(共37张PPT)
7.1.1 条件概率
课前·基础认知
课堂·重难突破
素养·目标定位
随堂训练
素养 目标定位
目 标 素 养
1.结合古典概型,了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率.
2.结合古典概型,了解条件概率与独立性的关系.
3.结合古典概型,会利用乘法公式计算概率.
4.通过学习,提升数学抽象及数学运算的核心素养.
知 识 概 览
课前·基础认知
1.条件概率
微思考1(1)P(B|A)与P(A|B)意义相同吗
(2)P(B|A)与P(B)相等吗 若相等,需满足什么条件
提示:(1)P(B|A)与P(A|B)意义不同,由条件概率的定义可知P(B|A)表示在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率;而P(A|B)表示在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率.
(2)在事件A发生的条件下,事件B发生的概率不一定是P(B),即P(B|A)与P(B)不一定相等,只有当事件A与B相互独立时,P(B|A)=P(B).
答案:B
2.概率的乘法公式
由条件概率的定义,对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A).
我们称上式为概率的乘法公式.
3.条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间,因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0,则
(1)P(Ω|A)=1;
(2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)= P(B|A)+P(C|A);
微思考2P(B|A)的取值范围是什么
提示:任何事件的条件概率都在0和1之间,即0≤P(B|A)≤1.
微训练2下列式子一定成立的是( )
A.P(A|B)=P(B|A) B.P(B|A)≠0
C.P(AB)=P(B|A)P(A) D.P(AB|A)=P(B)
答案:C
解析:对于C,由概率的乘法公式知,P(AB)=P(A)·P(B|A),
故C正确;
对于B,当P(B)=0时,P(B|A)=0,故B不正确;
对于D,P(AB|A)=P(B|A),故D不正确.
课堂·重难突破
一 利用定义求条件概率
典例剖析
1.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位:分).
甲组:76,90,84,86,81,87,86,82,85,83;
乙组:82,84,85,89,79,80,91,89,79,74.
现从这20名学生中随机抽取一人,将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A,“抽出的学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B,则P(AB)= ,P(A|B)= .
规律总结 利用定义计算条件概率的步骤
(1)分别计算概率P(AB)和P(A).
(2)当P(A)>0时,将它们相除得到条件概率P(B|A)= ,这个公式适用于一般情形,其中AB表示事件A,B同时发生.
学以致用
1.甲、乙两市都位于长江下游,根据多年来的气象记录,知道一年中下雨天的比例甲市占20%,乙市占18%,两市同时下雨占12%,记P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,则P(A|B)= , P(B|A)= .
二 概率的乘法公式
典例剖析
2.某超市举行庆国庆抽奖活动,在盒子中有20个白球,5个红球,每次都摸一个球,摸到红球就中奖,假设摸到的球不放回,甲顾客摸完以后,乙再摸,求:
(1)甲中奖且乙也中奖的概率;
(2)甲没中奖且乙中奖的概率.
互动探究
(变条件)在本例中,若乙顾客摸完后甲再摸,则甲没中奖且乙中奖的概率是多少
解:因为摸完的球不放回,所以乙中奖的概率P(B)= ,
所以乙中奖后甲再摸时,
还有24个球且其中4个球为红色,
所以甲没中奖且乙中奖的概率为
规律总结 应用概率的乘法公式的关注点
(1)功能:已知事件A发生的概率和在事件A发生的条件下,事件B发生的概率,求事件A与B同时发生的概率.
(2)推广:设A,B,C为三个事件,且P(AB)>0,
则有P(ABC)=P(C|AB)·P(AB)=P(C|AB)P(B|A)P(A).
学以致用
2.在10道题中有7道选择题和3道填空题,如果不放回地依次抽取2道题,求两次都抽到选择题的概率.
三 缩小样本空间求条件概率
典例剖析
3.现有6个节目准备参加比赛,其中4个舞蹈节目,2个语言类节目,如果不放回地依次抽取2个节目,求:
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率;
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率;
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率.
解:设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A,“第2次抽到舞蹈节目”为事件B,则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件AB.
规律总结 计算条件概率的方法
(1)在缩小后的样本空间A中计算事件AB发生的概率,
学以致用
3.为了庆祝学校的元旦晚会,甲、乙、丙、丁四名同学计划报名参加晚会的相声、小品、歌唱、舞蹈这4个节目,每名同学限报1个节目,在乙、丙、丁三名同学报的节目与甲不同的条件下,每名同学报的节目都不相同的概率为( )
答案:D
随堂训练
答案:C
2.市场上供应的灯管中,甲厂产品占70%,乙厂产品占30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的合格率是80%,则从市场上买到一个甲厂的合格灯管的概率是( )
A.0.665 B.0.564
C.0.245 D.0.285
答案:A
解析:记事件A为“买到甲厂产品”,事件B为“买到合格产品”,则P(A)=0.7,P(B|A)=0.95,
故P(AB)=P(A)P(B|A)=0.7×0.95=0.665.
3.假定生男、生女是等可能的,一个家庭中有两个小孩,已知有一个是女孩,则另一个小孩是男孩的概率是 .
解析:一个家庭的两个小孩只有4种可能:{男,男},{男,女},{女,男},{女,女},由题意可知这4个事件的发生是等可能的,
4.某人一周晚上值2次班,在已知他周日一定值班的条件下,他在周六晚上值班的概率为 .
5.抛掷红、蓝两枚质地均匀的骰子,记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”,事件B为“两枚骰子的点数之和大于8”,求:
(1)在事件A发生的条件下,事件B发生的概率;
(2)在事件B发生的条件下,事件A发生的概率.
解:(方法一)抛掷红、蓝两枚质地均匀的骰子,
则样本空间Ω包含36个样本点,即n(Ω)=36.
(方法二)由题意得n(A)=2×6=12.
由3+6=6+3=4+5=5+4=9>8,4+6=6+4=5+5=10>8,
5+6=6+5=11>8,6+6=12>8,知n(B)=10,n(AB)=6.(共40张PPT)
7.1.2 全概率公式
课前·基础认知
课堂·重难突破
素养·目标定位
随堂训练
素养 目标定位
目 标 素 养
1.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率.
2.了解*贝叶斯公式.
3.通过学习,提升数学抽象、数学建模和数学运算的核心素养.
知 识 概 览
课前·基础认知
1.全概率公式
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪… ∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,有
微思考 全概率公式中样本空间Ω中的事件Ai需满足的条件为 =Ω.这样的说法正确吗
答案:D
2.*贝叶斯公式
设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,P(B)>0,有
微训练2已知P(B|A)=0.3,P(A)=0.5,P(B)=0.8,则P(A|B)的值为 .
课堂·重难突破
一 利用全概率公式求解概率
典例剖析
1.1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱中随机取出一球,求从2号箱中取出红球的概率.
解:记事件A:最后从2号箱中取出的是红球;事件B:从1号箱中取出的是红球.
互动探究
(变问法)求从2号箱中取出白球的概率.
解:记事件A:最后从2号箱中取出的是白球;事件B:从1号箱中取出的是白球.
规律总结
在运用全概率公式时的已知条件为
(1)划分后的每个小事件的概率已知,即P(Ai),i=1,2,…,n;
(2)每个小事件发生的条件下,B发生的概率已知,即P(B|Ai),i=1,2,…,n.
学以致用
1.某班全体学生同时参加数学和物理两科竞赛(每名学生只参加且必须参加一科竞赛),参加数学和物理竞赛的人数分别
二 利用*贝叶斯公式求解概率
典例剖析
2.已知某地居民肝癌的发病率为0.000 4.通过对血清甲胎蛋白进行检验可以检测一个人是否患有肝癌,但这种检测方法可能出错,具体是:患有肝癌但检测显示未患有肺癌的概率为0.01,未患有肝癌但检测显示有肝癌的概率为0.05.目前情况下,肝癌的致死率比较高,肝癌发现得越早,治疗越有效,因此有人主张对该地区的居民进行普查,以尽早发现肝癌患者,这个主张是否合适
根据贝叶斯公式,则检测显示患有肝癌的居民确实患有肝癌的概率为
这就表明,检测结果显示患有肝癌但实际上患有肝癌的概率还不到0.8%!也就是说,如果进行普查的话,在现有条件下:100个显示患有肝癌的人中,可能只有1个人是真正患有肝癌的.
从这个意义上来说,进行普查这个主张不合适.
规律总结 在运用贝叶斯公式时,一般已知条件和未知条件分别为
(1)事件A的多种情况中到底哪种情况发生了是未知的,但是每种情况发生的概率已知,即P(Ai),i=1,2,…,n;
(2)事件B是已经发生的确定事实,且已知每种事件A发生条件下事件B发生的概率,即P(B|Ai),i=1,2,…,n;
(3)P(B)未知,需要使用全概率公式计算得到.
学以致用
2.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1,货车中途停车修理的概率为0.02,客车为0.01.今有一辆汽车中途停车修理,则该汽车是货车的概率为 .
答案:0.8
解析:设B=“中途停车修理”,A1=“经过的是货车”,A2=“经过的是客车”,则B=A1B∪A2B,
三 两个公式的综合应用
典例剖析
3.某种仪器由三个部件组装而成.假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别为0.8,0.7与0.9.已知如果三个部件都是优质品,那么组装后的仪器一定合格;如果有一个部件不是优质品,那么组装后的仪器不合格率为0.2;如果有两个部件不是优质品,那么组装后仪器的不合格率为0.6;如果有三个部件都不是优质品,那么组装后仪器的不合格率为0.9.
(1)求仪器的不合格率;
(2)如果已经发现一台仪器不合格,问它有几个部件不是优质品的概率最大.
解:记事件B=“仪器不合格”,Ai=“仪器上有i个部件不是优质品”,i=0,1,2,3.
显然Ω=A0∪A1∪A2∪A3,且A0,A1,A2,A3两两互斥.
根据题意得P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,
P(B|A3)=0.9,P(A0)=0.8×0.7×0.9=0.504,
P(A1)=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398,
P(A3)=0.2×0.3×0.1=0.006,
P(A2)=1-P(A0)-P(A1)-P(A3)=0.092.
比较结果可知,一台不合格的仪器中有一个部件不是优质品的概率最大.
规律总结 全概率公式和贝叶斯公式的使用策略
若随机试验可以分两个阶段进行,且第一阶段的各试验结果具体怎样未知,那么①如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率,则用全概率公式;②如果第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,一般用贝叶斯公式.
学以致用
3.一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病,在患有此种疾病的人群中通过化验有95%的人呈阳性反应,而未患有此种疾病的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应,某地区此种疾病患者人数占人口总数的0.5%,则:
(1)某人化验结果为阳性的概率为 ;
(2)若此人化验结果为阳性,则此人确实患有此病的概率为 .
解析:设A=“呈阳性反应”,B=“患有此种病”.
(1)P(A)=0.5%×95%+99.5%×1%=1.47%.
随堂训练
1.(多选题)下列说法不正确的是( )
A.P(B|A)
C.0D.P(A|A)=0
答案:ACD
2.已知在某地区所有男性中有5%患有色盲症,所有女性中有0.25%患有色盲症.在该地区随机抽一人发现患色盲症的概率为 (假设该地区男性与女性的人数相等).
答案:0.026 25
解析:设A=“抽的男性”,B=“抽的女性”,C=“这人患色盲症”,
则P(C|A)=0.05,P(C|B)=0.002 5,
P(A)=0.5,P(B)=0.5,
则P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)
=0.5×0.05+0.5×0.002 5=0.026 25.
3.3个箱子中装有同种型号的乒乓球,第1个箱子中乒乓球的次品率为4%,第2个箱子中乒乓球的次品率为2%,第3个箱子中乒乓球的次品率为5%,现将这些乒乓球混放在一起,已知第1,2,3个箱子装的乒乓球个数分别占总数的30%,40%,30%.
(1)任取一个乒乓球,计算它是次品的概率;
(2)若取到的乒乓球是次品,计算它是第i(i=1,2,3)个箱子里的概率.
解:设事件B=“取到的乒乓球是次品”,Ai=“乒乓球为第i个箱子里的”,i=1,2,3,
则Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3两两互斥.
由题意得P(A1)=0.3,P(A2)=0.4,P(A3)=0.3.
P(B|A1)=0.04,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.05.
(1)由全概率公式,
得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=0.3×0.04+0.4×0.02+0.3×0.05=0.035.
(2)“若取到的乒乓球是次品,计算它是第i(i=1,2,3)个箱子里的概率”就是计算在B发生的条件下,事件Ai发生的概率,
4.学生在做一道有4个选项的单项选择题时,若他不会做这道题,则随机猜测(每个选项被选到的机会是等可能的).现某道题,从卷面上看是答对了,试在以下情况下求学生确实会做这道题(会做这道题意味着一定能答对这道题)的概率.
(1)学生会做这道题的概率是0.5;
(2)学生会做这道题的概率是0.2.
解:设事件A=“学生答对了”,B=“学生会做这道题”,则“确实会做这道题”的概率,就是计算在A发生的条件下,事件B发生的概率,即P(B|A).(共37张PPT)
7.2 离散型随机变量及其分布列
课前·基础认知
课堂·重难突破
素养·目标定位
随堂训练
素养 目标定位
目 标 素 养
1.通过具体实例,了解离散型随机变量的概念,会用离散型随机变量描述随机现象.
2.能够求解某些简单的离散型随机变量的分布列.
3.理解两点分布的定义,并能简单地运用.
4.通过学习,提升数学抽象及数学运算的核心素养.
知 识 概 览
课前·基础认知
1.随机变量
一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为 随机变量 .
2.离散型随机变量
(1)定义:可能取值为 有限个 或可以 一一列举 的随机变量,我们称之为离散型随机变量.
(2)特征:
①取值依赖于样本点;
②所有可能取值是明确的.
(3)表示:通常用大写英文字母表示随机变量,例如 X,Y,Z ;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z.
注:引入随机变量实现了样本点的数量化.
微思考1随机变量与函数有怎样的关系
提示:
相同点 随机变量和函数都是一种对应
区别 随机变量是随机试验的结果到实数的对应,函数是实数到实数的对应
联系 随机试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域
3.离散型随机变量的分布列
(1)一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率 P(X=xi)=pi ,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称 分布列 .
(2)与函数的表示法类似,离散型随机变量的分布列也可以用 表格 表示,如下表:
还可以用 图形 表示.
(3)根据概率的性质,离散型随机变量分布列具有下述两个性质:
①pi ≥ 0,i=1,2,…,n;
②p1+p2+…+pn= 1 .
微思考2求离散型随机变量的分布列的步骤是什么
提示:求离散型随机变量的分布列的步骤:
(1)找出随机变量所有可能的取值xi(i=1,2,3,…,n);
(2)求出相应的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,3,…,n);
(3)列成表格形式.
4.两点分布
我们称X服从 两点分布 或 0—1分布 .
微思考3 若随机变量X的分布列为
那么X服从两点分布吗
提示:不服从两点分布.两点分布中X的取值只能是0,1.
课堂·重难突破
一 离散型随机变量的判定
典例剖析
1.指出下列随机变量是不是离散型随机变量,并说明理由.
(1)一个沿数轴进行随机运动的质点,它在数轴上的位置;
(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数;
(3)某林场树木最高达30 m,则此林场中树木的高度.
解:(1)不是离散型随机变量.
一个沿数轴进行随机运动的质点,它在数轴上的位置是连续变化的,因此不是一个离散型随机变量.
(2)是离散型随机变量.
因为从10个球中任取3个球,可能的结果有以下几种:3个白球;2个白球和1个黑球;1个白球和2个黑球;3个黑球,所以所含白球的个数可以一一列出,符合离散型随机变量的定义.
(3)不是离散型随机变量.
虽然林场树木的高度是一个随机变量,但它可以取区间(0,30]上的一切值,无法一一列举,所以不是离散型随机变量.
规律总结 判断离散型随机变量的方法
(1)明确随机试验的所有可能结果;
(2)将随机试验的结果数量化;
(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出,若能一一列出,则该随机变量是离散型随机变量,否则不是.
学以致用
1.下列所述:
①某加工厂加工的一批钢管的外径与规定的外径尺寸之差X;
②某报社一天内收到的投稿件数X;
③某地区一天之内的温度X;
④一位射击手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用X表示该射击手在一次射击中的得分.
其中X是离散型随机变量的是( )
A.②③ B.②④ C.③④ D.①④
B
解析:②④中的X可以取的值可以一一列举出来,而①③中的X可以取某一区间内的一切值,不能一一列举.
二 离散型随机变量分布列的性质
典例剖析
解:由题意得,离散型随机变量X的分布列可用表格表示为
互动探究
规律总结 离散型随机变量分布列性质的应用
(1)利用离散型随机变量的分布列的性质可以求与概率有关的参数的值或取值范围,还可以检验所求分布列是否正确.
(2)由于离散型随机变量的各个可能取值表示的事件是彼此互斥的,因此离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.
学以致用
2.已知随机变量X的分布列:
则a= ,P(X≥4)= , P(2≤X<5)= .
三 两点分布
典例剖析
3.袋中装有除颜色外其他完全相同的3个红球,2个绿球,从中摸出1个球,定义X= 求X的分布列.
规律总结 “两步法”判断一个分布是不是两点分布
(1)看取值:随机变量只取两个值0和1.
(2)验概率:检验P(X=0)+P(X=1)=1是否成立.
若一个分布满足以上两点,则该分布是两点分布,否则不是两点分布.
学以致用
3.袋内有10个白球,5个红球,从中摸出2个球,记
X= 求X的分布列.
解:由题设可知X服从两点分布.
随堂训练
1.(多选题)袋中有2个黑球、6个红球,从中任取2个球,不能作为随机变量的是( )
A.取到的球的个数 B.取到红球的个数
C.至少取到一个红球 D.至少取到一个红球的概率
答案:ACD
解析:选项A,取值不具有随机性;选项C,是一个事件而非随机变量;选项D,概率值是一个定值而非随机变量,选项B可以作为随机变量.故选ACD.
2.随机变量X是某城市1天之中发生的火警次数,随机变量Y是某城市1天之内的温度,随机变量Z是某火车站1小时内的旅客流动人数.这三个随机变量中不是离散型随机变量的是( )
A.X和Z B.只有Y
C.Y和Z D.只有Z
答案:B
解析:某城市1天之内的温度不能一一列举,故Y不是离散型随机变量.
3.设X是一个离散型随机变量,其分布列如下表所示,则q=( )
答案:B
4.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X描述一次试验的成功次数,则P(X=0)等于( )
答案:B
解析:设P(X=1)=p,则P(X=0)=1-p.
5.甲进行3次射击,甲击中目标的概率为 ,记甲击中目标的次数为X,则X的所有可能取值为 .
答案:0,1,2,3
解析:甲可能在3次射击中,一次也未中,也可能击中1次,2次,3次.
6.将一枚骰子(六点)抛掷两次,求两次抛掷出的最大点数X的分布列.
解:将一枚骰子连续抛掷两次,样本空间Ω包含36个等可能的样本点,其最大点数X可能取的值为1,2,3,4,5,6.
因此X的分布列为(共41张PPT)
7.3.1 离散型随机变量的均值
课前·基础认知
课堂·重难突破
素养·目标定位
随堂训练
素养 目标定位
目 标 素 养
1.通过具体实例,理解离散型随机变量的均值的意义和性质,会根据离散型随机变量的分布列求出均值.
2.掌握两点分布的均值;会利用离散型随机变量的均值,解决一些相关的实际问题.
3.通过学习,提升直观想象和数学运算的核心素养.
知 识 概 览
课前·基础认知
1.离散型随机变量的均值
一般地,若离散型随机变量X的分布列如下表所示.
均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的 平均水平 .
微思考 离散型随机变量的均值与样本平均值之间有什么区别
提示:离散型随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本平均值是一个随机变量,它随样本抽取的不同而变化.
微训练1若随机变量X的分布列为
则E(X)=( )
答案:C
2.两点分布
如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=0×(1-p) +1×p=p.
3.均值的性质
E(aX+b)= aE(X)+b .
微训练2设E(X)=10,则E(3X+5)= .
答案:35
解析:E(3X+5)=3E(X)+5=3×10+5=35.
课堂·重难突破
一 两点分布的均值
典例剖析
1.某运动员投篮命中率为p=0.6,求投篮1次命中次数X的均值.
解:投篮1次,命中次数X的分布列如下表:
因为随机变量X服从两点分布,所以E(X)=p=0.6.
学以致用
1.若X的分布列为
则E(X)=( )
答案:A
二 离散型随机变量的均值公式及性质
典例剖析
2.已知随机变量X的分布列如下:
(1)求m的值;
(2)求E(X);
(3)若Y=2X-3,求E(Y).
(3)(方法一)由公式E(aX+b)=aE(X)+b,
规律总结 1.该类题目属于已知离散型随机变量的分布列求均值,求解方法是直接套用公式E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn求解.
2.对于aX+b型的随机变量,可利用均值的性质求解,即E(aX+b)=aE(X)+b;也可以先列出aX+b的分布列,再用均值公式求解,比较两种方式显然前者较方便.
学以致用
2.已知随机变量X的分布列为
且Y=aX+3,若E(Y)=-2,则a的值为 .
答案:-3
三 求离散型随机变量的均值
典例剖析
3.已知箱子中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.
(1)求X的分布列;
(2)求X的均值E(X).
解:(1)由题意得X可以取3,4,5,6,
所以X的分布列为
规律总结 求离散型随机变量的均值的步骤
(1)确定取值:根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值;
(2)求概率:求X取每个值的概率;
(3)写分布列:写出X的分布列;
(4)求均值:由均值的定义求出E(X).
其中写分布列是求解此类问题的关键.
学以致用
3.一个盒子里有1个红球,1个绿球,2个黄球,四个除颜色外完全相同的球,每次取一个,不放回,取出红球即停,设取出黄球的个数为Y,试求E(Y).
四 离散型随机变量均值的实际应用
典例剖析
4.某学校组织环保知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误,则该同学比赛结束;若回答正确,则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;
(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题 并说明理由.
规律总结
概率模型的解答步骤
(1)审题,确定实际问题是哪一种概率模型,可能用到的事件类型,所用的公式有哪些.
(2)确定随机变量的分布列,计算随机变量的均值.
(3)根据实际意义,回答概率、均值等所表示的结论.
学以致用
4.在一次射击比赛中,运动员甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4,0.1,0.5;运动员乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1,0.6,0.3.那么两名运动员获胜希望较大的是谁
解:设这次射击比赛运动员甲得X1分,运动员乙得X2分,则分布列分别如下:
根据均值公式得E(X1)=1×0.4+2×0.1+3×0.5=2.1;
E(X2)=1×0.1+2×0.6+3×0.3=2.2.
因为E(X2)>E(X1),所以这次射击比赛运动员乙得分的均值较大,所以运动员乙获胜的希望较大.
X1 1 2 3
P 0.4 0.1 0.5
X2 1 2 3
P 0.1 0.6 0.3
随堂训练
1.设随机变量X的分布列为P(X=k)= ,k=1,2,3,4,则E(X)的值为
( )
A.2.5 B.3.5
C.0.25 D.2
答案:A
2.抛掷一枚硬币,规定正面朝上得1分,反面朝上得-1分,则得分X的均值为( )
A.0 B.
C.1 D.-1
答案:A
3.若p为非负实数,随机变量X的分布列为
则E(X)的最大值为( )
答案:B
4.两封信随机投入A,B,C三个空邮箱,则A邮箱的信件数X的均值E(X)=( )
答案:B
解析:两封信随机投入A,B,C三个空邮箱,共有32=9种情况.
依题意,X的所有可能取值为0,1,2,
5.节日期间,某种鲜花进货价是2.5元/束,销售价5元/束;节日卖不出去的鲜花以1.6元/束的价格处理.根据前五年销售情况预测,节日期间这种鲜花的需求量X的分布列如下表所示:
X 200 300 400 500
P 0.20 0.35 0.30 0.15
若进这种鲜花500束,则利润的均值为 .
答案:706
解析:由分布列可以得到
E(X)=200×0.2+300×0.35+400×0.3+500×0.15=340,
因此利润的均值为340×5+(500-340)×1.6-500×2.5=706.
6.预测某地5月1日至14日的空气质量指数(AQI)趋势图如图所示.空气质量指数小于等于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该地,
并停留2天.
(1)求此人到达当日空气
质量优良的概率;
(2)设X是此人停留期间空
气质量优良的天数,求X的
分布列与均值.
解:(1)设B表示事件“此人到达当日空气质量优良”,由题图可知,在5月1日到5月13日这13天中,1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良,(共41张PPT)
7.3.2 离散型随机变量的方差
课前·基础认知
课堂·重难突破
素养·目标定位
随堂训练
素养 目标定位
目 标 素 养
1.通过具体实例,理解离散型随机变量方差的概念和实际意义.
2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题.
3.掌握方差的性质以及两点分布方差的求法,会利用公式求方差.
4.通过学习,提升数学运算和数学建模的核心素养.
知 识 概 览
课前·基础认知
1.离散型随机变量的方差、标准差
(1)设离散型随机变量X的分布列如下表所示.
(2)随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小,随机变量的取值越 集中 ;方差或标准差越大,随机变量的取值越 分散 .在具体问题中可反映“发挥的稳定性”“投资风险的大小”等.
微思考 随机变量的方差与样本方差的关系是什么
提示:随机变量的方差是总体的方差,它是一个常数,样本的方差是随机变量,是随样本的变化而变化的.对于简单随机样本,随着样本量的增加,样本的方差越来越接近于总体的方差.
2.离散型随机变量方差的线性运算性质
(1)设a,b为常数,则D(aX+b)= a2D(X) .
(2)D(C)=0(C为常数).
3.两点分布的方差
若随机变量X服从两点分布,则D(X)=(1-p)2p+p2(1-p)=p(1-p).
课堂·重难突破
一 求离散型随机变量的方差、标准差
典例剖析
1.甲、乙两人进行定点投篮游戏,投篮者若投中,则继续投篮,否则由对方投篮,第一次由甲投篮.已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为 .设在前3次投篮中,乙投篮的次数为X,求X的分布列、均值和方差.
规律总结 求离散型随机变量X的方差的步骤:
(1)理解X的意义,写出X的所有可能取值;
(2)求X取各个值的概率,写出分布列;
(3)根据分布列,求出期望E(X);
(4)根据公式计算方差.
互动探究
(变条件)将“乙投篮的次数为X”改为“甲投篮的次数为X”,求X的分布列、均值和方差.
学以致用
1.2022年北京冬奥会结束后,为了继续推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是:滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量X(单位:元),求X的分布列与均值E(X),方差D(X).
二 离散型随机变量的方差公式及性质
典例剖析
2.(多选题)设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结果正确的有( )
A.q=0.1 B.E(X)=2,D(X)=1.4
C.E(X)=1.8,D(X)=2 D.E(Y)=5,D(Y)=7.2
答案:AD
解析:由离散型随机变量X的分布列的性质得q=1-0.4-0.1-0.2-0.2=0.1,
E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,
D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,
又Y满足Y=2X+1,
所以E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2.
规律总结
与离散型随机变量方差性质有关问题的解题思路
对于变量间存在关系的方差,在求解过程中应注意方差性质的应用,如D(aX+b)=a2D(X).
学以致用
2.已知随机变量X的分布列如表所示,D(X)表示X的方差,则D(2X+1)= .
答案:2
三 方差的实际应用
典例剖析
3.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X,Y,已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
(1)求X,Y的分布列;
(2)求X,Y的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击技术.
解:(1)由题意,得0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.
因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,
所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.
所以X,Y的分布列分别为
X 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
Y 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)由(1)得,E(X)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2;
E(Y)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7;
D(X)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2 ×0.1=0.96;
D(Y)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2 ×0.2=1.21.
由于E(X)>E(Y),D(X)规律总结 利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤
(1)比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,先计算均值,分析平均水平的高低.
(2)计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析水平的稳定性.
(3)得出结论.
学以致用
3.如果有甲、乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息.
甲单位不同职 位月工资X/元 5 200 5 400 5 600 5 800
获得相应职位 的概率P 0.4 0.3 0.2 0.1
乙单位不同职 位月工资Y/元 5 000 5 400 5 800 6 200
获得相应职位 的概率P 0.4 0.3 0.2 0.1
那么根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位
解:据已知分布列可得E(X)=E(Y)=5 400,
D(X)=40 000,D(Y)=160 000.
因为E(X)=E(Y),D(X)所以如果你希望不同职位的工资差距小一些,就选择甲单位;如果你希望不同职位的工资差距大一些,就选择乙单位.
随堂训练
1.已知随机变量X的分布列为P(X=k)= ,k=3,6,9,则D(X)等于
( )
A.6 B.9
C.3 D.4
答案:A
2.已知随机变量X的分布列为
X -1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
则D(X)等于( )
A.0.7 B.0.61
C.-0.3 D.0
答案:B
解析:E(X)=-1×0.5+0×0.3+1×0.2=-0.3,
D(X)=0.5×(-1+0.3)2+0.3×(0+0.3)2+0.2×(1+0.3)2=0.61.
3.若随机变量X服从两点分布,且成功的概率p=0.5,则E(X)和D(X)分别为( )
A.0.5和0.25 B.0.5和0.75
C.1和0.25 D.1和0.75
答案:A
解析:E(X)=p=0.5,D(X)=p(1-p)=0.5×0.5=0.25.
5.有两台自动包装机甲与乙,包装质量分别为随机变量X1,X2,已知E(X1)=E(X2),D(X1)>D(X2),则自动包装机 的质量较好.(填“甲”或“乙”)
答案:乙
解析:因为E(X1)=E(X2),D(X1)>D(X2),
所以乙包装机的质量稳定.
6.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示,若E(X)=0,D(X)=1,则a= ,b= .
7.编号为1,2,3的3名学生随意坐入编号为1,2,3的3个座位,每名学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的人数是随机变量X,求E(X)和D(X).
解:随机变量X的所有可能取值为0,1,3,X=0表示3名同学全坐错了,有2种情况,即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生,(共58张PPT)
7.4.1 二项分布
7.4.2 超几何分布
课前·基础认知
课堂·重难突破
素养·目标定位
随堂训练
素养 目标定位
目 标 素 养
1.通过具体实例了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征.
2.通过具体实例,了解超几何分布及其均值.
3.能用二项分布和超几何分布解决简单的实际问题.
4.通过学习,提升数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
知 识 概 览
课前·基础认知
1.n重伯努利试验
(1)伯努利试验
我们把只包含 两个 可能结果的试验叫做伯努利试验.
(2)n重伯努利试验
我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为 n重伯努利试验 .
n重伯努利试验具有如下共同特征
①同一个伯努利试验重复做n次.
(注:“重复”意味着各次试验成功的概率相同)
②各次试验的结果相互独立.
微思考1 n重伯努利试验定义中“重复”的含义是什么 在相同条件下,有放回地抽样试验是n重伯努利试验吗
提示:“重复”意味着各次试验成功的概率相同.在相同条件下,有放回地抽样试验是n重伯努利试验,其满足n重伯努利试验的特征.
2.二项分布
(1)一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0(2)如果X~B(n,p),那么E(X)=np, D(X)=np(1-p).
微思考2 二项分布与两点分布有什么关系
提示:(1)两点分布的试验次数只有一次,试验结果只有两种:事件A发生(X=1)或不发生(X=0).
二项分布是指在n重伯努利试验中事件A发生的次数X的分布列,试验次数为n次(每次试验的结果也只有两种:事件A发生或不发生).
试验结果有(n+1)种:事件A恰好发生0次,1次,2次,…,n次.
(2)二项分布是两点分布的一般形式,两点分布是一种特殊的二项分布,即n=1的二项分布.
3.超几何分布
一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,
则X的分布列为P(X=k)= ,k=m,m+1,m+2,…,r.
其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M}, r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
4.服从超几何分布的随机变量的均值
设随机变量X服从超几何分布,则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中,不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令
注:对于不放回抽样,当n远远小于N时,每抽取一次后,对N的影响很小,此时,超几何分布可以用二项分布近似.
微思考3 不放回抽取和有放回抽取有何不同
提示:抽取次数不同,不放回抽取只抽取一次,一次抽取n个,有放回抽取要抽取n次,每次抽取一个;概率模型不同,不放回抽取服从超几何分布,有放回抽取服从二项分布.
课堂·重难突破
一 n重伯努利试验的概率问题
典例剖析
1.现有4人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子(六点)决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
(1)求这4人中恰有2人去参加甲游戏的概率;
(2)求这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率.
(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则B=A3∪A4.
由于A3与A4互斥,
规律总结 n重伯努利试验概率求法的步骤
(1)判断:依据n重伯努利试验的特征,判断所给试验是不是n重伯努利试验.
(2)分拆:判断所求事件是否需要分拆.
(3)计算:就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件的概率加法公式计算.
学以致用
1.已知某人每次投篮投中的概率为 ,计划投中3次则结束投篮,则此人恰好在第五次结束投篮的概率是 .
二 二项分布及其应用
典例剖析
2.核酸检测是诊断是否确诊为某病毒感染的重要依据,首先取病人的唾液或咽拭子的样本,再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质,若有病毒,样本检测会呈现阳性,否则为阴性.多个样本检测时,既可以逐个化验,也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有病毒,则混合样本化验结果就会呈阳性.若混合样本呈阳性,则将该组中各个样本再逐个化验;若混合样本呈阴性,则该组各个样本均为阴性.根据统计发现,疑似病例核酸检测呈阳性的概率为 .现用两种方案对4例疑似病例进行核酸检测.
(1)方案一:4例逐个化验,设检测结果呈阳性的人数为X,求X的分布列;
(2)方案二:4例平均分成两组化验,设需要检测的次数为Y,求Y的分布列.
规律总结 二项分布实际应用问题的解题思路
(1)根据题意设出随机变量.
(2)分析出随机变量服从二项分布.
(3)找到参数n(试验的次数)和p(事件发生的概率).
(4)写出二项分布的分布列.
互动探究
(变问法)问:例题两种方案哪一种效率更高
学以致用
2.某商场为刺激消费,拟按以下方案进行促销:顾客每消费500元便得到抽奖券一张,每张抽奖券的中奖概率为 ,若中奖,商场返还顾客现金100元.某顾客现购买一部价格为2 300元的手机,得到抽奖券四张.每次抽奖互不影响.
(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为X,求随机变量X的分布列;
(2)设该顾客购买手机的实际支出为Y(单位:元),用X表示Y,并求随机变量Y的均值.
解:(1)因为每张奖券是否中奖是相互独立的,
又由题意可知Y=2 300-100X,
所以E(Y)=E(2 300-100X)=2 300-100E(X)
=2 300-100×2=2 100.
即所求随机变量Y的均值为2 100.
三 二项分布的均值与方差
典例剖析
答案:D
(2)某学校实行自主招生,参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答,至少答对3个才能通过初试.已知某同学能答对每个试题的概率为 ,若答对一题得5分,答错或不答得0分.记答对题的个数为X,答题的得分为Y,求Y的分布列及均值和方差.
规律总结 解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布,第二步代入相应的公式求解.若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p);若X服从二项分布,即X~B(n,p),则D(X)=np(1-p).
学以致用
答案:(1)C (2)D
四 超几何分布的应用
典例剖析
4.在一次购物抽奖活动中,假设10张奖券中有一等奖奖券1张,可获价值50元的奖品,有二等奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品,其余6张没有奖品.
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张,求中奖张数X的分布列;
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张,
①求中奖张数X的分布列;
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元,求Y的分布列.
解:(1)抽奖一次,只有中奖和不中奖两种情况,
故X的取值只有0和1两种情况.
(2)①由题意可知,10张奖券中4张有奖,6张没有奖,任意抽取2张,已知中奖张数为X,则X服从超几何分布,且N=10,M=4,n=2,X的分布列为
②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60,且
规律总结 求超几何分布的分布列的步骤
第一步:验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N,M,n的值;
第二步:根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率;
第三步:用表格的形式列出分布列.
学以致用
4.端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中随机取3个.
(1)求三种粽子各取到1个的概率;
(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与均值.
解:(1)设A表示事件“三种粽子各取到1个”.
(2)由题意知,X的所有可能值为0,1,2,且X服从超几何分布,其中N=10,M=2,n=3,则
随堂训练
1.接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施.根据实验数据,人在接种某种病毒疫苗后,80%不会感染这种病毒,若有4人接种了这种疫苗,则最多1人被感染的概率为( )
答案:A
解析:由题意可得1-0.8=0.2,设感染这种病毒的人数为X,
则随机变量X服从二项分布X~B(4,0.2),
2.一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球使用,用完后装回盒中(新球使用后为旧球),此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为( )
答案:C
解析:X=4表示取出的3个球为2个旧球1个新球,
答案:B
4.种植某种树苗,成活率为0.9,若种植这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率约为( )
A.0.33 B.0.066
C.0.5 D.0.45
答案:A
解析:设A=“树苗成活”,则P(A)=0.9.
用X表示事件A发生的次数,则X~B(5,0.9).
恰好成活4棵等价于X=4,于是P(X=4)= 0.94×0.1≈0.33.
答案:ABD
解析:设此射手射击4次命中次数为X,每次命中的概率为p,
则X~B(4,p).
答案:C
7.已知随机变量X服从二项分布,即X~B(n,p),且E(X)=7,
D(X)=6,则p等于( )
答案:A
8.某10人组成兴趣小组,其中有5名女生,从这10人中任选4人参加某种活动,用X表示4人中的女生人数,则P(X=3)= .
9.某单位有6名工作人员,他们相互独立借助互联网开展工作,已知在某一时段每人上网的概率都是0.5.
(1)求在这一时段至少3人同时上网的概率;
(2)在这一时段至少几人同时上网的概率小于0.3
10.某中学选派40名学生参加该市高中生技术设计创意大赛的培训,他们参加培训的次数统计如表所示:
培训次数 1 2 3
参加人数 5 15 20
(1)从这40名学生中任选3名,求这3名学生中培训次数是3的学生人数Y的分布列;
(2)从这40名学生中任选2名,用X表示这2人参加培训次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列及均值E(X).(共40张PPT)
7.5 正态分布
课前·基础认知
课堂·重难突破
素养·目标定位
随堂训练
素养 目标定位
目 标 素 养
1.通过误差模型,了解服从正态分布的随机变量.
2.通过具体实例,借助频率分布直方图的几何直观,了解正态分布的特征.
3.了解正态分布的均值、方差及其含义.
4.通过学习,提升数学抽象和数学运算的核心素养.
知 识 概 览
课前·基础认知
1.正态分布的有关概念
(1)随机变量不是离散型的,它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴,但取一点的概率为 0 ,我们称这类随机变量为连续型随机变量.
其中μ∈R,σ>0为参数.对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为 正态密度函数 ,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布,记为 X~N(μ,σ2) .特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从 标准正态分布 .
若X~N(μ,σ2),则如图所示,X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积,而P(a≤X≤b)为图中区域B的面积.
2.正态曲线的特点
(1)曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称;
(3)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.
微训练(1)若正态曲线关于y轴对称,则它所对应的正态总体均值为( )
A.1 B.-1
C.0 D.不确定
答案:C
解析:由正态曲线性质知均值为0.
(2)若正态分布N(0,1)在区间(-2,-1)和(1,2)内取值的概率为P1,P2,则二者大小关系为( )
A.P1=P2 B.P1C.P1>P2 D.不确定
答案:A
解析:根据正态曲线的特点,图象关于直线x=0对称,可得在区间(-2,-1)和(1,2)内取值的概率P1,P2相等.
3.参数μ,σ对正态曲线形状的影响
(1)在参数σ取固定值时,正态曲线的位置由μ确定,且随着μ的变化而沿 x轴 平移.
(2)当μ取定值时,因为正态曲线的峰值 与σ成反比,而且对任意的σ>0,正态曲线与x轴之间的区域的面积总为1.因此,当σ较小时,峰值高,正态曲线“ 瘦高 ”,表示随机变量X的分布比较 集中 ;当σ较大时,峰值低,正态曲线“ 矮胖 ”,表示随机变量X的分布比较 分散 .
(3)参数μ反映了正态分布的集中位置,σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度.
若X~N(μ,σ2),则E(X)= μ ,D(X)= σ2 .
4.3σ原则
(1)假设X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的k∈N*,P(μ-kσ≤X ≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.特别地,
P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈ 0.682 7 ,
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈ 0.954 5 ,
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈ 0.997 3 .
(2)在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.
课堂·重难突破
一 正态曲线及其性质
典例剖析
1.一个正态曲线的图象如图所示,则服从该正态分布的随机变量的均值μ= ,方差σ2= .
答案:20 2
规律总结 利用正态曲线的性质求参数μ,σ
(1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此性质结合图象求μ.
学以致用
1.某市某次高三教学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩的正态密度曲线如图所示(由于人数众多,成绩服从正态分布),则下列说法正确的是( )
A.甲科总体的标准差最小
B.丙科总体的平均数最小
C.乙科总体的标准差及平均数都居中
D.甲、乙、丙的总体的平均数不相同
答案:A
解析:由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等,由正态曲线的性质,可知当μ取定值,σ较大时,峰值低,正态曲线“矮胖”;σ较小时,峰值高,正态曲线“瘦高”,故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.故选A.
二 利用正态分布的性质求概率
典例剖析
2.设X~N(1,22),试求:
(1)P(-1≤X≤3);
(2)P(3≤X≤5);
(3)P(X>5);
解:因为X~N(1,22),所以μ=1,σ=2.
(1)P(-1≤X≤3)=P(1-2≤X≤1+2)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7.
(2)因为P(3≤X≤5)=P(-3≤X≤-1),
规律总结 正态变量在某个区间内取值概率的求解策略
(1)充分利用正态曲线的对称性和正态曲线与x轴之间的区域的面积为1.
(2)熟记P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤ μ+3σ)的值.
(3)注意概率值的求解转化:
①P(X②P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a);
学以致用
2.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.8,则P(0A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2
答案:C
解析:∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2),
∴μ=2,对称轴为直线x=2.
∵P(X<4)=0.8,∴P(X≥4)=P(X≤0)=0.2,
∴P(0三 正态分布的实际应用
典例剖析
3.在某次数学考试中,考生的成绩X服从一个正态分布,即X~N(90,100).
(1)试求考试成绩X位于区间[70,110]内的概率是多少
(2)若这次考试共有2 000名考生,试估计考试成绩落在区间[80,100]内的考生大约有多少人
解:因为X~N(90,100),所以μ=90,σ=10.
(1)由μ=90,σ=10,得μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110.
由于正态变量在区间[μ-2σ,μ+2σ]内取值的概率约是0.954 5,故考试成绩X落在区间[70,110]内的概率约是0.954 5.
(2)由μ=90,σ=10,得μ-σ=80,μ+σ=100.
由于正态变量在区间[μ-σ,μ+σ]内取值的概率约是0.682 7,故考试成绩X落在区间[80,100]内的概率约是0.682 7.
这次考试共有2 000名考生参加,则考试成绩落在区间[80,100]内的考生大约有2 000×0.682 7≈1 365(人).
规律总结 利用3σ原则求某区间内取值概率的基本方法
(1)根据题目给出的条件确定μ与σ的值;
(2)将待求问题向[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]这三个区间转化;
(3)利用上述区间求出相应的概率.
学以致用
3.有一种精密零件,其尺寸X(单位:mm)服从正态分布N(20,4).若这批零件共有5 000个,试求:
(1)这批零件中尺寸在18~22 mm间的零件所占的百分比;
(2)试估计尺寸在24~26 mm间的零件大约有多少个
解:(1)∵X~N(20,4),∴μ=20,σ=2,∴μ-σ=18,μ+σ=22,
于是尺寸在18~22 mm间的零件所占的百分比大约是68.27%.
(2)∵μ-3σ=14,μ+3σ=26,μ-2σ=16,μ+2σ=24,
∴尺寸在24~26 mm间的零件所占的百分比大约是
因此尺寸在24~26 mm间的零件大约有
5 000×2.14%=107(个).
随堂训练
A.μ1<μ2,σ1<σ2 B.μ1<μ2,σ1>σ2
C.μ1>μ2,σ1<σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2
答案:A
解析:根据正态曲线的特点可知μ1<μ2,σ1<σ2.故选A.
2.若某校高一年级1 000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N(90,152),则此次考试成绩在区间[60,120]上的学生大约有
( )
A.997人 B.972人
C.955人 D.683人
答案:C
解析:依题意可知μ=90,σ=15,
故P(60≤X≤120)=P(90-2×15≤X≤90+2×15)≈0.954 5,
1 000×0.954 5≈955,故大约有学生955人.
3.设离散型随机变量X~N(0,1),则P(X≤0)= .
则P(3≤X≤7)= .
答案:0.682 7
解析:由题意可知X~N(5,4),且μ=5,σ=2,
故P(3≤X≤7)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7.
5.全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动,旨在全面提高国民体质和健康水平.某市的体育部门对某小区的4 000人进行了“运动参与度”统计评分,得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求这4 000人的“运动参与度”的平均得分 (同一组数据用该组区间的中点值作代表);
(2)由频率分布直方图可认为这4 000人的“运动参与度”的得分Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ,σ2分别取平均得分 和方差s2,那么这4 000人中“运动参与度”得分超过84.81分的人数估计有多少人
(3)现在用这4 000人得分的情况来估计全市所有人的得分情况,从全市随机抽取4人,记“运动参与度”的得分不超过84.81分的人数为X,求P(X≤3).
②Z~N(μ,σ2),P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.682 7,
P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5;
③0.841 354≈0.501.
解:(1)由题意知
中点值 45 55 65 75 85 95
频率 0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1
则 =45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1
=70.5.
因此这4 000人“运动参与度”的平均得分 为70.5分.
因此,这4 000人中“运动参与度”得分超过84.81分的估计有0.158 65×4 000=634.6≈635(人).
(3)全市所有人的“运动参与度”得分不超过84.81分的概率为1-0.158 65=0.841 35.由题意知,X~B(4,0.841 35),(共38张PPT)
第七章 随机变量及其分布
习题课二 离散型随机变量的均值
一 放回与不放回问题的均值
超几何分布描述的是不放回抽样问题,而二项分布描述的是放回抽样问题.超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题.
【典型例题1】在10件产品中有2件次品,连续抽3次,每次抽1件,求:
(1)不放回抽样时,抽取次品数X的均值;
(2)放回抽样时,抽取次品数Y的均值.
规律总结 不放回抽样服从超几何分布,放回抽样服从二项分布,求均值可利用公式代入计算.
【跟踪训练1】甲袋和乙袋中都装有除颜色外其他完全相同的红球和白球,已知甲袋中共有m个球,乙袋中共有2m个球,从甲袋中摸出1个球为红球的概率为 ,从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P2.
(1)若m=10,求甲袋中红球的个数;
(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后,从中摸出1个红球的概率是 ,求P2的值;
(3)设P2= ,若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球,每次摸出1个球,并且从甲袋中摸1次,从乙袋中摸2次.设X表示摸出红球的总次数,求X的分布列和均值.
所以X的分布列为
二 离散型随机变量的均值的常见类型
求离散型随机变量X的均值的步骤:
(1)理解X的意义,写出X可能的全部值;
(2)求X取每个值的概率;
(3)写出X的分布列;
(4)由均值的定义求E(X).
【典型例题2】设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.
(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取一个球,记下颜色后放回,再取一个球(每球取到的机会均等),记随机变量X为取出两球所得分数之和,求X的分布列及均值E(X).
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均相等)1个球,记随机变量Y为取出此球所得分数.若E(Y)= ,D(Y)= ,求a∶b∶c.
(2)由题意知Y的分布列为
规律总结 解此类题的关键首先是搞清离散型随机变量X取每个值时所对应的随机事件,然后利用排列、组合知识求出X取每个值时的概率,最后利用均值的公式计算.
【跟踪训练2】某名同学记住了10个数学公式中的m(m≤10)个,从这10个公式中随机抽取3个,若他记住2个公式的概率为 .
(1)求m的值;
(2)分别求他记住的数学公式的个数X与没记住的数学公式的个数Y的均值E(X)与E(Y),比较E(X)与E(Y)的关系,并加以说明.
即m(m-1)(10-m)=120,且m≥2.
解得m的值为6.
(2)由(1)知,记住的数学公式有6个,故X的可能取值为0,1,2,3.
没记住的数学公式有10-6=4个,
故Y的可能取值为0,1,2,3.
①E(X)>E(Y).说明记住公式个数的均值大于没记住公式个数的均值.
②E(X)+E(Y)=3.说明记住和没记住公式个数的均值之和等于随机抽取公式的个数.
三 与互斥、独立事件有关的分布列的均值
求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查,解答此类问题时应分清事件间的内部联系,在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件,并运用相应公式求解.
特别注意以下两公式的使用前提:
(1)若A,B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B),反之不成立.
(2)若A,B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B),反之成立.
【典型例题3】某校为激发本校学生学习党史、宣传党史的热情,引导同学们从历史中汲取智慧和力量,学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行,某校学生处组织开展“我家的红色宝藏”寻访展示系列活动.高二年级部计划将各班级推选的“红色宝藏”集中展览5天,选出“最具价值藏品”策划拍成纪录片,在庆祝大会上代表年级展示.现计划在五月份选定一周(周一至周五)展览藏品,若当天不下雨,则在“香樟大道”室外布展,如当天下雨,则移至“道梦空间”室内布展.天气预报显示,这一周周一至周五的5天时间内出现风雨天气的概率是:前2天均为 ,后3天均为 (假设每一天出现风雨天气是相互独立的).
(1)求至少有1天在“道梦空间”室内布展的概率;
(2)求在“香樟大道”室外布展的平均天数.
(2)设在“香樟大道”室外布展的天数为X,则X=0,1,2,3,4,5,
规律总结 若随机变量求某一值的概率较为复杂时,则可以利用分布列的性质求其概率.
【跟踪训练3】甲、乙两人进行围棋比赛,每局比赛甲胜的概率为 ,乙胜的概率为 ,没有和棋,采用五局三胜制,规定某人先胜三局则比赛结束,求比赛局数X的均值.
解:由题意,得X的所有可能取值是3,4,5.
四 均值问题的实际应用
均值在实际中有着广泛的应用,如体育比赛的安排和成绩预测,消费预测,工程方案的预测,产品合格率的预测,投资收益等,都可以通过随机变量的均值来进行估算.
【典型例题4】某公司计划购买
2台机器,该种机器使用三年后即被
淘汰.机器有一易损零件,在购进机
器时,可以额外购买这种零件作为
备件,每个200元.在机器使用期间,
若备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得柱状图如图所示.
以这100台机器在三年使用期内更换的易损零件数的频率代替1台机器在三年使用期内更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(1)求X的分布列;
(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;
(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个
解:(1)由题中柱状图并以频率代替概率可得,1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,且X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22.因此
P(X=16)=0.2×0.2=0.04,
P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16,
P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24,
P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24,
P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2,
P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08,
P(X=22)=0.2×0.2=0.04.
所以X的分布列为
(2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19.
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).
当n=19时,
E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4 040.
当n=20时,
E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4 080.
可知当n=19时所需费用的均值小于当n=20时所需费用的均值,故应选n=19.
规律总结 解答概率模型的步骤:
(1)审题,确定实际问题是哪一种概率模型,可能用到的事件类型,所用的公式有哪些;
(2)确定随机变量的分布列,计算随机变量的均值;
(3)对照实际意义,回答概率、均值等所表示的结论.
【跟踪训练4】某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数X的分布列为
商场经销一件该商品,采用1期
付款,其利润为200元;分2期或3
期付款,其利润为250元;分4期或
5期付款,其利润为300元.Y表示经销一件该商品的利润.
(1)求事件A“购买该商品的3名顾客中,至少有1名顾客采用1期付款”的概率P(A);
(2)求Y的分布列及均值E(Y).
X 1 2 3 4 5
P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
解:(1)由A表示事件“购买该商品的3名顾客中至少有1名顾客采用1期付款”知, 表示事件“购买该商品的3名顾客中无人采用1期付款”.
(2)Y的可能取值为200,250,300.
P(Y=200)=P(X=1)=0.4,
P(Y=250)=P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.2=0.4,
P(Y=300)=P(X=4)+P(X=5)=0.1+0.1=0.2,
因此Y的分布列为
E(Y)=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240(元).
Y 200 250 300
P 0.4 0.4 0.2(共41张PPT)
章末核心素养整合
专题归纳突破
知识体系构建
知识体系构建
专题归纳突破
专题一 条件概率与全概率公式
1.条件概率是学习相互独立事件的前提和基础,计算条件概率时,必须弄清要求的条件概率是在什么条件下发生的概率.
求条件概率主要有以下几种方法:
(2)针对古典概型,可通过缩减基本事件总数求解.
2.全概率公式:一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,有P(B)= P(Ai)P(B|Ai).
【典型例题1】(1)将三颗相同的骰子(六点)各掷一次,设事件A=“掷得的向上的三个点数都不相同”,B=“至少出现一个6点向上”,则P(B|A)=( )
答案:B
(2)若某新型病毒可能造成“持续人传人”,通俗点说就是存在甲传乙,乙又传丙,丙又传丁.那么甲、乙、丙就会被称为第一代、第二代、第三代传播者.假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95,0.90,0.85,健康的小明参加了一次多人宴会,事后知道,参加宴会的人有5名第一代传播者,3名第二代传播者,2名第三代传播者.试计算,小明参加聚会,仅和感染的10个人其中一个接触后感染的概率.
解:设事件A,B,C分别为和第一代、第二代、第三代传播者接触,
事件D为小明被感染,
则由已知得P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(C)=0.2,P(D|A)=0.95,
P(D|B)=0.90,P(D|C)=0.85,
则P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)
=0.95×0.5+0.90×0.3+0.85×0.2=0.915.
专题二 离散型随机变量的分布列、均值和方差
离散型随机变量的均值和方差应用问题的解题策略:
(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差公式进行计算;
(2)要注意观察随机变量的概率分布特征,若属于二项分布,可用二项分布的均值与方差公式计算;
(3)在实际问题中,若两个随机变量X1,X2,有E(X1)=E(X2)或E(X1)与E(X2)较为接近时,就需要用D(X1)与D(X2)来比较两个随机变量的稳定程度,即一般将均值最大(或最小)的方案作为最优方案,若各方案的均值相同,则选择方差最小(或最大)的方案作为最优方案.
【典型例题2】某产品按行业生产标准分成8个等级,等级系数X依次为1,2,…,8,其中X≥5为标准A,X≥3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品,产品的零售价为6元/件;乙厂执行标准B生产该产品,产品的零售价为4元/件,假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.
(1)已知甲厂产品的等级系数X1的分布列如下表:
X1 5 6 7 8
P 0.4 a b 0.1
且X1的均值E(X1)=6,求a,b的值;
(2)为分析乙厂产品的等级系数X2,从该厂生产的产品中随机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下:
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用该样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数X2的均值;
(3)在(1)(2)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具有可购买性 说明理由.
②“性价比”高的产品更具有可购买性.
解:(1)因为E(X1)=6,
所以5×0.4+6a+7b+8×0.1=6,
即6a+7b=3.2.
又由X1的分布列得0.4+a+b+0.1=1,
即a+b=0.5.
(2)由已知,得样本的频率分布表如下:
X2 3 4 5 6 7 8
f 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1
用该样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数X2的分布列如下:
X2 3 4 5 6 7 8
P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1
因此E(X2)=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1
=4.8,即乙厂产品的等级系数的均值为4.8.
(3)乙厂的产品更具有可购买性,理由如下:
甲厂产品的等级系数的均值为6,零售价为6元/件,
专题三 正态分布的实际应用
正态分布下两类常见的概率计算:
(1)利用正态密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称,曲线与x轴之间的面积为1;
(2)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]中的哪一个.
【典型例题3】(1)某商场经营的某种包装的大米质量X(单位:kg)服从正态分布N(10,σ2),根据检测结果可知P(9.9≤X≤10.1)=0.96.某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利,若该公司有1 000名职工,则分发到的大米质量在9.9 kg以下的职工数大约为( )
A.10 B.20
C.30 D.40
答案:B
所以分发到的大米质量在9.9 kg以下的职工数大约为
1 000×0.02=20.
(2)对一个物理量做n次测量,并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差εn~N ,为使误差εn在[-0.5,0.5]的概率不小于0.954 5,至少要测量几次 附:若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|≤2σ)≈0.954 5.
专题四 思想方法专题
1.转化与化归思想
将复杂事件的概率转化为简单事件的概率,即寻找所求事件与已知事件之间的关系.“所求事件”分几类(考虑加法公式,转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式,转化为相互独立事件).
(1)求甲队分别胜乙队和丙队的概率P1,P2;
(2)设在该次比赛中,甲队得分为X,求X的分布列及均值、方差.
解:(1)由题意“甲队胜乙队”的概率为P1,“甲队胜丙队”的概率为P2.
因为甲队获得第一名,所以甲队胜乙队且甲队胜丙队,
(2)X的可能取值为0,3,6.
当X=0时,甲队两场比赛皆输,其概率为
所以X的分布列为
2.方程思想
利用有关的概率公式和问题中的数量关系,建立方程(组),通过解方程(组)使问题获解.
(1)分别求甲、乙两地降雨的概率;
(2)3天假期中在甲、乙两地,仅有一地降雨的天数为X,求X的分布列、均值与方差.
解:(1)设甲、乙两地降雨的事件分别为A,B,
且P(A)=x,P(B)=y.
所以X的分布列为
3.分类讨论思想
分类讨论问题的实质是把整体化为部分来解决,化成部分从而增加题设条件,这是解分类讨论问题的指导思想.
【典型例题6】为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000名顾客进行奖励,规定:每名顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求:
①顾客所获的奖励额为60元的概率;
②顾客所获的奖励额的分布列及均值.
(2)商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每名顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.
解:(1)设顾客所获的奖励额为X,
(2)根据商场的预算,每名顾客的平均奖励额为60元,所以先寻找均值为60元的可能方案.
对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以均值不可能为60元.
如果选择(50,50,50,10)的方案,
因为60元是面值之和的最小值,
所以均值也不可能为60元,
因此可能的方案是(10,10,50,50)记为方案1.
对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.
以下是对这两个方案的分析:
对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1,则X1的分布列为
对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为X2,
则X2的分布列为
由于两种方案的奖励额的均值都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1小,因此应该选择方案2,即标有面值20元和40元的球各两个.