组解决了平面几何中的什么问题？
用到了哪些知识方法？
利用向量法解决平面几何中的求值问题。知识方法：基底法和坐标法题组2：能力形成反思小结拓展探究学习支持方法探究向量法探究二：向量法在立体几何中的应用.题组3：能力形成反思小结拓展探究学习支持方法探究向量法题组3：能力形成反思小结拓展探究学习支持方法探究向量法题组3：能力形成反思小结拓展探究学习支持方法探究向量法题组3：能力形成反思小结拓展探究学习支持方法探究向量法题组3：能力形成反思小结拓展探究学习支持方法探究向量法题组3：能力形成反思小结拓展探究学习支持方法探究向量法题组3：能力形成反思小结拓展探究学习支持方法探究向量法
问题5：本题组解决了立体几何中的什么问题？
用到了哪些知识方法？
知识方法：基底法和坐标法题组3： 向量法可以证明平行和垂直关系，
求线线角、线面角、二面角的大小反思小结拓展探究能力形成方法探究学习支持向量法聚焦高考：课堂小结知识方法能力形成方法探究拓展探究反思小结学习支持向量法能力形成方法探究反思小结拓展探究2、探究：（1）向量法在解析几何中的应用；
（2）向量法在三角中的应用.学习支持1、自测：完成过关检测题.向量法学习支持能力形成反思小结拓展探究方法探究向量法感谢各位评委老师、同学们！
向量在平面几何中的应用返回圆与圆圆与圆向量在立体几何中的应用返回圆与圆向量在解析几何中的应用返回向量在三角中的应用返回圆与圆圆与圆向量在物理中的应用返回课件12张PPT。海南华侨中学高中数学思想方法复习课赵涛向 量 法证明:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和已知：平行四边形ABCD
求证：AC2+BD2=2(AB2+AD2)证明：不妨设 ，所以则有平行四边形两条对角线的平方和等于四边平方和问 题向量运算回归几何向量表示一、向量在平面几何问题中的应用在平行四边形ABCD中,E是AB的中点,BD⊥CE,
AD= AB，试求∠A设AD=1，AB= ,
解：不妨设
且BD⊥CE，则所以∠A=90°向量数量积一、向量在平面几何问题中的应用长度二、知识重构 平行六面体对角线的平方和与各条棱长的平方和有什么关系？求证：AC12+DB12+BD12+A1C2
=4(AB2+AD2+AA12)三、向量在立体几何问题中的应用已知：平行六面体ABCD-A1B1C1D1同理简单平方化简易得. 如果AB=AD=AA1 =1,且
∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°
（1）求BD1
（2）求直线BD1和AC所成
角的余弦值。向量法求异面直线成角三、向量在立体几何问题中的应用三、向量在立体几何问题中的应用无穷向量，基底“代言”,如能“正交”，坐标灵验角度问题
距离问题
位置关系几何问题向量运算向量结论几何结论代数（坐标法）向量表示几何（基向量）求解几何解释数形结合基底转化与化归……向量表示向量运算回归几何四、归纳总结1.点P是正方形ABCD所在
平面外一点,点M,N分别在
PA,BD上,且PM︰MA=
BN︰ND=2︰1,
若PD⊥平面ABCD,
且 DP=DA
(1)求异面直线MN与PC成角
的余弦值;
(2)求平面AMN与平面PBC所
成锐二面角。2. 若PM︰MA=2︰1，N为BD
上动点，DP=DA=3，试求
MN的最小值，并求此时
MN与平面ABCD 成角的
正弦值五、课后巩固3.点P是正方形ABCD所在
平面外一点,点M,N分别
在PA,BD上,且PM︰MA
=BN︰ND=2︰1,
求证：MN∥平面PBC;
4.若∠PAB= ∠ PAD=60°,
PA=AD=3,试求MN
5.如图，等边三角形ABC中，D，E
分别是AB,BC上的一个三等分点，
且AE和CD交于点P，求证：BP⊥DC
五、课后巩固 课件15张PPT。1．在空间中具有 的量叫做空间向量．大小和方向有向线段一、向量的定义及表示法2．向量的表示方法:
用 表示向量；
用 表示向量；
用 表示向量.字母，如： …坐标表示,如 ＝(x1，x2，x3)基础梳理二、向量的运算 (一)、向量的加、减法运算1、加法：平行四边形法则： (四边形OACB为平行四边形)；三角形法则：坐标表示：设 ＝(x1，x2，x3)， ＝(y1，y2，y3)，则
＝ .加法运算律 (1)交换律: = .
(2)结合律: = .(x1＋y1，x2＋y2，x3＋y3)oABoAC oAB(二)、向量的数乘运算1.向量的数乘：λ 是向量，其中：|λ |＝|λ |·| |；
当λ＞0时，λ 与 ；
当λ＜0时，λ 与 ；
当λ＝0时，λ ＝ .同向反向2.坐标表示：设 ＝(x1，x2，x3)
λ ＝__________________________(λx1，λx2，λx3)(λ∈R)3.空间向量与实数的乘法满足如下的运算律：
λ( )＝ .
(λ1＋λ2) ＝ .
λ(μ )＝ .(三)、向量的数量积运算2． 在 上的投影是指 ．向量的模长公式: 4．空间向量的数量积满足以下运算律：
(1)(λ )· ＝ ；(2) · ＝ ；
(3) ·( ＋ )＝ + . 三、空间向量基本定理如果三个向量 不共面，那么对空间任一向
量 ，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}，使
得 ．
巩固练习练习1、如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，各棱长均为1，从A1点出发的三条棱两两夹角为60。， M为AC与BD的交点，若 ＝ ， ＝ ， ＝ ，则 = （用 表示 ）.
.
练习2、在如图所示的棱长为1的正方体中，
= .
= .－1思考：请概述用向量方法解决立体几何问题的一般过程？例、如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥AC，
AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点,M在BB1上，BB1=4BM。
（1）求证CM ⊥平面ADC1
（2）求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值。
能力提升本章小结空间向量
的概念课后作业1、课本119 B组 1、2、3
2、探究向量法解决空间角的方法，并举例说明。谢 谢 大 家 ！课题：高中数学思想方法课——向量法
一.向量法在平面几何中的应用
问题1：（必修四P109例1）证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
解：
变式：在平行四边形ABCD中,E是AB的中点,BD⊥CE, ,试求∠A .
二.知识重构：
三． 向量法在立体几何中的应用
猜一猜：类比问题1，平行六面体的的对角线的平方和和各棱长平方和有何关系？
已知：
求证：
证明：
变式：（选修2-1P119 B组T1改编）
在上述平行六面体中，如果，且∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=，
（1）求
（2）求直线和所成角的余弦值.
问题3：（2012 福建理）如图，在长方体中，，，E为CD中点
在棱上是否存在一点P，使得∥平面？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；
四.归纳总结
向量法解决几何问题的一般步骤：
常见的数学思想方法：
五.课后巩固
必做：
问题情境：点P是正方形ABCD所在平面外一点,点M,N分别在PA,BD上,
1.若PM︰MA=BN︰ND=2︰1,若PD⊥平面ABCD,且 DP=DA
(Ⅰ)求异面直线MN与PC成角的余弦值;
(Ⅱ)求平面AMN与平面PBC所成锐二面角.
2.若PM︰MA=2︰1，N为BD上动点， DP=DA=3，
（Ⅰ）试求MN的最小值，并求此时MN与平面ABCD成角的正弦值
3.若PM︰MA=BN︰ND=2︰1,
（Ⅰ）求证：MN∥平面PBC;
4.若PM︰MA=BN︰ND=2︰1，∠PAB=∠ PAD=60°,PA=AD=3,
（Ⅰ）试求MN
5.如图，等边三角形ABC中，D，E分别是AB,BC上的一个三等分点，且AE和CD交于点P，求证：BP⊥DC
选做：
1.请同学们根据学案上向量的知识结构框图，整理相关知识点；
2.有兴趣的同学请参阅《绕来绕去的向量法》 张景中 彭翕成/著.
