2.4绝对值与相反数（绝对值的几何意义求最值）学案（无答案）2023-2024学年苏科版数学七年级上册

2.4绝对值与相反数（绝对值的几何意义求最值）
【学习目标】
掌握绝对值的几何意义
2．绝对值与数轴的数形结合
3. 掌握求最值的思路与方法
【典型例题】
类型一、求两个式子的和的最小值
【例1】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题：
(1)式子在数轴上的意义是 ；
(2)求取最小值时，x可以取什么整数，最小值为多少？
举一反三：
【变式1】阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点，分别表示数，，则，两点之间的距离为．反之，可以理解式子的几何意义是数轴上表示实数与实数3两点之间的距离．则当有最小值时，的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【变式2】数轴是一个非常重要的数学工具，实数和数轴上的点能建立一一对应的关系，它建立了数与形的联系，是初中“数形结合”的基础。我们知道一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，如：，：表示数的点到原点的距离。同样的，：表示数的点到表示数3的点的距离。请结合数轴解决下列问题：
①当时，表示什么意思？　　；
②若，则　　；
③若，则的值是　　；
④求使的值最小的所有符合条件的整数 .
【变式3】已知点A在数轴上对应的数为，点B在数轴上对应的数为，且，A、B之间的距离记为或，请回答问题：
（1）（1分）直接写出，，的值，　　，　　，　　．
（2）（2分）设点P在数轴上对应的数为，若，则　　．
（3）（6分）如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为，点N表示的数为，动点P表示的数为．
①若点P在点M，N之间，则_ _；
②若 10，则x=_ _；
③若点P代表的数是-5，现在有一蚂蚁从点P出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所经过的点到点M，N的距离之和是8？
类型二、求两个式子的差的最大值
【例2】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A，B两点间的距离就可记作．
回答下列问题：
(1)几何意义是数轴上表示数2的点与数的点之间的距离的式子是________；式子的几何意义是_______________________；
(2)根据绝对值的几何意义，当时，________；
(3)探究：的最大值为_________，此时m满足的条件是________；
举一反三：
【变式1】我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是　 　．
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A，B之间的距离是　 　．
（3）式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是　 　．
（4）结合数轴求的最小值为 ，最大值为 ．
【变式2】认真阅读下面的材料，完成有关问题：
材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何意义，如|5－3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5＋3|＝|5－(－3)|，所以|5＋3|表示5、－3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a－b|．
（1）若|x＋3|＝2，则x＝______；
（2）利用数轴探究： |x－1|＋|x＋3|的最小值是_______，取得最小值时x的取值范围是_______；
（3）求满足|x＋1|-2|x－5|=3的x的值．
【变式3】阅读下面材料并解决有关问题：
我们知道：|x|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和，x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．
从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：
①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；
②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；
③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．综上讨论，原式＝．
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）化简代数式|x+2|+|x﹣4|．
（2）求|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．
类型三、求三个式子的和的最小值
【例3】阅读材料：因为，所以的几何意义可解释为数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离．这个结论可推广为：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：
(1)等式的几何意义是什么？这里的值是多少？
(2)等式的几何意义是什么？这里的值是多少？
(3)式子的几何意义是什么？这个式子的最小值是多少？
举一反三：
【变式1】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　 ；表示﹣3和2两点之间的距离是　　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝　　．
（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为　　；
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是　 　．
（4）当a＝　　时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是　　．
【变式2】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是　　；表示﹣2和1两点之间的距离是　　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．
（2）如果|x+1|＝2，那么x＝　　；
（3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是　　，最小距离是　　．
（4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝　 ．
（5）当a＝　　时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是　　．
【变式3】同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索
（1）求|5﹣（﹣2）|＝　　；
（2）同样道理|x+1008|＝|x﹣1005|表示数轴上有理数x所对点到﹣1008和1005所对的两点距离相等，则x＝　　
（3）类似的|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对点到﹣5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，这样的整数是　 　．
（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．