4.5 相似三角形判定定理的证明（课件） 2023-2024学年北师大版九年级数学上册

(共18张PPT)
第四章 图形的相似
第5节 相似三角形判定定理的证明
学习目标
1.会证明相似三角形判定定理；（重点）
2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点）
复习回顾
问题：相似三角形的判定方法有哪些？
① 两角对应相等，两三角形相似.
② 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
③ 三边对应成比例,两三角形相似.
三边成比例的两个三角形相似
1—
定义法！
D
A
C
B
E
由DE//BC,根据平行线分线段成比例推论，ΔADE和ΔABC的三条边对应成比例，又因为DE//BC,∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∠A是公共角.
根据相似三角形的定义：
ΔADE∽ΔABC
在上两节中，我们探索了三角形相似的条件，稍候我们将对它们进行证明．
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，∠A = ∠A'，∠B =∠B'.
求证：△ABC∽△A'B'C'．
A′
B′
C′
A
B
C
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似.
A′
B′
C′
A
B
C
证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD =A'B'，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则
∠1=∠B，∠2 =∠C，
过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F,则 ∴
∵ DE∥BC, DF∥AC,
∴ 四边形 DFCE 是平行四边形,∴ DE = CF.
∴ ∴
E
D
F
1
2
∵ ∠1=∠B，∠DAE=∠BAC，∠2=∠C，
∴ △ADE ∽ △ABC.
∵ ∠A=∠A',∠ADE=∠B=∠B'，AD=A'B'，
∴ △ADE≌△A'B'C'，
∴ △ABC∽△A'B'C.
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
A
B
C
A′
B′
C′
几何语言：
你能证明吗？
可要仔细哟！
∵∠A =∠A′，
∴△ABC∽△A′B′C′
已知：如图，在△ABC 和△A'B'C'中，∠A=∠A'，
求证：△ABC ∽ △A'B'C'.
A′
B′
C′
A
B
C
E
D
1
2
证明：在△ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取 AD = A'B'，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则
则∠ B=∠ 1， ∠ C=∠ 2，
∴ △ABC ∽ △ADE，
AD = A'B'，
∴ AE =A'C'.
∵ ∠A=∠ A'，
∴ △ADE ≌ △A'B'C'，△ABC ∽ △A'B'C'.
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
几何语言：
你要如何
证明呢？
∴△ABC∽△A′B′C′
∵
A
B
C
A′
B′
C′
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C'中，
求证：△ABC ∽ △A'B'C' .
A′
B′
C′
A
C
E
D
B
证明：在△ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取 AD=A'B'，过点 D 作BC的平行线，交AC于点 E，则
∵ ，AD = A'B'，AE = A'C'，∵∠BAC=∠DAE，∴ △ABC ∽△ADE，
又 ，AD = A'B'，
∴ DE = B'C'，
∴ △ADE ≌ △A'B'C' ，∴ △ABC ∽△A'B'C' .
典例精析
例1.如图，在四边形ABDC中，AB∥CD，AC⊥CD，AC=CD，
AB= CD，E是AC的中点，试说明△ABE∽△CED.
解：设AB=a，∵ AC=CD，AB= CD，E是AC的中点，
∴ AC=CD=4a，AE=EC=2a.
∴= = ，= = ，∴= .
又∵ AB∥CD，AC⊥CD，
∴∠A= ∠C=90°，∴△ABE∽△CED.
1.如图，在4× 4 的正方形网格中，△ ABC和 △ DEF 的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上 .
填空：∠ABC=______°，AC=________ ；
2. 已知：如图， 求证：AB＝AE.
A
B
D
E
C
课堂总结
通过本节课的学习，你有哪些收获？