“合情推理”教案、教案说明及点评
颜波（新疆兵团第八师石河子一中）
教 案
一．教材分析
1．教材的地位和作用
推理与证明思想贯穿于高中数学的整个知识体系，但是作为一章内容出现在高中数学教材中尚属首次。《推理与证明》是新课标教材的亮点之一，本章内容将归纳与推理的一般方法进行了必要的总结和归纳，同时也对后继知识的学习起到引领的作用.
教材的设计还原了数学的本源、本质，是对“观察发现、归纳类比、抽象概括、演绎证明”等数学思维方法的总结与归纳，使已学过得的数学知识和思想方法系统化、明晰化，操作化.紧密地结合了已学过的数学实例和生活实例，避免空泛地讲数学思想方法，以变分散为集中，变隐性为显性的方式学习了推理和证明，是知识、方法、思维和情感的融合与促进，能让学生充分体会数学的发生、发展.
2．课时划分
《合情推理》的教学分两个课时完成：第一课时内容为归纳推理;第二课时内容为类比推理.
二、教学目标
1．知识技能目标
理解归纳推理的概念，了解归纳推理的作用，掌握归纳推理的一般步骤，会利用归纳进行一些简单的归纳推理.
2．过程方法目标
学生通过积极主动地参与课堂活动，经历归纳推理概念的获得过程，了解归纳推理的含义;通过欣赏一些伟大猜想的产生过程，体会并认识利用归纳推理能猜测和发现一些新事实、得出新结论的作用并明确归纳推理的一般步骤；通过具体解题，感受归纳推理探索和提供解决问题的思路和方向的作用；通过自主学习归纳推理的一般方法，建构归纳推理的思维方式.
3．情感态度，价值观目标
学生通过主动探究、合作学习、相互交流，培养不怕困难、勇于探索的优良作风，增强了数学应用意识；通过体会成功，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度.
三、教学重点、难点
重点：归纳推理的含义与作用
难点：利用归纳法进行简单的合情推理
四、教法与教具选择
教学方法：启发发现法、课堂讨论法。
教具：多媒体、粉笔、黑板。
理论根据：启发发现法就是利用归纳法基本步骤开展教学，即在教学过程中利用合适的资源启发学生主动自我发现，自我猜想，自我归纳.因为学生拥有自己的知识、经验、灵感，是主动和富有创造性的，所以采用启发发现法，往往能使学生在课堂活动中表现出浓厚的学习兴趣.而学生之间的讨论，师生之间的讨论不仅能培养学生的合作团队意识，对于发现新结论也是非常重要的，因此在教学过程中要倡导学生参与到课堂活动中来，形成生生互动，师生互动的局面.
五、教学过程
环节
教 学 程 序
师生互动
设计意图
创设情景
引出推理的概念：推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。（2分钟）
日常生活中，推理。例如:
医生诊断病人的病症，
警察侦破案件，
气象专家预测天气的可能状态，
考古学家推断遗址的年代，
数学家论证命题的真伪等等。
生活中我们遇到这样的情形，你能得到怎样的推理？
看见柳树发芽，冰雪融化。。。。。。。
看见乌云密布，燕子低飞。。。。。。。
看见花儿凋谢，树叶变黄。。。。。。。
（6分钟）
学生踊跃回答问题，教师通过评价学生推测的结论引入推理的概念。
自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”。创造和谐积极的学习气氛。
为课堂结尾的“数学是生动活泼的，发现问题是数学学习的一个重要目的”埋下伏笔。
授
新
课
数学猜想
设f(n)=n2+n+41,观察下列数据，你能猜到什么结论？
2、由此猜想，n为任何正整数时f(n)=n2+n+41都是质数
3、n=40呢？n=41呢？(12分钟)
4、引出归纳推理定义，（板书课题）
5、归纳推理的一般步骤.(14分钟)
先引导学生发现推理的结论都是通过猜想得到的。再引导学生观察推理结论是否正确，引出归纳推理定义及一般步骤
给出例子让学生通过直观感知、观察、归纳做出合理分析，并抽象概括出合情推理和归纳推理的概念，完成由浅入深、由易到难、由特殊到一般的思维飞跃。
通过归纳推理的例子的比较分析，学生理解消化归纳推理的概念。
组织学生进行分组讨论，引导学生对归纳推理的应用进行举例。
分组讨论降低了概念学习的难度，使学生能够更多的围绕重点展开探索和研究。
学生的主体意识在这里获得充分的体现。
感受归纳推理的魅力，重点介绍两大猜想（同时指出）
归纳推理所得的结论仅是一种猜想，未必可靠，还需证明。
1、费马猜想。
例如，介绍费马猜想
已知都是质数，
运用归纳推理你能得出什么样的结论？
半个世纪后欧拉发现
说明了什么？
后来人们又发现都是合数，你们又能得到什么样的结论？(18分钟)
2．介绍歌德巴赫猜想
观察下列等式
3+7=10
3+17=20
13+17=30
你们能从中发现什么规律？
如果换一种写法呢？
10=3+7
20=3+17
30=13+17
这个规律对于其他偶数是否成立？
（25分钟）
介绍其他学科中运用归纳推理得到的重要发现
三、归纳推理的作用
1．发现新事实：
应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论，下面是一个数学中的例子。
观察：1+3=4=22，1+3+5=9=32，
1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，
……由上述具体事实能提出怎样的结论？
可以猜想：前n个连续奇数的和等于n的平方，即 (30分钟)
由上述具体事实能提出怎样的
结论？
学生主动探究规律，感受归纳推理对发现新事实、得出新结论的作用。
引导学生发现并总结规律。
设置费马猜想和歌德巴赫赫猜想产生情景，激发学生的求知欲。同时提及两大猜想产生的时代背景，让学生接受数学文化的熏陶，感受归纳推理的魅力。教师生动讲述欧拉发现第五个费马数的过程，激发学生的好奇心与求知欲，同时，通过“猜想——验证——再猜想”说明科学的进步与发展处在一个螺旋上升的过程。
授
新
课
已知数列的首项，且有，求这个数列的通项公式。
在例1和例2中，我们通过归纳得到了两个猜想。虽然它们是否正确还有待严格的证明，但猜想可以为我们的研究提供一种方向。
(33分钟)
让学生在解决问题的过程中发现归纳推理需要检验过程，从而自我修正归纳推理的一般步骤。
小结：归纳推理的作用
1．发现新事实
2．提供研究方向
学生自主探究，教师点评第一小题的两种解法。
体会归纳推理的一般步骤，进一步感受归纳推理的作用。通过第二小题让学生感受归纳推理起到了能够提供研究方向的作用，培养学生进行归纳推理的能力。
学
以
致
用
例3、 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家．C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简单多面体形状．这个多面体有60个顶点，各面的形状只有五边形或六边形两种．其中五边形和六边形的面各有12个和20个．
计算C60分子中有多少条棱？
铺设桥梁，以退为进： 在一个凸多面体中，试通过归纳猜想其顶点数V、棱数E、面数F满足的关系。
从这些事实中，可以归纳出：
解： 由题意有顶点数V=60，面数F=12+20，由V+F-E=2 解得E=90. (38分钟)
变式：“世界末日”的传说：把这个寓言和现代科学推测对比，同时用动画展示游戏过程。
(43分钟)
由学生在讲义上作图，发现规律并总结，再通过学生之间充分讨论之后相互交流，教师点评。
给学生创建一个开放的、有活力、有个性的数学学习环境。
感受数学美和发现规律的喜悦，激发学生更积极地去寻找规律、认识规律。同时让学生感受到只要做个有心人，发现规律并非难事。
小
结
五、
归纳推理的成功范例：费马猜想，歌德巴赫猜想，牛顿发现万有引力，门捷列夫发现元素周期表。得出：归纳推理是科学发现的重要途径。
3.小结回顾，思维收获 。(44分钟)
学生讨论总结，相互补充，教师点评。
让学生自己小结，这是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我认识过程。
作
业
1．完成课本 P83 A组 1—3
2．选做
孪生素数猜想 ;叙拉古猜想 ; 蜂窝猜想; 费马最后定理;七桥问题;欧拉回路(选择两个猜想探究来源)
（45分钟）
实习作业的设置为了教会学生怎样利用资料进行数学学习，同时让学生了解网络是自主学习和拓展知识面的一个重要平台。这是本节内容的一个提高与拓展。设计选做题是针对学有余力的同学提升高度，链接高考。
六、板书设计
合情推理
——归纳推理
一、推理
二、归纳推理的含义
三、归纳推理的作用
1．发现新事实
2．提供研究方向
四、归纳推理的一般步骤
五、小结
例 1（1）
（2）
练习
教案说明
一、授课内容的数学本质与教学目标定位
人们习惯于把数学看成是演绎科学、研究结构的科学，主要是由于人们习惯上从数学研究的结果来看数学的本质特征．然而，结果并不能反映数学的全貌，组成数学整体的另一个非常重要的方面是数学研究的过程，一个“思维的实验过程”．波利亚（G. Poliva，1888一1985）认为，“数学有两个侧面，由欧几里德方法提出来的数学看来像是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学．”本节课的设计就是为了还原数学的本质，让学生意识到数学不仅仅是演绎的科学，更是归纳的科学．
本节课的教学目标设置：
1．理解归纳推理的概念，了解归纳推理的作用，掌握归纳推理的一般步骤，会利用归纳进行一些简单的归纳推理.
2．学生通过积极主动地参与课堂活动，经历归纳推理概念的获得过程，了解归纳推理的含义;通过欣赏一些伟大猜想的产生过程，体会并认识利用归纳推理能猜测和发现一些新事实、得出新结论的作用并明确归纳推理的一般步骤；通过具体解题，感受归纳推理探索和提供解决问题的思路和方向的作用；通过自主学习归纳推理的一般方法，建构归纳推理的思维方式.
3．学生通过主动探究、合作学习、相互交流，培养不怕困难、勇于探索的优良作风，增强数学应用意识；通过体会成功，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度.
二、学习本内容的基础以及用处
推理与证明思想不仅贯穿于高中数学的整个知识体系，在其他学科领域也有多处涉及．在高中历史教材《历史人物评说》中介绍亚里士多德时，对推理做了一定的介绍;高中政治学科的科学方法论中的推理内容对推理也做了相应的讲述;物理、化学、生物、地理等许多学科中的伟大猜想及定理的产生都源于合情推理;高中生本身的学习生活阅历中也有很多合情推理的实例．通过本节课学生可以真正的体会到数学与其他学科的交叉性、互补性，初步体会科学的方法论在日常生活的作用.同时，本节课的学习有助于学生更完整更准确地认识到数学不仅仅是演绎科学，更是归纳的科学；有助于学生形成归纳推理的思维方式, 培养创新精神,为将来合理地提出新思想、新概念、新方法奠定好基础;有助于学生养成良好的科学态度和严谨的学习作风，形成言之有理、论证有据的习惯．
三、教学内容解析
本节内容中，学生会较快接受推理的概念，但是对于推理方法的分类会有一定的疑惑.本节课先利用多个例子让学生通过直观感知、观察分析、归纳类比做出合理分析，抽象概括出归纳推理的概念，再利用分组讨论降低了概念学习的难度，使学生能够更多围绕归纳推理这个重点展开探索和研究．
在体验哥德巴赫猜想产生的过程中，当所给的偶数较大时，学生的检验会遇到相当大的困难；在体会费马猜想的产生过程中学生的思维容易产生混乱，故设计了教师讲述欧拉发现第五个费马数的过程，激发学生的好奇心与求知欲，同时，通过“猜想——验证——再猜想”说明科学的进步与发展处在一个螺旋上升的过程。
在充分体会了归纳推理的生活实例和数学实例以及其他学科实例之后，学生充分感受到数学美和发现规律的喜悦，能够自主总结出归纳推理的一般步骤，但是容易忽略归纳推理所得结论的不可靠性，从而忽略检验的步骤．所以本节课设计了费马猜想的产生及推翻过程，让学生充分体会检验的必要性，体会数学发展的螺旋上升过程．
对于例2，学生能非常熟练地运用归纳推理得出通项公式，但容易忽略所得结论的不可靠性和证明的必要性.所以本节课设计引导学生再用演绎推理的方法解题，就能直观地比较出归纳推理和演绎推理两种思维方式不同的优势．例3是在例2上的一种深化，学生无法运用演绎推理的方式直接解题，但可以运用归纳推理探索解题的方向，从而进一步感受归纳推理的优势．
在本节课的后半节特意设置了学以致用的题目，让学生体会归纳推理的一般模式，在解决问题的同时也让学生产生愉悦的体会，增加对数学学习的兴趣和信心。
四、本节课的教法特点
1．引入的设计充分体现了学生的数学情怀
中学数学教学中的大规模练习使学生对于数学有了根深蒂固的认识：数学是严肃枯燥的，数学是解决问题的科学．从某种意义上讲当前中学数学的教学不同程度地掩盖了数学的本质．引入设计采用的调查报告中的数据很容易引起学生的共鸣，抓住了本节课的授课本质，为改变学生对数学的认识现状作好了必要的铺垫．
2. 问题的选择注重强调数学的文化价值
本节课创设了费马猜想、哥德巴赫猜想、欧拉公式的发现情境，并有相应的数学史的介绍.学生在体验三大猜想产生的过程中自然地受到数学文化的熏陶，也能学习到数学家的数学思想精神、思维方法和看问题的着眼点等，从而提高了自身的数学素养．
3. 充分尊重学生的思维活动和自主探究
在分组讨论的过程中给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台；在活动中引导学生用归纳的思维方法思考问题，要求学生在学习归纳推理的过程中运用归纳推理，有效地提高了课堂教学的效率和容量.
4. 计算机软件应用灵活、有针对性
在本节授课过程中，共设计计算机演示操作哥德巴赫猜想和练习中使用的分子c60分子，世界末日问题中的动画展示将授课过程中的难点一一化解.尤其是世界末日问题中的动画展示使本来非常难处理的问题简单化、直观化．
5．注重学生个性发展
对课本例1进行了发展与深化，创设学生的思维困难，体会归纳推理的思维简单性、合理性；练习设计则降低对知识的要求，使得不同层次的学生都能得到相应的训练，提高课堂的思维效率；作业设计中的网站浏览有利于丰富学生的知识，拓展视野，将数学课堂延伸到学校以外；作业中的选做题为学有余力的学生提供进一步发展的空间．
五、学生学情分析及教学策略分析：
我校共24个教学班，其中理科班17个，按学生层次分两个尖尖班，五个实验班，10个理科平行班，这个班是理科平行班，这个班学生学习数学相对比较吃力，备课时（相对实验班）很少拔高，同时设法激发和保护学生学习数学的积极性。授课过程在达到本节课的教学目标的基础上，能让学生深刻体会到数学是生动的、有趣的，数学的本质并非仅仅是解决问题，更重要的是发现问题（数学不仅仅是演绎的科学，更是归纳的科学）．
点 评
新疆兵团第八师石河子教育局教研室 蒋新林
从完整的授课录像可以看出：颜波老师的教学充分体现了以学生为主体、教师为主导、合情推理（归纳推理）为主线、学生思维发展为主体的数学教育目标，以教材内容为素材加工整理设计的一堂有学习价值的优秀参评课。整节课有如下主要特点：
一、教材内容处理合理、重点突出
合情推理一课是人教A版选修2-2的教学内容，它包括归纳推理和类比推理，分两个课时完成，内容多、容量大、密度高。如第一节课都讲，对归纳推理的概念形成过程教学不足，因此颜老师着重抓住归纳推理展开教学，这样处理，重点突出，效果较好，教学目标容易达成。
二、兼顾知识的发生发展过程和数学本质的提炼
颜老师这节课教学循序渐进，从“推理---数学猜想---归纳推理---归纳推理的应用”，是学生经历了非严格到严格的过程，重点组织学生学习合情推理和归纳推理，课堂上通过五个环节及丰富的事例，使学生充分体验了归纳推理的要义和主要步骤，使新课程中的“三维教学目标”在本节课教学中得到了较好的体现。
颜老师的设计教学：
第一环节中，教师例举了：“医生诊断病人病症；警察侦破案件；气象预测天气；考古学家推断遗址年代；数学家论证命题的真伪”等一系列的实例，让学生感受推理的意义。并展示了：设f(n)=n2+n+41，观察猜想能得到什么结论的简单问题。
第二环节中，从数学猜想：“哥德巴赫猜想，费马猜想，格尼斯堡七桥猜想”让学生感受合情推理和归纳推理。让学生讨论合作学习，并引导学生理解归纳推理中的关键词：“部分”——“整体”；“特殊”——“一般”。
第三环节，颜老师对两个经典问题：费马猜想、哥德巴赫猜想作了详细的讲解。
第四环节，学生就三个进行练习巩固，一个是递归数列问题，一个是凸多面体的顶点数、面数、棱数问题，另一个是世界末日传说。展示了教师较强的基本功。
第五环节：归纳小结
（1）什么是归纳推理？（2）归纳推理的步骤以及归纳推理所得的的命题不一定正确等。
三、多媒体辅助作用较为合理
颜老师教学中的多媒体使用科学合理，有效地化解了数学难点，优化了教学过程，例如费马猜想、哥德巴赫猜想、世界末日传说等 。讲解中多媒体使用恰到好处。
四、不足之处：
1、合情推理与归纳推理的关系强调的还不到位，虽然本节课不讲类比推理，但是应当简单地提及推理分为演绎推理和归纳推理两大类。
2、教学中要注意详略得当。费马猜想的运算有点难，可以考虑略讲。
课件30张PPT。2.1.1合情推理2.1 合情推理与演绎推理高 中 数 学新疆兵团第八师石河子第一中学 颜 波 在日常生活中，人们常常需要进行这样那样的推理。例如:1、什么是推理 推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。医生诊断病人的病症，警察侦破案件，气象专家预测天气的可能状态，考古学家推断遗址的年代，数学家论证命题的真伪等等。在数学中，证明的过程更离不开推理。生活中我们会遇到这样的情形：
看见柳树发芽，冰雪融化。。。。。。。
看见乌云密布，燕子低飞。。。。。。。
看见花儿凋谢，树叶变黄。。。。。。。
根据以上事实，你能得到怎样的推理？2、数学猜想 数学中有各种各样的猜想，如：歌德巴赫猜想、费马猜想、地图的“四色猜想”、歌尼斯堡七桥猜想等等。设f(n)=n2+n+41,观察下列数据，你能猜到什么结论？由此猜想，n为任何正整数时f(n)=n2+n+41都是质数n=40呢？归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般性的结论,这样的推理称为归纳推理(简称归纳).简而言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。归纳推理的一般步骤（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；
（2）剔除不带有规律性的结论，即猜想；
（3）检验猜想。归纳推理所得的结论仅是一种猜想，未必可靠，还需证明例如，法国数学家费马观察到都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如
的数都是质数。——这就是著名的费马猜想。半个世纪之后，善于计算的欧拉发现，第5个费马数不是质数，从而推翻了费马的猜想。观察下列等式
归纳出一个规律：
偶数=奇质数+奇质数
通过更多特例的检验,从6开始,没有出现反例.大胆猜想: 任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数的和.哥德巴赫猜想
10=3+7 ，
20=3+17，
30=13+17.陈氏定理 应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论，下面是一个数学中的例子。可以猜想：前n 个连续奇数的和等于n的平方，
即例2 已知数列{an}的第1项a1=1，且 可以根据已知的递推公式，算出数列的前几项，然后归纳猜想它的通项公式。，试归纳出这个数列的通项公式。 在例1和例2中，我们通过归纳得到了两个猜想。虽然它们是否正确还有待严格的证明，但猜想可以为我们的研究提供一种方向。 例3、 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家．C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简单多面体形状．这个多面体有60个顶点，各面的形状只有五边形或六边形两种．其中五边形和六边形的面各有12个和20个．
计算C60分子中有多少条棱？ 应用示例： 以退为进： 在一个凸多面体中，试通过归纳猜想其顶点数V、棱数E、面数F满足的关系。应用示例： 以退为进： 在一个凸多面体中，试通过归纳猜想其顶点数、棱数、面数满足的关系。446应用示例：558 在一个凸多面体中，试通过归纳猜想其顶点数、棱数、面数满足的关系。应用示例：659 在一个凸多面体中，试通过归纳猜想其顶点数、棱数、面数满足的关系。应用示例：
8612
在一个凸多面体中，试通归纳猜想其顶点数、棱数、面数满足的关系。应用示例：
6812 在一个凸多面体中，试通归纳猜想其顶点数、面数、棱数满足的关系。∴从这些事实中，可以归纳出：应用示例：V+F-E=2欧拉公式 学以致用： 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家．C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简单多面体形状．这个多面体有60个顶点，各面的形状只为五边形或六边形两种．其中五边形和六边形的面各有12个和20个．
计算C60分子中有多少条棱？应用示例：解： 由题意有顶点数V=60，面数F=12+20，由V+F-E=2 解得E=90答：C60分子中有90条棱．
牛顿发现万有引力
门捷列夫发现元素周期律应用归纳推理可以
发现新事实,获得新结论!归纳推理是科学发现的重要途径!歌德巴赫猜想
四色定理“世界末日”的传说．
在印度北部的一个佛教的圣庙里，桌上的黄铜板上，放着三根宝石针，据说印度教的主神梵天在创造世界时，在其中的一根针上，自上而下由小到大放了六十四片金片．每天二十四小时内，都有僧侣值班，按照以下的规律，不停地把这些金片在三根宝石针上移来移去：每次只准移动一片，且不论在那根针上，较小的金片只能放在较大的金片上．当所有六十四片金片都从梵天创造世界时所放的那根针上移到另一根针上时，世界的末日就要到临．
这虽是一个传说，但却引起人们的重视，大家都想知道僧侣移动完毕这六十四片金片需要多少时间．也就是说，人类在这个世界上还可以生存多少时间．让我们来算算看．
“例4.有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
1.每次只能移动一个金属片;
2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.
试推测:把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?n=1时,n=2时,n=1时,n=3时,n=2时,n=1时,n=4时,n=3时,n=2时,n=1时,n=4时,n=3时,n=2时,n=1时,f（64）＝264－1＝18446744073709551615 如果僧侣移动金片一次需要1秒钟，移动这么多次共需约5845亿年．
把这个寓言和现代科学推测对比一下倒是有意思的．按照现代的宇宙进化论，恒星、太阳、行星(包括地球)是在数十亿年前由不定形物质形成的．我们还知道，给恒星特别是给太阳提供能量的“原子燃料”还能维持100～150亿年．因此，我们太阳系的整个寿命无疑要短于二百亿年．可见远不等僧侣们完成任务，地球早已毁灭了．小结回顾： 由部分到整体、个别到一般的推理1、什么是归纳推理？2、归纳推理的一般步骤（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；
（2）剔除带有规律性的结论，即猜想；
（3）检验猜想。4、归纳推理的结论不一定正确，有待进一步证明；3、归纳推理的作用发现新事实、获得新结论作 业1、完成课本 P83 A组 1—3选做孪生素数猜想 ;叙拉古猜想 ; 蜂窝猜想; 费马最后定理;七桥问题;欧拉回路(选择两个猜想探究来源)《2.3数学归纳法》教学设计
青海湟川中学 刘岩
一、【教材分析】
本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2（人教A版）》第二章第三节《2.3数学归纳法》。在之前的学习中，我们已经用不完全归纳法得出了许多结论，例如某些数列的通项公式，但它们的正确性还有待证明。因此，数学归纳法的学习是在合情推理的基础上，对归纳出来的与正整数有关的命题进行科学的证明，它将一个无穷的归纳过程转化为有限步骤的演绎过程。通过把猜想和证明结合起来，让学生认识数学的本质，把握数学的思维。本节课是数学归纳法的第一课时，主要让学生了解数学归纳法的原理，并能够用数学归纳法解决一些简单的与正整数有关的问题。
二、【学情分析】
我校的学生基础较好，思维活跃。学生在学习本节课新知的过程中可能存在两方面的困难：一是从“骨牌游戏原理”启发得到“数学方法”的过程有困难；二是解题中如何正确使用数学归纳法，尤其是第二步中如何使用递推关系，可能出现问题。
三、【策略分析】
本节课中教师引导学生形成积极主动，勇于探究的学习精神，以及合作探究的学习方式；注重提高学生的数学思维能力；体验从“实际生活—理论—实际应用”的过程；采用“教师引导—学生探索”相结合的教学方法，在教与学的和谐统一中，体现数学的价值，注重信息技术与数学课程的合理整合。
四、【教学目标】
（1）知识与技能目标：
①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤；
②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题。
（2）过程与方法目标：
努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。
（3）情感态度与价值观目标：
通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。
五、【教学重难点】
教学重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，能熟练运用它证明一些简单的与正整数n有关的数学命题；
教学难点：数学归纳法中递推关系的应用。
六、【教学方法与工具】
教法指导：本节课采用的教学方法是“启、思、演、练、结”五字教学法，即：以具体的例子引入课题，启发学生想去了解归纳法；通过提出问题、创设情景，引导学生积极思考；借助电脑的动画演示，提高直观性与趣味性，延长学生有意注意的时间；教学中，及时精选一些练习帮助学生巩固与强化知识，而“结”则包含两方面的内容（1）授课中教师的及时小结与点拨（2）听课时学生的自我小结与巩固。
学法指导：（1）学习要求：①课前预习教材中有关内容；②听课时积极思考大胆质疑；③课后及时完成课外作业。（2）指导措施：通过设置问题情景，激发学生大胆思考；由具体的事例吸引学生注意，通过直观模型演示，化抽象为具体，突破教学难点；借助电脑声像效果，营造愉悦课堂氛围，提高学习兴趣。
教学手段：多媒体辅助课堂教学。
七、【教学过程】
一、创设问题情境，启动学生思维（说明引入数学归纳法的必要性）
（情景一）某人看到树上友已值乌鸦，深有感触“天下乌鸦一般黑。”这个结论是否正确呢？
（情境二）在数列中，已知,,发现，， ，，由此猜想数列的通项公式为.这个结论可靠吗？怎样才能说明其正确性？
【设计意图：】为了引入本节课的问题，首先复习之前学过的知识，承上启下。以上两个情境都是不完全归纳法的体现，发现其结果不一定正确，而这里实际上体现了数学中的归纳思想。归纳法分为“不完全归纳法（只验证几个个体成立，得到一般性结论，但结论不一定正确）”和“全归纳法（验证每个个体都成立，得到一般性结论，其结论一定正确）”。
二、搜索生活实例，激发学生兴趣
【实例：】播放多米诺骨牌的游戏视频
【探究：】多米诺骨牌全部倒下的条件
【分析：】（实验一：）在该实验中，骨牌的间距合适。用手推第一块骨牌，但没有推倒，第二块骨牌，第三块骨牌、、、自然也没有倒下，游戏失败；
（实验二：）在该实验中，骨牌间距出现分化，使第一块骨牌和第二块骨牌间距足够大，其他间距不变。这时用手推倒第一块骨牌，但第二块没倒下，第三块、第四块也没有倒下，游戏失败。此时让学生对比实验一实验，分析原因；
（实验三：）在该实验中用手推倒第一块骨牌，然后第二块骨牌、、、全部骨牌依次倒下；
【设计意图：】通过三个不尽相同而又密切相关的实验，旨在引导学生从不同角度，对比感悟数学原理，实现学生思维由隐形到显性，由模糊到清晰，由片面到完整的过渡。
三、立足生活，点燃思维的火花
（由多米诺骨牌游戏的原理启发学生探索数学方法，解决情境二的问题。）
第一块骨牌必须要倒下 ②任意相邻的两块骨牌，若前一块
倒下，则后一块也倒下
①当 时，猜想成立 ②任意相邻的两项，假设 时，猜想成立，即，
即当时猜想成立
发现，对任意的正整数n猜想都成立，即该数列的通项公式是四、师生合作，形成概念。
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可以按照以下步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值（）时命题成立；
（2）（归纳递推）假设时命题成立，证明当 时
命题也成立。
完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立。
上述这种证明方法叫做数学归纳法。
【问题一：】在上面第一步中，n是否必须从1开始取值？若不是，用反例说明。
五、讲练结合，巩固概念
【例：】用数学归纳法证明
【问题二：】在证明过程中，发现有的同学是如下这样证明的：他的做法对吗？
证明: (1)当时，左边=1，右边=1，则等式成立；
(2)假设时，等式成立，即，
则当时，有
即当时，等式也成立， ,等式成立。
错因：第k+1步的结论不是以第k步为条件得出的，证明过程中没有用到第二步的归纳递推，因此得到的结果未必正确。
改正：
时，有
即当时，等式也成立。
【设计意图：】本题考查数学归纳法的证明过程。首先，教师将一道题目用数学归纳法完整的证明出来；然后再让学生当“小老师”，寻找另外一种证明过程中的错误，通过纠错这一思维过程，澄清了学生对知识点的模糊认识，“先正后反”有助于学生全面认识数学归纳法。
【练习】用数学归纳法证明：
证明：(1)当时，左边：，右边：
左边=右边，等式成立。
(2)假设当时等式成立，即
则当时，
=右边
即当时，等式也成立 等式成立。
【设计意图：】让学生自己尝试用数学归纳法证明之前学习中给出的公式——正整数的平方和公式，加深了学生对已学知识的认识。
六、回顾总结，反思提高
(1) 数学知识：数学归纳法——两个步骤一个结论；
(2) 数学方法：数学归纳法（证明某些与正整数有关的命题）；
(3) 数学思想：归纳思想、递推思想。
七、分层作业
2.3 数学归纳法课后练习题
一、选择题
①用数学归纳法证明等式时，
第一步验证n=1时，左边应取的项是（D）
Ａ．1 Ｂ.1+2 Ｃ.1+2+3 Ｄ.1+2+3+4
【命题意图：】考查数学归纳法的“归纳奠基”这一步，让学生能正确判断，n取初始值时等式左边的项有哪些，而未必一项。本题是属于基础题，必做题。
②用数学归纳法证明时，从k到k+1时，左端需增乘的代数式为（ B ）
A． B． C． D．
【命题意图：】考查数学归纳法的“归纳递推”这一步，训练学生寻找第k步与第k+1步之间的关系 ，必做题。
二、填空题
③用数学归纳法证明时，第一步应验证
答案：n=3时，不等式是否成立
【命题意图：】考查数学归纳法的第一步，必做题。
④已知，用数学归纳法证明时，
答案：
【命题意图：】考查学生寻找数学归纳法的证明过程中第K步与第K+1步的关系并且使学生发现，由第k步到第k+1步之间未必只有一项，必做题。
三、解答题
⑤用数学归纳法证明：
【命题意图：】考查数学归纳法的证明过程，必做题。
⑥由下列不等式：，
，
，
，
你能猜想一个怎样的结论？并加以证明。
【命题意图：】本题首先考查了之前学过的知识“归纳推理”，让学生体验从“特殊到一般”的思维过程。引导学生先大胆猜想，然后按照猜想的方向，用数学归纳法，大胆的尝试证明。让学生在解题中充分的体验“归纳—猜想—证明”的乐趣，体会成功的喜悦！属于提高题，选做题。
八、板书设计
2、3数学归纳法
数学归纳法：
【例】
证明：
【练】
证明：（学生板演）
课堂小结：（1）、、、
（2）、、、
（3）、、、
课件19张PPT。情境一问 题某人看到树上有一只乌鸦，
深有感触“天下乌鸦一般黑”。归纳法归纳法分为 不完全归纳法 和 完全归纳法考察部分对象，得到一般结论的推理方法结论不一定可靠由一系列特殊情况得出一般结论的推理方法考察全体对象，得到一般结论的推理方法结论一定可靠在数列中,已知情境二猜想其通项公式猜想这个结论可靠吗？你玩过多米诺骨牌游戏吗?实验一实验二实验三多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？①第一块骨牌必须要倒下；
② 对于任意相邻的两块骨牌，若第K块倒下，一定使第K+1块骨牌也倒下。
探究(1)第一块骨牌倒下；（1）当n=1时猜想成立；（2）若第K块骨牌倒下时，则使相邻的第K+1块骨牌也倒下根据（1）和 （2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立。
（2）若n=k时猜想成立,即则当n=k+1时猜想也成立，即 由此，我们发现了一个证明与正整数n有关的命题的方法，它可按如下两个步骤进行：（1）证明当n取第一个值时命题成立；（2）假设时命题成立，证明当时命题也成立。根据（1）和（2），可知命题对都成立。2、3 数学归纳法青海湟川中学
刘 岩一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按如下步骤进行：（1）证明当n取第一个值时命题成立；（2）假设时命题成立，证明当时命题也成立。根据（1）和（2），可知命题对都成立。这种证明方法叫做数学归纳法归纳递推归纳奠基【例】用数学归纳法证明：说一说【练习】用数学归纳法证明：证明：（1）当n=1时，左边=12=1,等式成立(2)假设当n=k时等式成立,即那么,当n=k+1时即当n=k+1等式也成立根据(1)和(2),可知等式对任何 都成立.用到归纳假设凑出目标七、回顾总结 反思提高勇攀高峰谢谢大家!
