2.3.2 平面与平面垂直的判定
山西省祁县中学校 赵乾坤
【教学内容分析】本节课是高中数学人教A版必修二第二章“点、直线、平面之间的位置关系”第三节“线、平面垂直的判定及其性质”第3课时。前两节分别学习了“线面垂直的判定”和“直线和平面所成角”。面面垂直是垂直关系中的重点，是“转化”思想的又一重要体现。平面与平面垂直需要“二面角”的概念，二面角定量地反映了两个平面相交的位置关系，但是如何来度量二面角的大小是一个难点。根据“异面直线所成角”和“直线与平面所成角”的学习经验，自然想到用“平面化”的思想，进而给出二面角的平面角的概念。面面垂直是面面相交的特殊情况，生活中面面垂直的例子大量存在，引导学生观察、结合大量实例，再类比归纳平面与平面平行的判定定理的过程，自然地就获得了面面垂直的判定定理。
【学情分析】听课学生是我校高二年级340班，共有60名学生。这是一个高二理科班，班内不乏年级前十名的学生，基础相对扎实。在本节课之前，学生已经学习了人教A版必修1、3、4、5的全部课程。在必修2中从前面线面平行、面面平行、线面垂直等知识的学习过程中，已经把握了学习研究立体几何的一般方法——平面化，对线线、线面、面面间关系的转化也已经比较熟练，因此学习本节知识不会有太大困难。
【教学目标】
1、知识与技能
（1）理解二面角的有关概念；
（2）理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系；
（3）熟悉线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化．
2、过程与方法： 在观察物体模型直观感知、操作确认的基础上，通过对几个递进式问题的思考和探究获得对二面角的平面角及面面垂直的认识；
3、情感、态度与价值观：通过“直观感知、操作确认、推理证明”,培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.
【教学重点】平面与平面垂直的判定定理及其应用。
【教学难点】
二面角的平面角概念。
【教学策略分析】本节课采用问题导学的方法，整节课提出6个简短而直击要害的问题，激发学习兴趣，调动学生思维。严格遵循“直观感知—操作确认—思辨论证—度量计算”的认识过程展开知识内容。充分利用“观察”、“思考”、“探究”等，强调几何直觉，把空间观念的建立和空间想象能力的培养放到突出的位置。此外，教学中注重发展合情推理，降低证明要求，渗透公理化思想。
【教学过程】
情境激趣，问题导入；
空间两个平面有平行、相交两种位置关系.对于两个平面平行，我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论上有进一步的认识.
观察教室的墙面和地面，相邻两个墙面，打开的门和墙面，翻开的书的两页纸，都能给我们两平面相交的直观感觉，但是所涉及的两个平面的相对位置又不尽相同。我们该如何来刻画两个相交平面的相对位置呢？
实际上，两个平面相交时，他们的相对位置可由两个平面所成的“角”确定。
为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所称的角，如修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度。
目标引领，自主学习；
问题1 在平面几何中“角”是怎样定义的？构成角的基本要素有几个？类比平面内“角”的定义，在空间立体几何中，我们可以如何定义二面角？用你自己的话说一说。
（让学生根据自己的想象，类比平面内角的定义写出自己的想法。然后收集学生的想法，展示、比较、梳理，看哪些更合理。）
问题2 我们已经掌握了空间中角的本质特征，它的定义是什么呢？
请同学们阅读教材第68页第一自然段，然后在练习本上默写出定义，再分别用图形语言和符号语言表示二面角。
难点突破，合作探究；
你能举出一些生活中二面角的图形例子吗？
问题3 我们看到，各二面角的开口程度不同，我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些?如何度量二面角的大小呢？类比在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的研究方法，应该如何研究这个问题呢？写出你的研究方法.
（让学生思考、猜想，然后小组比较、交流，选择合理的方案，并引导解决“唯一性”等学生怀疑的问题。）
问题4 二面角的平面角的定义是什么？取值范围是什么？其中有哪些特殊角？类比两条直线互相垂直，如何定义两个平面互相垂直呢？请你阅读教材第68页二、三自然段，理解并记忆相关的知识。
二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.
二面角的平面角必须满足：
①角的顶点在棱上；②角的两边分别在两个面内；
③角的边都要垂直于二面角的棱；
?二面角的平面角大小与点O在棱上的位置无关，只与二面角的张角大小有关。
二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。
说明：（1）当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小为0°；当二面角的两个半平面展开合成一个平面时，规定二面角的大小为180°；
（2）二面角的范围：[ 0o, 180o ]．
平面角是直角的二面角叫做直二面角；
定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
（让学生举出一些生活中面面垂直的实例，并提醒学生定义本身就是判定两个平面互相垂直的一种方法即：找出并计算二面角的平面角等于。）
问题5 现在我们可以用二面角的大小判断两个平面是否垂直，但是操作性比较差，还能如何判定两个平面互相垂直呢？类比空间中线面垂直的研究思路，结合对下面实例的分析，提出你的猜想。
1.教室的相邻两个墙面都和教室地面垂直，两相邻墙面有什么共同特征？
2.打开的书本立在桌面上时，相邻页面和桌面垂直，页面有何共同特征？
3.教室的门面不论转动到什么位置都有门面垂直于地面，门面转动过程中保持了哪一个特征呢？
4．建筑工人如何检测所砌的墙面和地面是否垂直呢？
【设计意图】引导学生观察、联系、发现问题中面面垂直的共同特征即：其中一个平面过另外一个平面的一条垂线。再类比归纳平面与平面平行的判定定理的过程，从而大胆提出猜想：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
操作确认
根据上面猜想，长方体中，侧面过底面ABCD的一条垂线，从而应有 ，你能找到二面角的平面角加以确认吗？
问题6 平面与平面垂直的判定定理是什么？请你用文字语言、图形语言、符号语言分别表示。应用这个定理判断面面垂直的基本思路是什么？其中蕴含的基本思想是什么？
练习1: 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点. 求证：平面PAC⊥平面PBC
练习2：已知，（1）图中哪些平面互相垂直,为什么?（2）作出图中二面角的平面角。
【设计意图】1、进一步强化面面垂直判定定理的应用；2、为下一节求二面角的平面角作铺垫。
【课堂小结】
概念
二面角
二面角的平面角
两个平面互相垂直
平面与平面垂直的判定方法
定义法
平面与平面垂直的判定定理
3.数学思想方法
（1）类比法
类比平面内角的概念定义二面角
类比两直线垂直定义两平面垂直
类比面面平行判定定理归纳过程归纳面面垂直判定定理
（2）转化思想
“面面垂直”转化为“线面垂直”
“空间问题”转化为“平面问题”
【板书设计】
课件15张PPT。2.3.2 平面与平面垂直的判定定理山西省祁县中学校 赵乾坤教室的墙面和地面，相邻两个墙面，打开的门和墙面，翻开的书的两页纸，都能给我们两平面相交的感觉，但是所涉及的两个平面的相对位置又不尽相同。我们该如何来刻画两个相交平面的相对位置呢？问题1 在平面几何中“角”是怎样定义的？构成角的基本要素有几个？
类比平面内“角”的定义，在空间立体几何中，我们可以如何定义二面角？用你自己的话说一说。问题2 我们已经掌握了空间中角的本质特征，二面角的定义是什么呢？
阅读教材第68页第一段，然后在练习本上默写出定义，再分别用图形语言和符号语言表示二面角。问题3 我们看到，各二面角的开口程度不同，我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些?如何度量二面角的大小呢？类比在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的研究方法，应该如何研究这个问题呢？写出你的研究方法.问题4 二面角的平面角的定义是什么？取值范围是什么？其中有哪些特殊角？类比两条直线互相垂直，如何定义两个平面互相垂直呢？请你阅读教材第68页二、三自然段，理解并记忆相关的知识。问题5 现在我们可以用二面角的大小判断两个平面是否垂直，但是操作性比较差，还能如何判定两个平面互相垂直呢？类比空间中线面垂直的研究思路，结合对下面实例的分析，提出你的猜想。1.教室的相邻两个墙面都和教室地面垂直吗？
两相邻墙面有什么共同特征？2.打开的书本立在桌面上时，每页书所在平面和桌面垂直吗？
书页有何共同特征？3.教室的门面不论转动到什么位置都有门面垂直于地面，门面转动过程中保持了哪一个特征呢？4.建筑工人如何检测所砌的墙面和地面是否垂直呢？如图长方体中，侧面A1D过底面ABCD的一条垂线A1A，根据上面猜想，应有侧面A1D与底面ABCD垂直，你能找到相应二面角的平面角加以确认吗？ACBDA1C1B1D1问题6 平面与平面垂直的判定定理是什么？请你用文字语言、图形语言、符号语言分别表示。应用这个定理判断面面垂直的基本思路是什么？其中蕴含的基本思想是什么？证明：由AB是圆O的直径，可得AC⊥BC平面PAC⊥平面PBC练习1: 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点. 求证：平面PAC⊥平面PBC练习2 如图已知（1）图中哪些平面互相垂直,为什么?
（2）作出图中二面角A-BD-C的平面角（1）类比法1.概念2.面面垂直的判定3.数学思想方法二面角（2）转化思想二面角的平面角两个平面互相垂直判定定理类比平面内角的概念定义二面角类比平面内两直线垂直定义两平面垂直类比面面平行判定定理归纳过程归纳面面垂直判定定理“面面垂直”转化为“线面垂直”小结“空间问题”转化为“平面问题”定义法课件28张PPT。空间几何体的结构数学活动一 观察你手中几何体的图片，看看构成它们的面的形状有什么特点？你能设定一个标准对几何体进行分类吗？请按我们讨论的标准从其他同学的图片中找到和你类似的几何体？试试看。 观察下列物体的形状和大小，试给出相应的空间几何体，说说它们的共同特征。观察与思考由若干平面多边形围成的几何体叫做多面体
观察与思考 观察下列物体的形状和大小，试给出相应的空间几何体，说说它们的共同特征。由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所成的封闭几何体叫做旋转体．数学活动二 我们已经把图中几何体分成了两大类。请大家再观察，看看围成这些几何体的平面（在形状和位置关系上)和曲面（由什么平面图形旋转得到）又有什么样的不同，可以怎样进一步分类？试试看，找到你的“类”，取个名字，分享你们的共同特征。 找出与图1具有共同结构特征的物体，并描述这些特征。棱柱的结构特征①有两个面互相平行；②其余各面都是平行四边形；③其余每相邻的两个平行四边形的公共边都互相平行．可以简化为“有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边都互相平行”吗？ 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱．（1）底面是全等的多边形如何描述下图的几何结构特征？棱柱的结构特征（2）侧面都是平行四边形．（3）侧棱平行且相等． ①过BC的截面截去长方体的一角，截去的几何体是不是棱柱，余下的几何体是不是棱柱？理解棱柱的定义答：都是棱柱． ②观察右边的棱柱，共有多少对平行平面？能作为棱柱的底面的有几对？答：四对平行平面；只有一对可以作为棱柱的底面． ③有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗？ 思考答：不一定。如右图。各种各样的棱柱，主要有什么不同？你认为棱柱应该怎么分类？ 三棱柱四棱柱五棱柱棱柱的分类棱柱的研究方法研究棱柱的基本方法和程序是什么？ 观察小组活动一 你能否参照刚才对棱柱的研究过程，研究图中其余多面体的概念及结构特征？请小组合作探究并作分享。 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗？棱锥的结构特征棱锥 如何描述图5的几何结构特征？（1）底面是多边形（2）侧面都是三角形．（3）侧棱相交于一点． 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形所围成的几何体叫棱锥．棱台的结构特征由平面围成的几何体除了上述的棱柱和棱锥外，还有哪几个？它们具有怎样的结构特征？ 棱台棱台和棱锥有怎样的联系？用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。棱台的结构特征棱台BCADSB1A1C1D1（3）侧棱延长线交于一点．（1）底面是相似的多边形（2）侧面都是梯形．课外实践测量相关数据，看看是不是数学中的棱台。 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．圆柱 如何描述下图的几何结构特征？圆柱的结构特征旋转轴底面侧面母线（1）底面是平行且半径相等的圆（2）母线平行且相等．小组活动二 你能否参照刚才对圆柱的研究过程，研究图中其余旋转体的概念及结构特征？请小组合作探究并作分享。几何体的分类柱体锥体台体球多面体旋转体前面提到的七种几何体：棱柱、棱锥、棱台，圆柱、圆锥、圆台和球，可以怎样分类？柱、锥、台体的关系上底扩大上底缩小上底缩小上底扩大棱柱、棱锥、棱台之间有什么关系？圆柱、圆锥、圆台之间呢？柱、锥、台体之间有什么关系？台
体柱
体锥
体棱柱、圆柱之间的关系棱柱和圆柱都是柱体，它们之间的区别是什么？有怎样的联系？知识小结简单几何体谢谢！再见！课题：2.3.1直线与平面垂直的判定(第1课时)
授课教师：吉林市第一中学 宋军梅
Ⅰ．教学内容解析
《直线与平面垂直的判定》共2课时，本课是第1课时，本节课的内容包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分，均为概念性知识．本节内容以“垂直”的判定为主线展开，“垂直”在定义和描述直线和平面位置关系中起着重要的作用，集中体现在：空间中垂直关系的相互转化．
教学重点是直线与平面垂直的判定定理的探究及简单应用．尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，并体会“平面化”以及“降维”的转化思想，是本节课的重要任务．
空间直线与平面的垂直关系是学生在已有“直线与平面位置关系，直线与直线垂直定义与判定”的基础上，又一次接触空间位置关系，是对垂直关系的再认识，是学生认知在维度和深度上的又一次拓展．
本节课采用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等研究几何问题的方法，学习了直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用．其中，线面垂直的定义是线面垂直最基本的判定方法和性质，它是探究线面垂直判定定理的基础；线面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带．学好这部分内容，对于学生建立空间观念，实现从认识平面图形到认识立体图形的飞跃，是非常重要的．
Ⅱ．教学目标设置
1．学生能从生活中的具体实例感知概括线面垂直的特征，解释“直线与平面垂直”的含义．
2． 学生通过参与折纸试验，归纳和确认直线与平面垂直的判定定理，并尝试用数学语言（文字、符号、图形语言）对定义、定理进行准确表述．
3． 学生在探究活动中会用直线与平面垂直的定义和判定定理进行简单的推理论证，并
体会线线垂直与线面垂直相互转化的数学思想，从而更好地发展学生的合情推理能力和演绎推理能力，培养其空间想象能力．
4．在探究活动中，学生亲历从“感性认识”到“理性认识”获取新知的过程，体验探索的乐趣，通过独立思考和合作交流，发展思维，养成良好思维习惯，提升自主学习能力．
Ⅲ．学生学情分析
1．学生已有认知基础
（1）学生在初中已经掌握了平面内证明线线垂直的方法，学习本课前，学生又通过直观感知、操作确认的方法，学习了直线、平面平行的判定定理，对空间概念建立有一定基础，同时，获得了研究线面位置关系时，从定义到判定，再到性质的经验，因而会比较轻松地融入对本课的探究．
（2）虽然学生对空间几何体的学习有了一段时间，已经具备了基本的图形语言能力,但对问题的说理和论证只是刚刚接触，没有形成一种熟练运用文字语言和符号语言的能力，存在对问题的推理和论证还有些望而却步,难以把理论和实践结合到一起．
2．达成目标所需要的认知基础
学生需要对研究的目标、方法和途径有初步的认识，需要具备较好的归纳、猜想和推理能力．
3．难点及突破策略
难点：对直线与平面垂直的定义的理解和对判定定理的探究．
突破策略：
1．理解直线与平面垂直的定义，让学生认识到线面垂直是用线线垂直来刻画的，逐步形成概念体系，体会其中的转化思想，这对于高一的学生来讲是比较困难的．
所以在设计教学时，首先通过一组图片让学生直观感知直线与平面垂直的具体形象，然后将其抽象为几何图形，再用数学语言对几何图形进行精确的描述，让学生在此过程中体会直线与平面垂直定义的合理性．
2．用定义去判定直线与平面垂直是不方便的，如何在较短的时间内，让多数学生找到判定直线与平面垂直的简便方法，这需要一个较好的载体，去引导学生探究直线与平面垂直的判定定理，同时完成对定理条件的确认．
所以，在教学过程中，通过折纸试验，精心设置问题，引导学生归纳出直线与平面垂直的判定定理．并且引导学生通过操作、摆出反例模型，对定理的两个关键条件“双垂直”和“相交”进行理解和确认．
Ⅳ．教学策略设计
为提升学生的学习能力，本节课的教学，采用启发探究式与自主学习相结合的教学方式，通过教师引领学生经历研究直线与平面垂直的判定过程，认识研究的目标与策略，在研究的过程中逐渐完善研究的方法与手段．
学生的自主学习，具体落实在三个环节：
（1）建构直线与平面垂直的概念时，学生自主举例，归纳特征，数学语言（文字、符号、图形语言）对定义、定理进行准确表述，完善概念．
（2）探究直线与平面垂直的判定定理时，根据学生已有学习基础，通过观察、感知、实践、对比，开展自主研究，并通过汇报交流相互提升．
（3）定理应用阶段，学生自主研讨发现垂直关系的转化，初步体验定理的应用．
本节课立足教材，重视对具体实例的观察、分析，并且给学生提供动手操作的机会，引导学生通过自己的观察、操作等活动获得数学结论，把合情推理作为一个重要的推理方式融入到学生的学习过程中．
Ⅴ．教学过程设计
一、创设情境 引入新课
复习空间直线与平面的位置关系，在此基础上提出本节课将重点研究线面的垂直关系．
师：前几节课我们已经对直线与平面平行的概念、判定、性质进行了研究，对于直线与平面相交存在着一种特殊位置关系——垂直．前面我们已经学习了通过两条异面直线所成角为来判断两条直线垂直，那么直线与平面的垂直关系如何从理论上认识呢？
【设计意图】直接从已有知识中引出新的学习问题，使学生意识到直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况并明确本节课学习的内容．另外这样设计也吸引了学生的注意力，激发了学生的好奇心，使其主动参与到本节课的学习中来．
二、联系实际 感知定义
师：同学们能否举出一些日常生活中直线与平面垂直的例子吗？
生甲：教室的墙角看成一条直线，它与地面垂直；
生乙：教室内的竖直的暖气管与地面垂直；
生丙：操场上的旗杆与地面垂直．
师：引导学生动手操作身边实例：将书打开直立于桌面．（出示情境问题）
[情境问题1]将一本书打开直立在桌面上，观察书脊（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？
[情境问题2]地面上竖立的旗杆与地面的位置关系给人以什么感觉？
【设计意图】从实际背景出发，直观感知直线和平面垂直的位置关系，从而建立初步印象，为下一步的教学做准备．
[情境问题3]在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，影子BC的位置在移动，在各时刻旗杆AB所在直线与影子BC所在直线的位置关系如何？使其发现：旗杆所在直线l与地面所在平面α内经过点B的直线都是垂直的．进而提出问题：那么直线l与平面α内不经过点B的直线垂直吗？为什么？
师生活动：学生思考作答, 教师用多媒体课件演示旗杆在地面上的影子随着时间的变化而移动的过程，再引导学生根据异面直线所成角的概念得出旗杆所在直线与地面内的任意一条直线都垂直．
【设计意图】第（1）问旨在让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直，第（2）问进一步让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直，在这里，主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念．
三、实验探索 互动交流
1．总结定义——形成概念?
师生活动：学生回答，教师补充完善，指出定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同意词，同时给出直线与平面垂直的记法与画法．
定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l与平面α互相垂直，记作： l⊥α．直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．
画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示
平面的平行四边形的一边垂直．
【设计意图】示范演示，突出定义的文字、图形、符号这三种语言的相互转化．
2．实践对比 理解定义
练习1：已知下列命题：
①如果直线 l 与平面内的一条直线垂直，则 l⊥；
②如果直线 l 与平面内的两条直线垂直，则 l⊥；
③如果直线 l 与平面内的无数条直线垂直，则 l⊥；
④如果直线 l⊥ ，则直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直．
其中正确命题的序号是
生：辨析讨论，借助身边的笔、尺进行实践活动，亲身感知、体会线面垂直的定义．
师：由命题④给出下列常用命题：
【设计意图】通过学生动手操作，突出定义中的“任意”，加深学生对定义的准确理解，层层设问，注重知识的发生发现过程，充分发挥学生的主观能动性，并为进一步推导判定定理做好了铺垫．
3．动手实验 归纳定理
师：如果用定义判断一条直线与一个平面是否垂直，需要寻求平面内的任意一条直线都与该直线垂直，显然不好操作．能否在平面内寻求有限条直线与该直线存在某种位置关系，从而，推断出直线与平面垂直呢？
【设计意图】由定义中线线垂直的特征，将线面关系转化为线线关系，由无限问题向有限问题转化．
师：继续引导练习1中命题①若只寻求一条直线显然不能得到线面垂直；命题②若寻求两条直线呢？刚才同学们已举出反例：两条直线平行不能得到l⊥．
追问：那么平面内两条直线除了平行还有什么位置关系？
生：沿着教师的启发思路，在平面内寻求两条相交直线操作确认．
师生活动：实验：请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，
（BD、DC与桌面接触）．
（如图1）
问题1：（1）折痕AD与桌面垂直吗？
? （2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
【设计意图】通过观察试验，分析折痕AD与桌面不垂直的原因，探究发现折痕AD与桌面垂直的条件．
师生活动：在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因．学生再次折纸，经过讨论交流，发现当且仅当折痕AD是BC边上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD与桌面垂直．
问题2: 由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系，即AD⊥CD，
AD⊥BD发生变化吗？由此你能得到什么结论？（如图2）
?
【设计意图】引导学生发现折痕AD与桌面垂直的条件：AD垂直桌面内两条相交直线．
师生活动：师生共同分析折痕AD是BC边上的高时，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD．这就是说，当AD垂直于桌面内的两条两条相交直线CD、BD时，它就垂直于桌面．
?问题3：（1）（如图3）把AD、BD、CD抽象为直线l、m、n ，把桌面抽象为平面，直线
l与平面垂直的条件是什么？
? （2）（如图4）若内两条相交直线m、n与l无公共点且l⊥m、l⊥n，直线l还垂直平面吗？由此你能给出判定直线与平面垂直的方法吗？
??
【设计意图】让学生归纳出直线与平面垂直的判定定理，并能用符号语言准确表示，使学生明白要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的．
师生活动：学生叙述结论，不完善的地方教师引导、补充完整，并结合“两条相交直线确定一个平面”的事实作简要说明．然后让学生用图形语言与符号语言来表示定理．指出定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．
定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
符号语言：
四、新知应用 巩固深化
1．例题剖析
例1? 已知： 求证：
分析过程：
证明：在平面内作两条相交直线．
因为直线，
根据直线与平面垂直的定义知；
又因为，
所以；
又因为，，，是两条相交直线，
所以．
师生活动：请学生用文字语言将例1表示出来：
如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，那么另外一条直线也与此平面垂直．
【设计意图】不仅让学生学会使用判定定理，而且要让他们掌握分析此类问题的方法和步骤，进一步体会空间中平行关系与垂直关系的转化与联系．
２．随堂练习???
练习2? 如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC．求证：VB⊥AC．
生：学生小组讨论，代表发言，不完善之处，通过合作交流完善补充．
师：巡视，必要时参与讨论，关注部分探究意识与能力都薄弱的学生的表现，鼓励他们大胆发言．配合发言学生利用多媒体课件进行展示证明过程．
证明：取AC中点O，连接VO和BO
∵VA=VC，BA=BC
∴VO⊥AC,BO⊥AC,
即AC⊥OV,AC⊥OB
又OV?平面VOB,OB?平面VOB，且0V∩OB=O
∴AC⊥平面VOB
又VB?平面VOB
∴AC⊥VB，即VB⊥AC
【设计意图】激励他们主动参与活动，让全体学生成为真正的学习主体．自主探究活动能充分激发学生的相互学习能力．
练习3 在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点，
求证：AD⊥PC．
生：分组讨论整理后，进行展示，突出符号语言的准确表述，进一步体会线线 线面垂直关系的相互转化过程．
【设计意图】用投影仪展示部分学生的解题过程，督促学生规范化做题，同时增强学生的应
用意识．
3．深化认识，提升能力
探究题：侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱.在直四棱柱中，当底面四边形满足什么条件时，有，说明你的理由.
师生活动：学生小组合作分析：要证线线垂直，只需满足线面垂直，而要满足线面垂直，还需线线垂直，体会数学中线线垂直与线面垂直相互转化的思想．教师适当加以点拨．
【设计意图】扩大知识迁移，在推理论证中感悟、体会联想、归纳、概括的思想方法，达到对新知巩固记忆，加深理解．
五、总结提炼 概括提升
（1）本节课我们学习了哪些知识？你有什么收获?
（2）上述判断直线与平面垂直的方法体现了什么数学思想？
师生活动：学生发言，互相补充，教师点评完善，归纳出判断直线与平面垂直的三种方法：利用定义，利用判定定理，利用例1的结论．这些方法体现了转化的数学思想．同时强调“平面化”是解决立体几何问题的一般思路．
无限问题有限问题
【设计意图】以问题讨论的方式进行小结，通过知识和方法两个层面上的总结提炼，增强学生学会归纳的意识，培养总结归纳的能力培养学生反思的习惯．
六、课后作业
1． 理解运用：P74 习题2．3 ； B组：2，4．
2．课后思考：（1）已知一个平面和一个定点A，则过A点可作多少条直线与平面垂直？
（2）已知一条直线 l 和一个定点A，则过A点可作多少个平面与直线 l 垂直？
（3）在正方体中，与直线垂直的棱和对角线有哪些？
【设计意图】“理解运用”面向全体学生，旨在掌握并初步运用定理．“思考运用”为学生提供探究的空间，并为下一节三垂线定理的引入做了铺垫．
Ⅵ．教后反思回顾
一．关于教学设计的反思
本节课的教学设计，力图体现因材施教原则，通过“你是怎么想的？”“你认为这种说法对吗？为什么”等问话形式，促使学生暴露思维过程．在学生已经直观感知直线与平面垂直的基础上让学生亲自动手试验、探究、体验，使其经历知识的形成过程．练习1的引入，起到了承上启下的作用，既加深了学生对线面垂直定义的理解，又为判定定理的推导做好了铺垫．由定义中线线垂直的特征，顺利完成将线面关系转化为线线关系，由无限问题向有限问题转化．
二．关于教学过程的反思
本节课基本上达到了预期目标，通过发现、概括判定定理的过程，使学生的推理论证能力得到全方位的发展．在认知水平上的升维和在研究方法上的降维，在这“一升一降”的过程中体会转化化归的思想．在直观感知得到直线与平面垂直判定定理的过程中，试验—归纳—猜想--检验的方法为感知获得结论提供了有力的帮助．
自我感到不足之处是：
1．引导学生归纳出直线与平面垂直的判定定理后，应向学生指出这样归纳得出的定理是需要证明的，只是教材对这一定理的证明不作要求，因此本节课没有给出严格的证明，在后续选修系列2中我们将用向量方法加以论证．
2．探究题的研讨没有达到预设的效果．本题思路跳跃性较大，直接让学生去做有一部分学生
产生了畏难情绪，导致学生在研讨过程中没有完全放开．如果在探究之前先搭建两个台阶：
试判断直线与平面是否垂直？直线与是否垂直？这样学生思维活动就会比较平缓，大部分学生都能顺利探究出问题答案，可以更好地调动更多同学的学习积极性．
3.由于本人目前正在高三任教，只能用高一学生进行授课，导致师生间缺少熟知的沟通与交流，因而课堂上学生气氛没有预设的活跃，教师的讲授略多．由于学校条件有限录课的全部过程都是在学生教室完成，学生声音偏小，没有达到预设效果．
课题 直线与平面垂直的判定（第1课时）
黄秋琰
（江西省抚州市第一中学）
【教材】高中数学教材必修2（北师大版），第一章“立体几何初步”，第6节“垂直关系的判定”（第1课时）.
1．教学内容解析
本节教学内容主要有：直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定及其应用.
课本通过让学生观察在一墙角内移动三角板的一条直角
边，而另一直角边始终保持与地面垂直这一现象引
出直线与平面垂直的概念，而直线与平面垂直的判定定理则
是通过让学生观察长方体内线面位置关系来感悟的：一条直
线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面
垂直.该定理把原来定义中要求与任意一条（无限）直线垂
直转化为只要与两条（有限）相交直线垂直就行了，从而使
直线与平面垂直的判定具有可操作性.
直线与平面垂直是直线和平面相交的一种特殊情况，它是空间中线线垂直的拓展，又是面面垂直的基础，是空间中垂直关系之间转化的轴心，同时它也是直线与平面所成的角等内容的基础.因而它是空间点、线、面位置关系中的核心概念之一.
2．教学目标设置
●知识与技能
理解直线与平面垂直的定义和判定定理，并能运用直线与平面垂直的定义和判定定理解决一些简单的问题.
●过程与方法
体验直线与平面垂直概念的形成过程，培养观察与抽象概括能力；体验直线与平面垂直判定定理产生的过程，体会知识产生的必要性与合理性，培养空间观念，发展合情推理能力；在知识的运用过程中体会转化的思想方法.
●情感、态度与价值观
通过不断地提出问题、解决问题，培养学习热情，体验探索乐趣，培育“数学源于实践又服务于实践”的辩证观.
3．学生学情分析
学生已学过了两直线垂直关系的判定，以及线面平行关系的判定和性质，有了“通过观察、操作，然后抽象概括出数学结论”的经验与体会，有一定的空间想象能力、推理论证能力以及运用图形符号进行交流的能力，具备学习本节知识的基础.
存在的认知困难之一是如何从直线和平面垂直的直观形象中抽象概括出直线和平面垂直的定义.因为学生直观感知中的形象与定义中“直线与平面内任意一条直线都垂直”的内涵有一定的潜在距离.
存在的认知困难之二是在探究直线与平面垂直的判定定理过程中，对为什么要且只要“两条相交直线”的理解.因为定义中“任意一条直线”指的是“所有直线”，这种有“有限”代替“无限”的过程在一定程度上会使学生产生思维障碍.
4．教学策略分析
数学教学是数学思维活动的教学，而思维又是从问题开始的，所以本节课在总体上采用“问题引导”策略.通过精心设计一个个问题，激发学生的求知欲，并通过观察、分析、实验、说理、自主探究、合作交流等活动，领悟定义与判定定理的本质内涵，体会解决问题过程中思路的形成过程，感悟蕴涵其中的数学思想方法.同时借助多媒体辅助教学，增加教学的直观性，提高课堂教学效率.
针对学生的第一个认知困难，教学中首先通过实例让学生直观感知直线与平面垂直的形象，然后利用“圆锥或圆柱形成”的情境，从中抽象概括出定义，体会其合理性.
针对学生的第二个认知困难，教学中利用“折纸”实验，引导学生操作、观察、思考与说理，挖掘实验的数学内涵，对定理中的两个关键条件“双垂直”和相交进行确认.
5．教学过程设计
（一）提出问题
问1：直线与平面的位置关系有哪几种？（预设：在平面内、平行与相交三种）
直线在平面内、直线与平面平行这两种情形我们已经系统研究过了，接下来我们研究直线与平面相交的情形.
观察以下图片：
问2：如果将图片中的旗杆、比萨斜塔和电线杆抽象为直线，地面抽象为平面，如上图，请问这三个图形中的直线与平面的位置关系分别是怎样的？
反馈：它们的位置关系均为相交，但旗杆给我们的印象是垂直，而比萨斜塔和被大风吹歪了的电线杆则给人以不垂直的印象.
问题：假如我们要将被大风吹歪了的电线杆扶直，请问：怎样才能知道电线杆被扶直了？从数学角度来说，也就是怎样判定直线与平面垂直？（板书课题）
（二）分析问题、解决问题
点拨：要解决上述问题，必须首先弄清什么叫做直线与平面垂直，也就是直线与平面垂直的定义.
找一找：（1）在教室里找直线与平面垂直的例子；
（2）在已学过的几何体中找直线与平面垂直的例子.
（1）给出直线与平面垂直的定义
讨论1：你们觉得直线与平面垂直的特征是什么？
回忆：圆锥、圆柱是怎样形成的？
讨论2：从圆锥与圆柱的形成过程中，你们看到了直线与平面垂直有什么特征吗？
预设：直线与平面垂直的特点是直线垂直平面内过交点的所有直线.
点拨：当旗杆或电线杆垂直地面内过交点的所有直线时，旗杆或电线杆就不会发生倾斜，此时旗杆或电线杆也是最稳定的.
问1：你认为应当怎样定义直线与平面垂直？
合作交流，然后提问.（预设：从回答“直线垂直平面内过交点的所有直线”过渡到回答“直线垂直平面内任何一条直线”.）
（板书）定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直.
图形：通常把表示直线的线段画成和表示平面的平行四边形横边
垂直，如图4所示.
符号：.
说明：直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，
直线与平面的交点叫做垂足.
问2：定义中“任何一条直线”可改为“任意一条直线”“所有直线”
或“无数条直线”吗？
问3：回到前面的问题上来，用直线与平面垂直的定义可以判定电线杆与地面垂直吗？为什么？
反馈：利用定义来判定电线杆与地面是否垂直，需要作无限次验证，这在实际操作中是难于做到的。
（2）确认直线与平面垂直的判定定理
问4：利用定义判定直线与平面是否垂直有困难，难就难在需要作“无限次”验证。那么，能不能通过“有限次”验证就能判定直线与平面垂直呢？
启发：大家想想我们是如何判定两个平面平行的？两个平面平行是指它们没有公共点，也可看作是一个平面内所有直线都与另一个平面平行，我们在证明这两个平面平行时难道需要证明一个平面内的所有直线都与另一个平面平行吗？
反馈：答案是只要在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面平行即可。现在，我们要判定一条直线与一个平面垂直，是不是只要直线与平面内的某几条直线垂直就可以了呢？顺着这条思路，下面我们来探讨：如果直线与平面内一条直线垂直，能不能保证这条直线与这个平面垂直？如果直线与平面内两条直线垂直，能不能保证这条直线与这个平面垂直？……
探究1：如果直线与平面内一条直线垂直，这条直线与这个平面是否垂直？
反馈：如果一条直线只和平面内一条直线垂直，不能确保
这条直线与平面垂直.教师将一块三角板按如图5的
方式放置在桌面上给予确认.
探究2：如果直线与平面内两条平行直线垂直，这
条直线与这个平面是否垂直？
反馈：答案否定的.在平面内即使有无数条直线，只
要是相互平行的，答案也是否定的.
探究3：如果直线与平面内两条相交直线垂直，这
条直线与这个平面是否垂直？
【实验1】请你拿出准备好的三角形纸片，我们一起来做一个实验：如图6，过的顶点翻折纸片，得到折痕，然后将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（与桌面接触）
试问：折痕与桌面垂直吗？如何翻折才能
使与桌面所在平面垂直？
操作确认：当且仅当折痕是边上的高时，所在直线与桌面所在平面垂直。
说理：①当折痕与不垂直时，所在直线与桌面所在平面为什么不垂直？
根据定义，判定一条直线与一个平面不垂直，只要该直线与平面内的一条直线不垂直即可。当折痕与不垂直时，翻折后始终与桌面所在平面内的直线或不垂直。故所在直线与桌面所在平面不垂直。
②当折痕与垂直时，所在直线与桌面所在平面垂直为什么会垂直？
【实验2】如图7，，固定，保持紧贴桌面，让折纸的部分绕着旋转。请问：能转动吗？
操作确认：能自由旋转，而且在旋转
过程中，保持不动，
保持与桌面垂直，而且始终紧
贴桌面。
道理揭示：说明垂直平面内过垂足的任何一条直线，进而会垂直平面内的任何一条直线.
小结：线不在多，相交就行.
问5：根据上面的探索，请问：验证一条直线与一个平面是否垂直还需要验证无限次吗？
(板书)定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直.
符号语言：
（3）解决问题
合作交流，讨论前面提出的问题，即怎样才能知道电线杆被扶直了？
.
预设：两种方法：①过电线杆与地面的交点在地面内画两条相交直线，用直角尺分别检验电线杆与两直线所成的角是否为直角；②在电线杆上取一点（该点离电线杆与地面交点8米），在该点系上两条长10米的绳子，再将这两条绳子的另一端固定在地面离交点6米的地方，看两条绳子是否被拉直。
（三）例题分析
例 如图10，在正方体中。
(1) 平面吗？为什么？
(2) 平面吗？为什么？
(3)吗？为什么？
寻找思路1：问题（1）（2）是直线与平面垂直的判定问题，
根据我们所讲的知识，你认为有哪些方法？
反馈1：可以利用直线与平面垂直的定义和判定定理。
如图11，设直线是平面内任意一条直线，直线
是平面内两条相交直线，如果
或，那么。
简言之，我们有：线线垂直，则线面垂直。
让学生回答问题（1）（2）。
寻找思路2：问题3是直线与直线垂直的问题，
如何判定呢？
反馈2：注意定义既有判定功能，也有性质功能。
如图11，若，则。
简言之，我们有：线面垂直，则线线垂直。
让学生回答问题（3）。
（四）课堂练习
如图12，在正方体中，
求证：(1) 平面；
(2) .
先让学生独立思考，然后提问作答。
（五）总结升华
本节课我们学习了哪些知识？运用这些知识能解决什么问题？
问题主要有两个，一是如何证明直线与平面垂直；另一个是如何证明两条直线垂直。
请问：
怎样证明直线与平面垂直？可以利用定义，也可以利用判定定理。对这两种方法请一个同学来作一个评价。
2．怎样证明直线与直线垂直？ 证明两条直线垂直有多种方法，这节课我们学到的方法可以称为“线面垂直过渡法”。这是一种新的方法。
线线垂直线面垂直
再请回忆一下平行关系的判定：线线平行线面平行面面平行 .
可见转化是研究平行与垂直的基本思想方法.
（六）布置作业
课本习题1-6 A组1-5.
板书设计：
直线与平面垂直的定义及其判定
定义：如果一条直线和一个平面内
所有直线都垂直，称这条直线与这个平
面垂直.
课后分析：
课件16张PPT。直线与平面垂直的判定宋军梅思考1：将一本书打开直立在桌面上，观察书脊（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？知识探究（一）：直线与平面垂直的概念 思考2：田径场地面上竖立的旗杆与地面的位置关系给人以什么感觉？思考3：如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，影子BC的位置在移动，在各时刻旗杆AB所在直线与影子BC所在直线的位置关系如何？ AB 练习1.已知下列命题：
①如果直线 l 与平面α内的一条直线垂
直，则 l⊥α；
②如果直线 l 与平面α内的两条直线垂
直，则 l⊥α；
③如果直线 l 与平面α内的无数条直线
垂直，则 l⊥α；
④如果直线 l⊥α ，则直线 l 与平面α
内的任意一条直线都垂直.
其中正确命题的序号是 ④试一试：如图，将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，把翻折后的纸片竖起放置在桌面上，使BD、DC与桌面接触，观察折痕AD与桌面的位置关系.知识探究（二）：直线与平面垂直的判定 线不在多重在相交理论迁移例1 已知 .求证：p练习2 在三棱锥 V-ABC中，VA=VC，BA=BC，求证：VB⊥AC.
O证明：取AC中点O，连接VO和BO ∵VA=VC，BA=BC ∴VO⊥AC,BO⊥AC,即AC⊥OV,AC⊥OB又OV?平面VOB,OB?平面VOB且0V∩OB=O∴AC⊥平面VOB又VB?平面VOB∴AC⊥VB，即VB⊥AC练习3 在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点，求证：AD⊥PC.线面垂直线线垂直线面垂直线线垂直线面垂直线线垂直探究：侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足什么条件时，有A1C⊥B1D1，说明你的理由.AC⊥BD课堂小结1.知识回顾：本节课我们学习了哪些知
识？你有什么收获?2.方法归纳：课后作业
P74 习题2.3 B组：2，4.1.已知一个平面α和一个定点A，则过A点可作多
少条直线与平面α垂直？课后思考2.已知一条直线 l 和一个定点A，则过A点可作多
少个平面与直线 l 垂直？3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与直线AC1垂直的棱和对角线有哪些？再见课件33张PPT。 2013年获甘肃省技术标兵称号。
2013年“甘肃省高中数学教学技能大赛”二等奖。
2011年“甘肃省高中数学说课竞赛”一等奖。
2011年兰州市高中新课程教学竞赛一等奖。
2010年人民教育出版社高中新课程高一新教材培训
中承担现场观摩课。
2010年全国中学生数学能力竞赛中，本人指导的2位
同学荣获全国一等奖；4位同学荣获全国二等奖；7位
同学荣获全国三等奖。
2009年全国中学生数学能力竞赛中，本人指导的2位
同学荣获全国三等奖。直线与平面垂直的判定兰州市第二中学 张 静普通高中课程标准教科书(人民教育出版社)必修2 A版
第二章《点、直线、平面之间的位置关系》教学内容及学情分析教学目标及策略的确定 教学过程的设计与实施 教学特点及效果分析 直线与平面垂直的判定一、教学内容及学情分析1.教材的地位和作用 教学内容 直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时又是直线和平面所成的角等内容的基础，因此，它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一. 地位和作用 直线与平面垂直的定义与直线与平面垂直的判定定理.已有知识发展方向后续目标直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直承上启下一、教学内容及学情分析1.教材的地位和作用 地位和作用一、教学内容及学情分析2.学情分析具备观察、思考、合情推理能力，但抽象概括能力、空间想象力仍有待提高.
已掌握线线垂直、线面平行的判定与性质. （数学现实）已有生活中平面与直线垂直的直观形象. （客观现实）感性认识知识储备学习能力一、教学内容及学情分析3.教学重点和难点 操作确认并概括出直线与平面的定义和判定定理的过程及初步应用. 教学重点 教学难点 操作确认并概括出直线与平面的定义和判定定理的过程.二、教学目标及策略的确定1.教学目标 理解并掌握直线与平面垂直的定义和判定定理；能对定义与判定定理进行简单应用. 通过对定义和判定定理的探究和运用，初步培养学生的几何直观能力和抽象概括能力. 通过对探究过程的引导，努力提高学生学习数学的热情,培养学生主动探究的习惯.二、教学目标及策略的确定2.教学方法及策略 以问题为导向
采用启发式和实验探究式相结合
利用多媒体增强课堂教学效果
三、教学过程设计与实施联系生活
直观感知动画演示
揭示定义课后作业
探究学习试验探究
操作确认讲练结合
巩固应用定义辨析
深化理解总结提高
画龙点睛教学流程图：1.联系生活 直观感知问题1：请同学们观察图片,说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面
是什么位置关系？三、教学过程设计与实施感受“直线与平面垂直”的直观形象问题2：唐代诗人王维在他的诗《使至塞上》中，写下千古绝句：“大漠孤烟直，长河落日圆.”前一句“大漠孤烟直”描写的意境中又体现了什么垂直关系？三、教学过程设计与实施1.联系生活 直观感知构思意境，进一步体会直线与平面的垂直 三、教学过程设计与实施1.联系生活 直观感知你能再举出几个实际生活中直线与平面垂直的例子吗？巩固对直线与平面垂直的认识
体验数学与实际生活的联系2.动画演示 揭示定义问题4：
（1）在阳光下观察直立于地面旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系是什么？随着时间的推移呢？
（2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B1C1的位置又是什么？ 观察思考三、教学过程设计与实施2.动画演示 揭示定义问题4：
（1）在阳光下观察直立于地面旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系是什么？随着时间的推移呢？
（2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B1C1的位置又是什么？ 观察思考三、教学过程设计与实施2.动画演示 揭示定义观察思考三、教学过程设计与实施问题4：
（1）在阳光下观察直立于地面旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系是什么？随着时间的推移呢？
（2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B1C1的位置又是什么？ 2.动画演示 揭示定义观察思考三、教学过程设计与实施问题4：
（1）在阳光下观察直立于地面旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系是什么？随着时间的推移呢？
（2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B1C1的位置又是什么？ 2.动画演示 揭示定义观察思考三、教学过程设计与实施问题4：
（1）在阳光下观察直立于地面旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系是什么？随着时间的推移呢？
（2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B1C1的位置又是什么？ 2.动画演示 揭示定义观察思考三、教学过程设计与实施问题4：
（1）在阳光下观察直立于地面旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系是什么？随着时间的推移呢？
（2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B1C1的位置又是什么？ 2.动画演示 揭示定义观察思考三、教学过程设计与实施问题4：
（1）在阳光下观察直立于地面旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系是什么？随着时间的推移呢？
（2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B1C1的位置又是什么？ 2.动画演示 揭示定义观察思考三、教学过程设计与实施抽象概括问题5：通过上述观察分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直？ 2.动画演示 揭示定义抽象概括观察思考三、教学过程设计与实施借助多媒体的动态演示过程构建直线与平面垂直的定义，帮助学生建立对定义的完整表象。学生自主概括，利于提高学生的抽象概括能力，体会定义的严谨性。（ ）（2）如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂直于这
个平面内的任一直线．3.定义辨析 深化理解辨析：下列命题是否正确，为什么？
（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么
这条直线与这个平面垂直．×√（ ）摆出反例模型说明理由三、教学过程设计与实施提高学生动手能力，和小组探究意识. 三、教学过程设计与实施定义判定定理过 渡激发学习热情，体会探究“判定定理”的必要性4.试验探究 操作确认 观察猜想 操作确认合情推理 探究试验：如图，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）.观察并思考：
（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）为什么AD与桌面不垂直？
（3）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
（4）为什么AD与桌面垂直？（引导学生用定义确认）
三、教学过程设计与实施4.试验探究 操作确认 观察猜想 操作确认合情推理 三、教学过程设计与实施通过试验，引导学生独立发现直线与平面垂直的条件，培养学生的动手操作能力和几何直观能力。
5.讲练结合 巩固应用 例1.已知： ，求证：三、教学过程设计与实施5.讲练结合 巩固应用变式1. 在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，K是AC的中点．
（1）求证：AC⊥平面VKB；
（2）求证：VB⊥AC；
（3）若E、F分别是AB、BC 的中点，试判断EF与平面VKB的
位置关系. 三、教学过程设计与实施三、教学过程设计与实施变式2.如图，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则图中有几个直角三角形?由此你认为三棱锥中最多有几个直角三角形？ 三、教学过程设计与实施线面垂直的定义 线面垂直的判定定理线线垂直线面垂直关键：线不在多 相交则行如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，那么另外一条直线也与此平面垂直．体现将空间问题转化为平面问题的转化思想四、教学特点及效果分析（1） 体现数学生活化和数学的文化意境（2） 关注学生思维发展，充分体现“生本”的原则（3）充分运用构建主义的思想教学特点采用直观感知、操作确认 四、教学特点及效果分析教学特点敬请各位批评指正！
谢 谢！2.2 直线与平面平行的判定
（第一课时）
安徽省合肥六中 黄海波
【教学内容解析】
本节教材选自人教A版数学必修Ⅱ第二章第二节，本节内容在立体几何学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位．之前的课程已学过空间点、线、面的位置关系及4个公理．结合有关的实物模型，通过直观感知、合情推理、探究说理、操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理．本节课的教学重点是直线与平面平行的判定定理的初步理解和简单应用．本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线面平行的性质、面面平行的判定与性质的学习作用重大，因为研究过程渗透的数学思想都是化归与转化．
【教学目标设置】
通过直观感知——观察提炼——探究说理——操作确认的认识方法初步理解并掌握直线与平面平行的判定定理．初步掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理，培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力．
通过定理的运用，让学生学会在具体问题中正确使用定理，理解使用定理的关键是找平行线，并知道证明线线平行的一般途径．
通过对空间直线与平面平行的判定定理的感知、提炼、论证以及应用的过程，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决问题的能力．
在定理的获得和应用过程中进一步渗透化归与转化的数学思想，渗透立体几何中将空间问题降维转化为平面问题的一般方法．
通过本节课的学习，进一步培养学生从生活空间中抽象出几何图形关系的能力，提高演绎推理、逻辑记忆的能力．让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感．通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识．
【学生学情分析】
通过前面课程的学习，学生对简单几何体的结构特征有了初步认识，对几何体的直观图及三视图的画法有了基本的了解．结合他们生活和学习中的空间实例，学生对空间图形的基本关系也有了大致的了解，初步具备了最朴素的空间观念．由于刚刚接触立体几何不久，学习经验有限，学习立体几何所应具备的语言表达能力及空间想象能力相对不足，他们从生活实例中抽象概括出问题的数学本质的能力相对欠缺，从具体情境发现并归纳出直线与平面平行的判定定理以及对定理的理解是教学难点．
【教学策略分析】
新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程．
综合考虑教学内容与学生学情，本节课的教学遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知，合情推理，探究说理，操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的判定定理、理解数学概念，领会数学思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象能力，提高学生的数学逻辑思维能力．
【教学过程】
复习回顾、铺陈蓄势
【教学实录】教师简单回顾了之前学习的课程内容后，面向全体同学提出问题1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面有哪几种位置关系，并请一位学生代表上黑板作图表示直线与平面的位置关系，其余同学在座位上同步完成．
接着，多媒体幻灯片展示了空间直线与平面的三种位置关系的三种语言表示．同时强调：我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外，用符号表示为a．
引导学生回顾总结空间直线与平面的三种位置关系是按照直线与平面的公共点的个数来分类的．
直线在平面内的情形公理1已经解决，直线与平面相交的情形将在后续课程中研究，本节课我们将研究直线与平面平行这一位置关系．
面向全体同学提出问题2：根据直线与平面平行的定义（没有公共点）来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法．带领同学体会本节课学习的必要性，引出课题．
设计意图：教学预设以生本教育观为指导，充分尊重学生的学习主体地位．从建构主义理论来看，学生原有认知结构是新授课的基础．本节课学生已有的知识储备是直线与平面平行的定义．教学预设从数学学科内部发展的顺序来说明本节课学习任务的确定，从数学学科内部发展的需要来引起认知冲突并说明本课学习的必要性，逻辑性强，利于知识系统的主动建构．
（二）列举实例、直观感知
面向全体同学提问：在日常生活中，哪些实例给我们以直线与平面平行的印象呢？
（师生充分交流，学生容易指出教室的日光灯与地面平行、黑板的边缘与地面平行、足球场上球门的横梁与足球场平行等等．）
设计意图：使学生有充分的具体情境下的认知体验，为后续内容做好铺垫，引导学生学自己身边的数学，学有用的数学．通过充分的直观感知，努力促进学生空间观念的构建．
列举身边的实例后，面向全体同学抛出问题1：单凭感觉可靠吗？
（让学生单凭直观感觉，判断直线a与平面α是否平行）
进而给出问题2：该怎样判定直线与平面平行呢？
设计意图：问题1是为了设置一个有争议的情境，眼见不一定为实，进而调动学生的探究欲望．问题2是为下面动手操作、合作探究，发现判定定理作了一个引子，埋了一个伏笔．
（三）动态演示、抽象概括
从同学们列举的日光灯的实例出发，学生容易发现如果将日光灯平稳下降，最终日光灯管会平稳地落到地面内来，通过多媒体动态演示这一过程．将原来日光灯所在直线记作a，平移到地面（记作平面α）内之后记作直线b，同学们可以发现ab（强调直线a，b没有公共点）．
教师引导学生发现直线a与b没有公共点．在平面α内平移b，得到直线c，不难发现ac（强调直线a，c没有公共点）．
紧接着，提出问题，直线a能与平面α内的无数条直线都平行吗？（能）
教师追问，直线a与平面α内的这无数条直线有公共点吗？（没有）
教师带领全体同学思考一个问题：“反过来，直线a与平面α内的无数条直线都平行，则a与平面α平行吗？”
（此处可能是需要突破的地方，视学生反应情况可以辅以几何画板软件展示无数条直线无限细密地“铺满”平面．）
教师追问，直线a与平面内的无数条直线都平行，a与这些直线有公共点吗？（没有）
结合几何画板的展示过程，提问：直线a与平面α有公共点吗？（没有）
教师继续追问：直线a与平面α没有公共点意味着什么？（aα）
教师充分肯定同学们的发现后，揭示数学本质：平面α内的任一点均在直线a的某条平行线上，于是，直线a与平面α没有公共点，即aα．
之后，教师追问：“需要平面外的直线a与平面α内的无数条直线都平行吗？”（不需要！）追问：“几条就可以了？”（一条！）
“为什么？”（平面内的无数条直线都可以通过平面内的一条直线平移得到）
教师此时可抓住时机，面向全体同学发问：大家能得到空间直线与平面平行的一个判定方法吗？
定理5．1 （直线和平面平行的判定定理）平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线和此平面平行．
（四）动手操作、实验确认
接下来，教师引导学生通过动手实验操作，进一步确认定理的正确性．
请全体同学将课本按如图所示的方式直立地放在桌面上，并借助多媒体动画演示，引导学生探究思考书页的边缘所在直线与桌面、与另一张书页所在平面的位置关系，进一步巩固对定理的理解．
然后，请同学们考虑该定理用符号语言应当怎样表述？并请一位同学上黑板板演，教师及时纠正．
经历了前面的探究过程，学生不难指出该定理前提条件的三个关键词：“平面外”、“平面内”、“平行”．
接下来，请同学们指出我们在“空间图形的基本关系”一课中用图形表示空间直线与平面平行的合理性．为防止学生因为思维定势造成的负迁移，教师通过实物展示空间直线与平面平行的其它情形（将上图中直线a，b作水平旋转得到如图所示的情形）．
同时强调只要在平面内找到一条直线与平面外的直线平行即可．
最后，教师引导学生指出此处渗透的处理立体几何问题的基本思想：将空间问题降维转化为平面问题解决（线线平行线面平行）．
设计意图：定理的发现与论证过程采用了“观察模型—直观感知—理性分析—抽象概括—操作确认—思考探究”的方式展开．新课程教材中回避了定理的理论证明，但考虑到数学的理性精神及良好的学情状况，在定理的生成过程中仍然强调了“说理”．在教师的引导下，经过推理，定理生成．考虑到学生主体未能直接动手操作，印象未必深刻．为此，设计了两个学生活动，让他们在动手操作中体会定理的正确性，给他们充分的思考时间与空间，让他们主动建构新知．
定理生成后，①教师强调三种数学语言的转化，利用判定定理反观线面平行的图形表示的合理性，并通过直观演示，防止学生出现思维定势；②教师及时给出关于直线与平面平行的两个假命题，继续从反面强调定理成立的三个要素缺一不可．以上的教学预设与生成都是从学生的最近发展区设计问题，帮助学生主动辨明定理的实质，教师在其中板演的角色仍然是一个组织者和引导者，学习的主体是学生．
（五）定理运用、形成技能
（多媒体幻灯片演示）
想一想：
判断下列命题的真假并说明理由：
①若一条直线不在平面内，则该直线与此平面平行（ ）
②若一条直线与平面内的无数条直线平行，则该直线与此平
面平行（ ）
③如图，a是平面α内的一条给定的直线，若平面α外的直
线b不平行于直线a，则直线b与平面α就不平行（ ）
（教师带领全体同学辨析）
证一证：
如图1，已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，判断并证明 EF与平面BCD的位置关系．
全班同学尝试解答的同时，请一位同学上黑板解答，教师及时规范学生的答题，适时点评．师生共同总结出运用定理的关键是找线（平面内）线（平面外）平行．
面向全体同学提问，初中平面几何中，我们学习了哪些判定直线与直线平行的方法？
（利用三角形的中位线、梯形的中位线、平行四边形的对边、平行线分线段成比例定理的逆定理、同位角相等、内错角相等、同旁内角互补……）
教师可以顺势给出一个简单的变式：如图2，将△ABD改为梯形BDHG，E、F分别是BG、DH的中点，判断并证明 EF与平面BCD的位置关系．
最后，如果学情允许，给出如下的
操作思考：
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，P 是棱A1B1的中点，过点 P 画一条直线使之与截面A1BCD1平行．
问题提出后，给学生足够的时间思考讨论，学生取BB1的中点，C1D1的中点得到画法应该不困难．难点是其它可能的情形．这里，到底讲到什么程度，也应当视学情而定，尊重课堂教学的生成．为使更多的同学有一个直观的体验，将借助几何动画将正方体运动起来，变换观察的角度，让他们有一个直观的体验．
设计意图：“想一想”的设置是为了进一步从反例出发促使学生对判定定理的准确理解．“证一证”是为了让学生通过动手尝试证明问题，掌握运用定理解决问题的一般方法，并进一步从实践操作层面体会运用定理需满足的三个要点缺一不可，学生经历了解题过程后主动发现运用定理的关键是找平行线．“操作思考”更是借助一题多解关注不同层次的同学的不同发展需求，让不同的同学获得不同的发展．
（六）收获感悟、总结提高
先由学生口头总结，然后教师归纳总结：
（多媒体幻灯片展示）
一、直线与平面平行的判定定理；
二、证明直线与平面平行的方法；
三、运用判定定理时的几个要点；
四、运用定理的关键：找平行线；
五、立体几何的基本思想：化归．
（七）分层作业 共同进步
基本作业：1、如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点．若，判断并证明EF与平面BCD的位置关系．
拓展提高：1、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1上的点，试确定点E的具体位置使AC1//平面BDE．
2、尝试严格地证明直线与平面平行的判定定理．
附：板书设计
平行关系的判定
多媒体投影区域
直线与平面平行的判定
想一想
证一证
操作思考
小结
作业
反思与改进
课件19张PPT。在空间中，直线与平面有几种位置关系？一、复习回顾 铺陈蓄势 在空间中，直线与平面有几种位置关系？一、复习回顾 铺陈蓄势 直线在平面内 在日常生活中，哪些实例给我们以直线与平面平行的印象呢？二、列举实例 直观感知你的感觉可靠吗？aα怎样判定直线与平面平行呢？ (第一课时)
合肥市第六中学 黄海波2.2 直线与平面平行的判定三、动态演示 抽象概括 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.定理三、动态演示 抽象概括四、动手操作 实验确认abcd定理 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 化归五、定理运用 形成技能想一想判断下列说法是否正确：①若一条直线不在平面内，则该直线与此平面平行（ ）c五、定理运用 形成技能 空间四边形ABCD中，E,F分别AB,AD的中点．判断并证明EF与平面BCD的位置关系.证一证操作思考：如图，正方体 中，P 是棱 的中点，过点 P 画一条直线使之与截面 平行.QHNM操作思考：如图，正方体 中，P 是棱 的中点，过点 P 画一条直线使之与截面 平行.QHNM能谈谈你的收获吗？一、直线与平面平行的判定定理二、证明直线与平面平行的方法三、运用判定定理时的几个要点四、运用定理的关键：找平行线六、收获感悟 总结提高五、立体几何的基本思想：化归拓展提高：
1、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1上的点，试确定点E的具体位置使AC1∥平面BDE.
2、尝试严格地证明直线与平面平行的判定定理.基本作业：如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点.
若 ，判断并证明直线EF与平面BCD的位置关系.
A七、分层作业 共同进步谢 谢！课件16张PPT。直线与平面平行的性质北师大版高中数学必修 2陕西省延安市实验中学 张园园温故而知新举例说明直线与平面有哪几种位置关系？若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.直线与平面平行的判定定理温故而知新问题1.如果直线a与平面α平行，(1)你能得到哪些结论？通过以上探究你有什么发现？思考？如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行.直线与平面平行的性质定理如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行.简称：线面平行，线线平行判定与性质对比考考你：如图，直线AB ∥ 平面α ，经过AB的两个平面 β和 γ 分别和平面α 交于直线 a、b.则直线a和b的位置关系是（ ） 学以致用例1 如图,A,B,C,D在同一平面内，AB∥平面α,
AC∥BD,且AC,BD与α分别交于点C,D.求证:AC=BD.ADCBα学以致用证明:所以AB∥CD.
又因为AC∥BD,所以四边形ABDC是平行四边形，
则AC=BD.ADCBα因为A,B,C,D四点共面，
即AB 平面ABDC.又因为AB∥平面α，
且平面ABDC交平面α于CD,连接CD.例2.如图,四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面,若此截面为平行四边形.求证:直线CD∥平面EFGH. 巩固练习本节课你有哪些收获？直线与平面平行的性质定理如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行.谢谢指导!不能因为第一次飞翔遇到了乌云风暴，从此就怀疑没有蓝天彩霞。
