《基本不等式》教学设计
授课教师：宁夏北方民族大学附属中学 袁 红
教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修5
课题：3.4 基本不等式（第一课时）
课时：1课时
一.教学内容分析
《基本不等式》是高中教材人教A版必修五第三章第三节的内容，是《不等式》这一章中继一元二次不等式、简单线性规划之后，从几何背景（赵爽的弦图）中抽离出的基本结论，是证明其他不等式成立的重要依据，也是求解最值问题的有力工具之一.就本章的编写而言，教材讲究从直观性上学习，注重每个数学模型引领数学思想的教材编排暗线，并且都体现出遵循从几何背景入手，强调数形结合思想.本节内容在此基本上渗透不等式的证明方法（比较法、综合法、分析法），并且会在后续学习选修2-3中推理与证明和选修4-5中不等式选讲时再次得到加强.
基本不等式的学时安排是3课时，它涉及基本不等式的推导教学和求解最值问题两大部分.本节课是基本不等式教学的第一课时，其主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较、抽象概括，提炼出不等式.在此基础上，通过演绎替换、证明探究、数形结合及实际应用等四种不同的角度引导学生认识基本不等式.其中基本不等式的证明是从代数、几何多方面展开，既有逻辑推理，又有直观的几何解释，使学生充分运用数形结合的思想方法，进一步培养其抽象概括能力和推理论证能力.这就使得不等式的证明成为本节课的核心内容.
因此，我认为本节课的教学重点为：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程.
二．教学目标设置
《课程标准》对本节课的要求有以下两条：①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最值问题.根据《课标》要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我将本节课的教学目标确定为：
（1）通过观察图形，抽象出基本不等式，培养学生的抽象概括能力和逻辑推理能力；
（2）让学生经历基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何背景，体会数形结合的数学思想.
（3）通过运用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，加深学生对基本不等式的理解，认识数学的对称性与完整性.
三．学生学情分析
学生在此之前已经具备了平面几何的基本知识，掌握了不等式的基本性质和比较法证明不等式.同时，高二学生具备了良好的图形分析能力、抽象概况能力以及一定层次上的交流沟通能力.这些都为学习本节内容奠定了基础.
在学习本节课前尽管学生已经学习了函数的最值问题以及不等式的性质和解法，但对于用不等式模型来解决问题及基本不等式的各种几何背景学生还是有一些困难，一时很难接受；从重要不等式到基本不等式的简洁结构使得变量范围是从全体实数变化为正实数，很不好理解；对于变量存在和或者积为定值也需仔细观察，在整体的变化过程中取最值是整体与局部的数学思想容易忽视.另外，教材中提出探究基本不等式的几何解释需要学生具备良好的逻辑推理能力，而且图形中线段间的关系也比较隐蔽，不易被发现.因此，我以为本节课的教学难点为：从不同角度探索基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值.
四．教学策略分析
本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的引导下，以学生的自主探究与合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“基本不等式的发现与证明”为基本研究内容，为学生提供自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步提高学生发现问题、探索问题、解决问题的能力.
五、教学过程设计
1.创设情境
【课前预习】赵爽利用弦图证明勾股定理的过程.
（请学生在学案上课前完成：
.）
【引言】右图是在北京召开的第24届国际
数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像个风车，代表了中国人民的友好好客.
【思考1】赵爽利用弦图最先完成了勾股定理的证明，你还记得这个证明过程吗？
（请学生表述推导过程，教师课件展示.）
【过渡】在弦图中，由面积间的相等关系，得到了勾股定理这一经典等式.然而，相对关系与不等关系是相对存在的.在弦图中存在着怎样的不等关系呢？
【思考2】观察变化的弦图，你能在图中找出面积间的不等关系吗？
（教师利用几何画板改变弦图中两直角边的长度，展示运动变化的弦图，请学生观察并归纳：
生1：，得；
生2：，得.）
【设计意图】介绍国际数学家大会以及赵爽的相关背景，体现数学的文化价值，渗透爱国主义教育.课前完成利用弦图证明勾股定理的过程，一方面展现了赵爽证明的构图巧妙、精致，是数与形的完美统一，让学生对弦图的认识清晰、完整；另一方面为提出弦图中面积间的不等关系做铺垫，体会相对关系与不等关系的辩证统一.同时，通过运动变化将直观的面积关系转化为隐含的数值关系.
【归纳】对于两直角边，有.
【思考3】上式中何时等号成立？
(请学生说明：当时, ；当，.教师归纳:当且仅当时，等号成立.)
【探究1】上式对正实数是成立的，那么对任意实数，上式都成立吗？请证明自己的结论.
（请学生自主探究完成证明，学生比较自然的想到用“比较法”证明.教师利用投影仪展示学生的完整证明过程.强调和两种情况，说明“当且仅当”的含义.）
【归纳】由图形中面积间的不等关系，我们发现了两实数间的这一事实：对任意实数，有，当且仅当时，等号成立.
【设计意图】思考2请学生讨论等号成立的条件，了解“当且仅当”的含义，由于此时学生还没有学习简易逻辑的相关知识，无需从“充分必要条件”的角度加以说明.探究1给学生提供思维发展的空间，让学生从对知识的直观感知上升到理性证明，既体现了数学知识发生发展的过程及其严谨性，又巩固了证明不等式的基本方法，为后续证明基本不等式做铺垫.在此过程中给学生提供了一种研究思路：由图形中的不等关系可以获得相应实数间的一些不等式，渗透数形结合思想.
2.基本不等式
【过渡】实际上，在不同的图形中上述不等式有不同的体现，我们再看这样一个情境.
【探究2】如图，取正方形对角线上任意一点，分别作正方形两邻边的垂线，切分出两个正方形和两个矩形，设切分出的两正方形边长分别为，问：切分出的两正方形面积和与两矩形面积和的大小关系？
（请学生自主探究完成，并说明：
生1：，，由不等式
，当且仅当时，等号 成立.
生2：由正方形的对称性，将切分出的两矩形及较小的正方形分别向较大的正方形翻折，并没有将较大的正方形完全覆盖，故：）
【引申】若设切分出的两正方形的面积分别为, 根据上述不等关系，又可以得到怎样的不等式呢？
(请学生说明：若两正方形的面积分别为，则其边长分别为，得：
当且仅当时，等号成立.)
【归纳】由图形中面积间的不等关系，我们又可以得到不等式
，当且仅当时，等号成立.
【设计意图】从学生比较熟悉的图形背景中再一次认识不等式，既可以根据已知的不等式探究图形中面积间的不等关系，又可以运用“割补法”在图形中体现不等式.进而提出引申问题，自然地由不等式过渡到，为基本不等式的产生构造几何背景，并在图形中揭示不等式与不等式的内在联系.
【思考4】回顾不等式（①）的生成过程中，你发现它与不等式（②）有怎样的联系呢？
（请学生说明：
生1：
生2：因为，在②式中用代替，代替即得①式.
生3：在②式中用代替，代替即得①式.）
【设计意图】激发学生的思维，使其从多角度发现不等式与不等式的内在联系，认识到它们是对同一个事实的两种不同描述，其本质是一致的.同时也能促进学生形成对学习进行反思的意识与习惯.
【说明】通常我们把上式写作，称为基本不等式，本节课我们就来研究基本不等式.（引入课题并板书）
【思考5】你能否证明基本不等式？
（请学生思考完成.
生1：（比较法）
当且仅当时，等号成立；
生2：（综合法）
当且仅当时，等号成立;
生3：（分析法）
请学生展示不同的证明方法，并叙述证明方程.生3的做法是普遍错误，教师可引导学生纠错，进而加入关键词“要证…,只要证…”即可,对分析法不做过多说明.）
【设计意图】对于不等式的证明，学生已具备了“分析法”的基本思想，教材上以填空的形式证明了基本不等式，但“分析法”证明的格式以及为什么要这样证明，是学生思维的盲点，一是学生不会发现其中隐含的道理，二是学生照此模仿往往会出错.因此此处的证明由学生独立完成，相互交流，并展示不同的证明方法，这样既能使不同认知基本的学生暴露出不同的问题，并加以解决，又能教会学生欣赏同伴身上的闪光点，发扬合作精神.
【过渡】实际上，在许多图形中都蕴含着基本不等式.
【探究3】如图，取线段，其中，以为直径做圆O，过点C做垂直于AB的弦DE，连接AD、BD.
①.图中你能找到长度为与的线段吗？它们分别有什么几何意义呢？
②.移动点C在线段AB上的位置（几何画板），你有什么结论呢？
(请学生合作探究完成，并展示说明：
生1：直角三角形中，斜边大于直角边；
生2：在直角三角形中，斜边上的中线不小于斜边的高.
生3：在圆中，半径不小于半弦.)
【设计意图】通过对图形的探究多角度说明基本不等式的几何意义，由于学生对问题的分解能力不足，不知如何入手探究，并且表示的线段及其几何意义学生不易发现.为了帮助学生，我将探究分解为两个小问题，从运动变化的角度帮助学生观察、归纳.一方面，帮助学生建立数学结合的基本思想；另一方面，培养学生从运动变化的角度思考问题、解决问题的能力，多角度认识基本不等式的几何解释.
【过渡】基本不等式的代数意义是什么呢？
【说明】我们通常把叫做两个正数的算术平均数，叫做两个正数的几何平均数.基本不等式也可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
3.应用举例
【过渡】怎样运用基本不等式解决生活中的不等问题呢？
【例】 学校用篱笆围一个面积为36平方米的矩形花圃，问：如何设计花圃的长和宽，所用篱笆最短，最短篱笆是多少？
（请学生尝试完成，并表述解题过程，教师板书.强调能取得最小值的原因及等号成立的条件.教师适度归纳：根据基本不等式发现，两个正数积为定值时，和存在最小值.）
【思考6】由数学的对称性，你认为利用基本不等式，我们还可以解决怎样的问题？
（请学生从数学对称性的角度反思，上例中能取得最小值的原因，观察基本不等式的结构，尝试归纳出：当正数x、y的和为定值，当且仅当x=y时，积有最大值.）
【引申】现在学校仓库有一段长为36米的篱笆，要围成一个矩形花圃，问：如何设计花圃的长和宽，花圃的面积最大，最大面积是多少？
【设计意图】本题是基本不等式在实际问题中的简单应用，一方面，让学生知道可以利用基本不等式求解最大（小）值的问题；另一方面，强化学生对基本不等式的理解，特别是等号成立的条件，同时培养学生形成严谨的思维习惯，具备反思的意识，也为后续提出“一正，二定，三相等”做铺垫.
5.课堂小结
【思考7】（1）本节课我们学习的主要内容是什么?
（2）在应用基本不等式时，需要注意哪几点？
（3）在本节课的学习中，运用了哪些数学思想方法？
（请学生发言，并相互补充，教师点评即可.教师可适当总结本节课所应用的数学思想与方法.）
【设计意图】通过对所学内容进行小结，从数与形两个方面提炼研究基本不等式的过程，使学生对本节内容有一个更全面的认识.
6.作业布置：
（1）课本100页习题A组第1,2题；
（2）课后作业：请同学们课后在网上查找基本不等式的其它几何解释，整理并相互交流.
【设计意图】安排一组教材上的习题，使学生继续加深对基本不等式的理解和应用.课后作业为拓展学生思维，进一步体会数形结合思想.
课件27张PPT。人教A版高中数学必修5宁夏北方民族大学附属中学 袁红3.4 基本不等式说课内容教学内容解析教学目标设置学生学情分析教学策略分析教学过程设计说课内容教学内容解析教学目标设置学生学情分析教学策略分析教学过程设计基本不等式的证明说课内容教学内容解析学生学情分析教学策略分析教学过程设计探索并了解基本不等式的证明过程；1课标要求说课内容教学内容解析教学策略分析教学过程设计从重要不等式到基本不等式的简洁结构使得变量范围是从全体实数变化为正实数，很不好理解；认知上的差异说课内容教学内容解析教学目标设置教学过程设计
探究式课堂教学模式说课内容教学内容解析教学目标解析学生学情分析教学策略分析展现赵爽证明的构图巧妙、精致，是数与形的完美统一；体会相等关系与不等关系的辩证统一.【思考1】你还记得赵爽利用弦图证明勾股定理的过程吗？【思考2】你能在弦图中找出面积间的不等关系吗？从对知识的直观感知上升到理性证明，体现知识发生发展的过程及其严谨性，巩固证明不等式的方法.【归纳】对于两直角边a、b,
有【思考3】上式中何时等号成立？【探究1】是否对任意的实数
a、b,都有
当且仅当a=b时，等号成立？【探究2】如图，设切分出的两正方形的边长分别为a、b，问：切分出的两正方形面积和与两矩形面积和的大小关系？---在图形中再一次认识不等式
并设置问题情境，自然过渡到基本不等式.【思考4】不等式
与不等式 之间有怎样的联系呢？--激发学生思维，使其认识到这两个不等式的本质是相同的；促进学生形成对学习进行反思的意识与习惯.【归纳】基本不等式
【思考5】你能否证明基本不等式？
生1：比较法；
生2：综合法；
生3：分析法.学生独立完成，相互交流并展示不同的证明方法；学会欣赏同伴身上的闪光点，发扬合作精神.【探究3】如图，取线段AB=a+b,其中AC=a,BC=b,以AB为直径做圆O，过点C做垂直于AB的弦DE，连接AD、BD.
（1）图中你能找到长度为
与 的线段吗？它们分别有什么几何意义呢？
（2）移动点C在线段AB上的位置，你有什么结论呢？建立数学结合思想；从运动变化的角度思考、解决问题.利用基本不等式如何求解最值问题；强化等号成立的意义，培养严谨的思维，养成反思的习惯. 【思考6】由数学的对称性，你认为利用基本不等式，我们还可以解决怎么的问题？【思考7】
（1）本节课的主要学习内容是什么？
（2）在应用基本不等式时，需要注意哪几点？
（3）在本节课学习中，运用了哪些数学思想方法？整理本节课所学知识与方法，从数与形两个方面提炼研究基本不等式的过程.课内作业继续加深对基本不等式的理解；课外作业为拓展学生思维，进一步体会数行结合思想.【课内作业】课本100页，习题A组第1题，第2题.
【课外作业】查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流.敬请指导谢谢！课件24张PPT。宁波市正始中学 陈碧文《易·系辞上》
河出图 洛出书
圣人则之数阵 将数字按一定顺序排列成一个图形，就是数阵第 1行 1
第 2行 1 1
第 3行 1 2 1
第 4行 1 3 3 1
第 5行 1 4 6 4 1
第 6行 1 5 10 10 5 1
第 7行 1 6 15 20 15 6 1
第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1
第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
第10行 1 9 36 84 126126 84 36 9 1左衺乃积数,右衺乃隅算,中藏者皆廉
——《开方作法本源图 》贾宪 杨辉三角中的每一个数都是二项式系数，都可都可以写成组合数杨辉三角中每一个数均为肩上两数之和杨辉恒等式第 1行 1
第 2行 1 1
第 3行 1 2 1
第 4行 1 3 3 1
第 5行 1 4 6 4 1
第 6行 1 5 10 10 5 1
第 7行 1 6 15 20 15 6 1
第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1
第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
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……1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
9 36 84 126126 84 36 9 1
…….1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …
1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
1 3 6 10 15 21 28 36 …
1 4 10 20 35 56 84 …
1 5 15 35 70 126 …
1 6 21 56 126 …
1 7 28 84 …
1 8 36 …
1 9 …
…
…奇偶:第1,2,4,8,16…这些行即2k（k是自然数）行的各个数字均为奇数，
第2k+1行除两端的1之外都是偶数。奇异、美丽的图案-----超出想象！是工艺美术大师的创作吗？这是数学
的杰作！1、1、2、3、5、8、13、21、34 、55 、89 …悄悄的我走了，
正如我悄悄的来；
我翻一翻课本，
让我收获点什么 。宁波市正始中学 陈碧文课堂实录
1.3.2“杨辉三角”中的一些秘密
浙江省宁波市正始中学
陈碧文
人教版选修2-3第一章第三节
课题：1.3.2“杨辉三角”中的一些秘密
授课教师姓名及学校：陈碧文 正始中学
一：引经据典，步入新课
师：(展示图片) 今天这节课，我们从一幅图画开始，大家认识这两个图案吗？这是我们华夏传说中的河图、洛书。“河出图，洛出书，圣人则之”，伏羲根据河图演绎了八卦，大禹依据洛书划分了九州。由此可以说河图、洛书是我们华夏文化的起源。可你们知道吗，河图、洛书其实也是世界上最古老的数阵。
什么是数阵呢？将数字按照一定顺序组合成图形就是数阵。
今天这节课，我们就一起来研究一下数阵。当然，对于一个新的内容，我们需要一个研究的载体。所以，我们从一个特殊的三角数阵开始。
大家认识这个数阵吗？(生:杨辉三角)在古代，我们称它为“开方作法本源图”。而在现代，它还有另外一个名字——杨辉三角。
杨辉三角在整个数学史中扮演着重要的角色：北宋的贾宪用它手算高次方根；元朝的朱世杰用它研究高阶等差级数（垛积术）；牛顿用它算微积分；华罗庚老先生思路更广，差分方程，无穷级数都谈到了。
那么，我们又能从杨辉三角中探寻到哪些秘密呢？让我们一起来研究一下。
二：复习回顾，总结已知
师：杨辉三角在我们学习二项式系数的性质时已经有所接触。那么,我们已经学习过杨辉三角的哪些性质呢？我请一位同学来回答一下。
学生1：杨辉三角中每一个数都是二项式系数。
贾宪在他的《开方作法本源图》中写道：“左衺乃积数,右衺乃隅算,中藏者皆廉”。用今天的话来讲，就是说杨辉三角中的每一个数都是二项式系数，而二项式系数都可以写成组合数。从而我们就可以把杨辉三角写成以下的形式，其中第n行第r个数可以写成：这对我们今天的研究非常重要。
师：还有吗？
学生1：杨辉三角中每一个数都是两肩上数之和。
师：非常好！杨辉三角中每一个数都是两肩上数之和，用组合数表示就是：，这个结论最早是由南宋时期的杨辉所发现的，所以称之为杨辉恒等式。
还有吗？
学生1：没了。
师：那我请你的同桌来补充一下。
学生2：杨辉三角每一行数字之和是2的n次。
师：很好，杨辉三角每一行之和为2的n次用组合数来表示就是：
学生2：并且杨辉三角是左右对称的：
师：以上几个性质，是我们已经知道的。接下来我们就要研究一下杨辉三角的其他性质了。
三：小组合作，共探新知
师：当然，在研究之前，我们首先需要来一起探讨一下，我们该如何去研究杨辉三角呢？
苏轼有一首诗对我很受启发。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。”这是苏轼的《题西林壁》。这首诗告诉我们需要从不同的角度看待一项事物。我们研究杨辉三角时，是不是也可以从这些“横看”、“侧看”、“远看（整体）”、“近看（局部）”这几个角度出发呢？下面，就让我们4人为一组，从这四个角度出发，用数字格式的杨辉三角观察规律，用组合数格式的杨辉三角总结规律，并加以证明。
（接下来为6分钟左右的学生探讨）
四：小组展示，分享所得
第一组:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
生3:我们组发现：3+1+6+4+1=15,4+6+5+10+10=35，将梯形中5个数相加就是下面隔行的数。
师：你们是如何发现的呢？
生3:根据我们所学杨辉三角的每一个数都是上面两个数之和，那么是不是可以进一步向上推导，比如15=10+5=（6+4）+（4+1）=6+4+1+（3+1），就得到了这个结论。
师：从原有的性质中挖掘出新的内容，非常好！当然，如果我们能用组合数来表示这个结论更好。以刚才的结论为例
写成一般情形
第二组:
生4：我们组发现： 1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10
1+2+3+4+5=15
每一斜行前n个数加起来都是下面一行的第n个数。
师：你们是如何发现这个结论的？
生4：我们是从求和的角度来研究的，既然横的一行相加存在规律，那么斜的一行加加看是不是也可以得到一些结论？
师：你能用组合数来表示么？简单点，第二斜行相加用组合数来表示一下。
生4：
师：那么推导到一般情形呢？
生4:
师：非常好！
第三组:
生5:我们发现单纯用数字的角度去看的话，每一行都是11的次数。
第一行11的0次，第二行11的1次，第三行121是11的2次，我们验算了一下，11的3次正好是第四行1331，因此我们猜测将杨辉三角第n行数字依次写下来是11的n-1次。
师：11的1次为11，11的2次121， 11的3次1331好像确实是这样。
那么我们一起来帮他们验算一下11的4次？
生：14641
师：那么11的5次是多少呢？我们来一起算一下。
生：11的5次为161051。
师：太可惜了，这是一个多么美好的结论啊，问题出在哪儿呢？我们一起来看一下，同学们，我们11的4次是如何计算的啊？总不会是11×11×11×11得到的吧？
很显然不是，我们是通过1331×11计算得到的。从这里我们会发现，14641其实是两个1331错位相加得到的。那么11的5次是不是也是由两个14641错位相加得到？而在这个过程中，出现了一个问题，大家发现了没有？
生：进位了！
师：非常好，这里产生了进位，于是就出现了问题。所以我们是不是只需要把这个结论改一改，将杨辉三角中每一行数字错一位叠加所得到的结果是11的若干次。
第四组：
生6:既然杨辉三角每一行的和存在规律，那么每一行的平方和是不是也有规律呢？通过计算，第二行的平方和为2，第三行的平方和为6，第四行的平方和为20，这些数都能在杨辉三角中找到。我们就得到结论：杨辉三角中每一行数的平方和都是杨辉三角中的数。
师：能用组合数来表示吗？
生6：
师：又是一个非常好的结论！通过前面几行验证，我们发现确实是这样。那么，这个结论是否正确呢？我们该如何去证明呢？由于时间的关系，我们这里不再做展开。希望大家在课后做进一步的研究与探讨。
第五组：
生7：我们组是从斜的角度去看：杨辉三角中斜的每一行都是一个数列，第一行是一个常数数列，第二行是等差数列，第三行也是一个数列，我能写出他的通项公式。
师：这个结论看上去简单，却是一个非常好的结论！通过观察，我们发现每一斜行都是一个特殊的数列。
第六组：
生8：将杨辉三角30°角斜行加起来得到数列1、1、2、3、5、8、13、21、34 、55 、89 、144 …每一项都是前两项之和。
师：是如何发现的？
生8：通过书上的提示得到的。
师：查找资料也是一种非常好的研究方式。
五：教师补充，再得新知
那么我这边还有一些有趣的结论。
其实我们在研究过程中，不要被自己的惯有思维所约束。我们为什么一定要把杨辉三角放成等边三角的形式呢？有些人就不这么认为，他把杨辉三角摆放成直角三角，也得到了一些有趣的结论。再比如，我们在看数的时候，为什么一定要从数值的角度去研究呢？是不是也可以从正负的角度或者奇偶的角度去研究呢？当我将杨辉三角中的奇数涂黑。大家看，是不是会得到一个有趣的图形？其中第2的k次行均为奇数，奇数行的下面一行除两端之外均为偶数。
并且，我将杨辉三角中的奇数用线段连接起来，就可以得到一个有趣的三角形——歇尔宾斯基三角。这是一个自相似图形，对歇尔宾斯基三角进行拓展：谢尔宾斯基塔（三棱锥）——谢尔宾斯基地毯（正方形）——谢尔宾斯基海绵（正方体）。我们就诞生了一门新的数学分支——分形数学。
分形数学与我们的生活息息相关，比如说股票的预测、气象预报等。并且有许多优美的图案，这些图案并不是出自艺术家的手笔，而是数学的杰作！
这就是数学之美，数学中充满了美！再比如刚才我们得到的斐波那契数列，它也有许多优美的内容。关于斐波那契数列，我们会在下一堂课中专门来介绍它。
六、探究小结,盘点新知
师：接下来，我们来总结一下。通过这节课，你收获了些什么？
学生9：通过这节课的研究，我们发现了杨辉三角的很多秘密。比如，杨辉三角每一斜行都是一个特殊的数列（高阶等差数列），并且这些数列的和又是下一行中的数。杨辉三角每一横行的平方和也是杨辉三角中的数。通过30°的斜行求和，还可以得到斐波那契数列。
师：总结的很好！当然，我们这节课不仅仅是研究杨辉三角，我们更需要通过对杨辉三角的研究，学会对数阵的研究方式。那么通过这节课，你们对数阵的研究又有哪些心得呢？
学生10：从杨辉三角的研究中，我发现数阵可以从横的、斜的、竖的这几个角度去看，也可以局部看、整体看。
师：很好！这是我们这节课关于数阵研究的心得，那么还有没有同学有不同的想法呢？
学生11：我发现，数阵其实跟数列很相似。只不过一个是一维的，另一个是二维的。而杨辉三角的这些性质中，近看的第一个就是通项的概念，近看的第二个与第三个是递推的概念，而横看中的1和3以及侧看中的1都是从求和角度入手的。所以我就想，我们在研究数阵的时候，是不是可以借鉴数列的研究方法，从通项、递推、求和这几方面入手。
师：这是一个意外之喜！我们发现可以从横看、侧看、竖看这几个角度去研究数阵。既然数阵与数列的概念如此相似，我们是不是也可以借鉴数列的研究方法，从数阵中的通项、递推、求和，以及数阵中所蕴含的特殊数列这几个角度来研究数阵。
作业：
最后，我有两个任务。通过今天的研究，我们已经把杨辉三角的秘密都找到了吗？（生：没有）当然没有，我在课堂的开始就讲过，贾宪用它手算高次方根，那么它是如何计算的呢？牛顿的微积分与它有一定的关联，关联在哪呢？我希望大家课后查找资料，并阅读华罗庚先生的《从杨辉三角说起》，去寻找这些答案，看看杨辉三角中还有哪些我们没发现的秘密。
同时，运用我们今天所学的探究方法，研究莱布尼茨三角，你能从个数阵中发现哪些秘密呢？
那么最后，我们今天发言的所有同学，每人有一份小礼物，就是华罗庚先生的《从杨辉三角谈起》，下课。
“杨辉三角”中的一些秘密
班级____姓名_____
阅读材料：杨辉三角的历史
《易·系辞上》：“河出图，洛出书，圣人则之。”相传，伏羲在黄河边思考天地的至理，突然，一匹龙马从黄河中奔腾而出，伏羲发现，龙马的身上又一幅图画，伏羲从图中领悟了八卦，这幅图就是传说中的河图。大禹在治理洪水时，有一只大乌龟从洛水中浮出，背上刻有纹理，大禹依据这些纹理划分了九州，这些纹理就是洛书。河图，洛书是我们华夏文化的起源，同时，他们也是世界上最古老的数阵。数阵的概念与数列很相似，我们将数字按一定的顺序排列成图形就构成了数阵。
杨辉三角就是一个特殊的数阵，其最早出现在北宋贾宪的“开方作法本源图”中，南宋时期的杨辉在他的著作《详解九章算术中》引用了这幅图，并注明了“出释锁算书，贾宪用此术”。元朝的朱世杰对杨辉三角作了进一步研究，从中推导出了高阶差分数列的求和。
在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了这个三角,所以“杨辉三角”在国外又被称为“帕斯卡三角”。世界著名数学家华罗庚在他的《从杨辉三角谈起中》将其称为“杨辉三角” ，于是才有了“杨辉三角”的说法。近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinese triangle）
杨辉三角在整个数学史中扮演着重要的角色，宋朝的贾宪用它手算高次方根，元朝的朱世杰用它研究高阶差分数列（垛积术），牛顿用它算微积分。,华罗庚老先生思路更广，差分方程，无穷级数都谈到了。同学们，我们又能发现杨辉三角的哪些秘密呢？
一:回顾杨辉三角
第 1行 1
第 2行 1 1
第 3行 1 2 1
第 4行 1 3 3 1
第 5行 1 4 6 4 1
第 6行 1 5 10 10 5 1
第 7行 1 6 15 20 15 6 1
第8行_________________________________________
……………………………..
我们已经学习过杨辉三角的哪些性质？
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______________________________________________________________
三:初探杨辉三角
研究角度一：
第 1行 1
第 2行 1 1
第 3行 1 2 1
第 4行 1 3 3 1
第 5行 1 4 6 4 1
第 6行 1 5 10 10 5 1
第 7行 1 6 15 20 15 6 1
第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1
第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
第10行 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
第11行 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
第12行 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
第13行 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
第14行______________________________________________________________________
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第n+1行_______________________________________________________________________
归纳：用组合数表示杨辉三角：
猜想：
结论1：_______________________________________________________________________
结论2：_______________________________________________________________________
结论3：_______________________________________________________________________
结论4：_______________________________________________________________________
结论5：_______________________________________________________________________
证明：
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四:再探杨辉三角
研究角度二
第 1行 1
第 2行 1 1
第 3行 1 2 1
第 4行 1 3 3 1
第 5行 1 4 6 4 1
第 6行 1 5 10 10 5 1
第 7行 1 6 15 20 15 6 1
第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1
第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
第10行 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
第11行 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
第12行 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
第13行 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
提示：将杨辉三角摆放成直角三角形，谈谈你们组的发现
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研究角度三
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 3 6 10 15 21 28 36
1 4 10 20 35 56 84
1 5 15 35 70 126
1 6 21 56 126
1 7 28 84
1 8 36
1 9
1
提示：将杨辉三角摆放成以上形状，谈谈你们组的发现
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五:三探杨辉三角
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
提示：将杨辉三角中的奇数涂黑，又会有怎样的发现？
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六:小结与收获：通过本节课，你对数阵的研究有什么心得？
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七:课后探索
1查找资料，并阅读华罗庚的《从杨辉三角说起》，看看杨辉三角中还有哪些我们没发现的秘密。
2用我们今天所学的探究方法，研究莱布尼茨三角，你能从个数阵中发现哪些秘密呢？
高三数学探究课
《赵爽弦图中的不等式性质的再探究》教学设计
执教者： 福建省福州第三中学 林珍芳
一．教学内容解析
基本不等式是高中最重要的一个不等式，其结构简单、均匀对称，意蕴深厚。由两个正数通过加法、乘法、除法和开方四种运算，产生了它们的算术平均数和几何平均数的内在规律，实现了概念原理、符号语言、图形语言与自然语言的有机结合和高度统一，数学之美、数学之奇、数学之简、数学之趣尽在其中，蕴含了丰富的数学文化特征和多样的数学智慧因素。
《赵爽弦图中的不等式性质的再探究》是《基本不等式》内容的延伸。教学中选用“赵爽弦图”作为“数学探究”的素材和平台，以问题为线索，以TI-NspireCX-C CAS（图形计算器）为手段，搭建探究平台，引导学生通过观察，试验，猜想、验证及应用，并适当进行扩充或引伸，从中获得新的结果，新的方法，新的思想，体验数学发现和创造的历程。不仅扩大了学生的数学视野，促进对数学本质的理解，而且逐渐优化认知结构，使学生更深刻体会数学的文化价值和应用价值。
基于以上的分析，本节课的教学重点确定为：在利用赵爽弦图学习勾股定理和基本不等式的基础上，进一步挖掘和探究弦图中蕴含的不等式性质及其数学内涵.
二．教学目标设置
本节课立足学生的思维水平和认知特点，着眼于培养学生的探究、发现能力，具体教学目标确定为以下三点：
（1）利用赵爽弦图，深入挖掘其中说蕴含的丰富的不等关系（即基本不等式链）。
（2）启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，经历基本不等式链的发现、建构、应用，感受数学的拓广过程，体会数形结合思想，提高数学的归纳能力和抽象能力。
（3）通过赵爽弦图中不等式性质的探究，培养学生善于思考、乐于探索的良好品质.
三．学情分析
学生在初中时通过赵爽弦图学习了勾股定理，在推导基本不等式时学生再次学习赵爽弦图，一样的图形背景，不同的问题指向，从等量关系（勾股定理）到不等关系（基本不等式），从平面几何到不等式的研究，是知识和思维的延续、拓展.
此前学生已经学习了不等式及其性质、解三角形、解析几何等有关知识，具备了必要的认知基础，也具有了一定的观察分析、抽象概括能力，并能用TI（图形计算器）解决常用的数学问题。本节课正是以学生已有知识为出发点，突出问题引导，着眼多元联系，让学生对赵爽弦图进行深度剖析，使不等式性质的认识结构更加完善。
基于以上分析，本节课的教学难点确定为：利用赵爽弦图，通过数形结合发现、探究、深化和完善对基本不等式链的认识.
四．教学策略分析
创设问题情境，以问题链引导学生学习已成为数学教学的一条基本原则。本节课将基本不等式链的探究发现设计成环环相扣、层次分明的问题链，结合启发式教学原则，采用学生探究和教师讲授相结合的方法，结合TI-NspireCX-C CAS（图形计算器）辅助教学，通过观察、分析、归纳、概括、猜想、应用等思维活动，使学生充分地经历基本不等式链的探究发现和证明应用的过程。借助每一个问题的解决，把学生的思考逐步推向深入，使学生的学习过程成为在教师引导下的“探究发现”的过程，磨练学生的思维，有效地提升数学素养。
为突破难点，在教学中始终抓住图形的几何性质，发挥几何图形的功能，贯穿数形结合的思想，在新旧知识的连接点设问，搭建知识的脚手架，引导学生通过观察，挖掘赵爽弦图中有关线段、面积的度量关系，大胆联想，探究发现其中蕴含的不等关系，借助图形计算器辅助实验，最后代数证明。在这个过程中，揭示了从特殊到一般，再回到特殊的认知规律。
五．教学过程
依据知识的发生、发展、深化的过程和学生的思维规律，本节课设计了以下6个教学环节。
教学
环节
教学程序(师生双向活动)
设计意图
一、
再
现
弦
图
，
唤
醒
知
识
师：2002年8月国际数学家大会在北京召开，这个大会颁发的菲尔茨奖相当于数学界的诺贝尔奖.大会的会标是根据中国古代的数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民的热情好客.
师：（如图1，2）请同学们回忆一下以前借助赵爽弦图主要研究了什么？
（图1） （图2）
赵爽弦图的直观再现，基本不等式的重新回顾，唤醒了学生对变与不变的关系、整体与局部的关系、等与不等的关系、一般与特殊的关系的感受，促使学生在直观丰富的情境下感知公式的基本特征和形式，有效强化“抽象知识”和“几何原型”之间的本质联系.
二、
追
问
弦
图
，
体
验
发
现
师：回到弦图，是的两条直角边，那么，在中是否还存在其它关于的不等关系？
生3：是三角形两边之和，所以联想三角形三边关系得到，即，注意到，当或时，上式也成立，所以.
师：这个发现源于三角形的最基本性质，得到的不等式关系精美简约，下面请大家观察弦图中的，思考它是否还蕴含其它的几何关系？
教师通过对弦图中几何性质的追问，引导学生对本质问题进行深刻挖掘，领悟几何与代数之间的内在联系，从赵爽弦图中直角三角形的直角边、斜边、斜边上的中线、斜边上的高的几何关系中引申出基本不等式及其衍生结论，让学生自由自在、灵活地思考，促进学生在原有知识和经验基础上的主动建构，实现了知识的自然过渡和传承间的“春风化雨，润物无声.”
三、
深
探
弦
图
，
跨
界
交
汇
四、
重
构
弦
图
，
彰
显
创
意
师：上述过程中，我们着重从平面几何中线段的关系去挖掘和思考的不等关系.如果我们用动态的观点研究弦图，那么能否有新的视角和新的手段不等关系呢？现在我们让赵爽弦图动起来，通过观察看到在变化，不变，那么的变化是否有什么规律？
师：赵爽弦图是在正方形中构造直角三角形，请大家思考能否在其它图形中构造类似的弦图来推导基本不等式？
展示学生作品
通过搭建符合学生认知规律的脚手架，在学生亲手操作、亲历体验过程中，在运动和变化的过程中进行跨界联想，多元交汇，从三角函数，解析几何等角度观察、分析和解决问题，不断丰富知识探究过程的真切感和思考层次，使得学生对弦图的探究能够“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，从不同角度理解数学的本质.
通过让学生参与设计的一系列问题来引导和激发学生的参与意识、创新意识，培养探究问题的能力，提升思维的层次。学生能够运用类比的方法猜想并重构赵爽弦图，在“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律，设计“私人定制”的弦图，探索推导基本不等式的新途径，是一种超越，是一种创意．
五、
回
顾
小
结
，
理
清
脉
络
师：今天我们通过挖掘赵爽弦图中的几何性质，用不同方法得到基本不等式链，在探究的过程中我们运用了特殊到一般、数形结合、转化与化归、类比联想等数学思想方法。
引领学生进行回顾总结，归纳本节课内容，提炼思想方法，总结学习经验，完善认知结构。
作
业
小组合作设计弦图，并挖掘其中蕴含的不等式性质
课件17张PPT。赵爽弦图中不等式性质的再探究福州第三中学：林珍芳高三数学探究课设计的魅力是创意教学的活力是生成 基本不等式是高中最重要的一个不等式，其结构简单、均匀对称，意蕴深厚，实现了概念原理、符号语言、图形语言与自然语言的有机结合和高度统一。数学之美、数学之奇、数学之简、数学之趣尽在其中，蕴含了丰富的数学文化特征和多样的数学智慧因素。
教学内容介绍基本不等式的再延伸 “赵爽弦图”作为“数学探究”的素材，以问题为线索，以TI-NspireCX-C CAS（图形计算器）为手段，搭建探究平台，引导学生通过观察，试验，猜想、验证及应用，并适当进行扩充或引伸，从中获得新的结果，新的方法，新的思想，体验数学发现和创造的历程。教学内容介绍知识与能力教学目标设置教学重难点
本节课将基本不等式链的探究发现设计成环环相扣、层次分明的问题链，结合启发式教学原则，采用学生探究和教师讲授相结合的方法，结合TI-NspireCX-C CAS（图形计算器）辅助教学，通过观察、分析、归纳、概括、猜想、应用等思维活动，使学生充分地经历基本不等式链的探究发现和证明应用的过程。问题链、探究、联想教学策略分析 问题：请同学们回忆一下以前借助赵爽弦图主要研究了什么？教学过程 1.再现弦图 唤醒知识 赵爽弦图的直观再现，基本不等式的重新回顾，促使学生在直观丰富的情境下感知公式的基本特征和形式，有效强化“抽象知识”和“几何原型”之间的本质联系.1.再现弦图 唤醒知识教学过程 问题:a,b是 的两条直角边，那么，在 中是否还存在其它关于 a,b的不等关系？
教学过程 2.追问弦图
体验发现教学过程 教师通过对弦图中几何性质的追问，引导学生对本质问题进行深刻挖掘，领悟几何与代数之间的内在联系，促进学生在原有知识和经验基础上的主动建构，实现了知识的自然过渡和传承间的“春风化雨，润物无声.”
2.追问弦图
体验发现教学过程 问题 :现在我们让赵爽弦图动起来，通过观察看到 a,b在变化,C不变，那么 a+b的变化是否有什么规律？
3.深探弦图
跨界交汇教学过程 通过搭建符合学生认知规律的脚手架，在学生亲手操作、亲历体验过程中，在运动和变化的过程中进行跨界联想，多元交汇，从三角函数，解析几何等角度观察、分析和解决问题，不断丰富知识探究过程的真切感和思考层次，从不同角度理解数学的本质.
3.深探弦图
跨界交汇问题：赵爽弦图是在正方形中构造直角三角形，请大家思考能否在其它图形中构造类似的弦图来推导基本不等式？
4.重构弦图
彰显创意教学过程 教学过程 学生能够运用类比的方法猜想并重构赵爽弦图，在“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律，设计“私人定制”的弦图，探索推导基本不等式的新途径，是一种超越，是一种创意．4.重构弦图
彰显创意教学过程5.回顾小结
理清脉络Thank You !谢谢指导
