2023--2024学年人教版九年级数学上册 21.2.2解一元二次方程 公式法 教案

21.2.2公式法 教案
一、教材简析和学生分析
本课程针对初中九年级的学生，教学内容是关于如何解一元二次方程的公式法。在此之前，学生已经学习了直接开平方法和因式分解法，对一元二次方程有了基本的理解和掌握。本课内容是对一元二次方程解法的进一步深化和拓展，让学生能够根据不同情况灵活运用不同的解法。
二、教学目的
本课程的教学目的是让学生掌握一元二次方程的公式法，能够根据方程的特点选择合适的解法，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
三、重难点
本课程的教学重点是让学生理解并掌握求根公式的推导过程和运用，难点在于如何正确地运用求根公式解决实际问题。
四、教学准备
本课程需要准备的教学工具有：黑板、白板、笔、教学PPT等。同时，需要准备一些与一元二次方程相关的实际应用例题，如房屋面积计算、物品数量调配等。
五、教学过程
复习提问：
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
2、用配方法解方程3x2-6x-8=0;
3、你能用配方法解下列方程吗？请你和同桌讨论一下.
ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
推导公式
用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
因为a≠0，方程两边都除以a，得
_____________________＝0.
移项，得 x2＋ x＝________，
配方，得 x2＋ x＋______＝______－ ,
即 (____________) 2＝___________
因为 a≠0，所以4 a2＞0，当b2－4 ac≥0时，直接开平方，得 _____________________________.
所以 x＝_______________________
即 x＝_________________________
x＝ ( b2－4 ac≥0)
由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0的求根公式：

精讲点拨
利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.
合作交流
b2－4 ac为什么一定要强调它不小于0呢？如果它小于0会出现什么情况呢？
展示反馈
学生在合作交流后展示小组学习成果。
① 当b2－4ac＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等）
② 当b2－4ac＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根
x1＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿
③ 当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.
六、练习设计
本课程的练习设计包括以下内容：
1. 基础练习：根据公式的推导和应用，进行简单的一元二次方程题目训练。重点是对公式的理解和应用。
2. 提高练习：选择一些稍有难度的一元二次方程题目，让学生在解题过程中逐步提高解题能力和思维水平。
3. 实际应用：解决一些与一元二次方程相关的实际问题，如房屋面积计算、物品数量调配等。通过解决实际问题，让学生更好地理解公式的实际应用价值。
练习一：一元二次方程的根的情况
【类型一】判断一元二次方程根的情况
不解方程，判断下列方程的根的情况．
(1)2x2＋3x－4＝0；
(2)x2－x＋＝0；
(3)x2－x＋1＝0.
解析：根据根的判别式我们可以知道当b2－4ac≥0时，方程才有实数根，而b2－4ac<0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况．
解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4，∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根．
(2)x2－x＋＝0，a＝1，b＝－1，c＝.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×＝0.∴方程有两个相等的实数根．
(3)x2－x＋1＝0，a＝1，b＝－1，c＝1.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有实数根．
方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根．
【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值
已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(　　)
A．a>2 B．a<2
C．a<2且a≠1 D．a<－2
解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a－1不为0.即4－4(a－1)＞0且a－1≠0，解得a＜2且a≠1.选C.
方法总结：若方程有实数根，则b2－4ac≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题．
【类型三】说明含有字母系数的一元二次方程根的情况
已知：关于x的方程2x2＋kx－1＝0，求证：方程有两个不相等的实数根．
证明：Δ＝k2－4×2×(－1)＝k2＋8，无论k取何值，k2≥0，所以k2＋8＞0，即Δ＞0，∴方程2x2＋kx－1＝0有两个不相等的实数根．
方法总结：要说明一个含字母系数的一元二次方程的根的情况，只需求出该方程根的判别式，分析其正、负情况，即可得出结论．
【类型四】一元二次方程的根的情况的实际应用
小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2”，他的说法对吗？请说明理由．
解：假设能围成．设其中一个正方形的边长为x，则另一个正方形的边长是(10－x)，由题可得，x2＋(10－x)2＝48.化简得x2－10x＋26＝0.因为b2－4ac＝(－10)2－4×1×26＝－4<0，所以此方程没有实数根．所以小峰的说法是对的．
练习二：公式法解一元二次方程
【类型一】用公式法解一元二次方程
用公式法解下列方程：
(1)2x2＋x－6＝0；
(2)x2＋4x＝2；
(3)5x2－4x＋12＝0；
(4)4x2＋4x＋10＝1－8x.
解析：方程(1)(3)是一元二次方程的一般形式，可以直接确定a，b，c的值，并计算b2－4ac的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根；方程(2)(4)则需要先化成一般形式，再求解．
解：(1)这里a＝2，b＝1，c＝－6，b2－4ac＝12－4×2×(－6)＝1＋48＝49.∴x＝＝＝，即原方程的解是x1＝－2，x2＝.
(2)将方程化为一般形式，得x2＋4x－2＝0.∵b2－4ac＝24，∴x＝＝－2±.∴原方程的解是x1＝－2＋，x2＝－2－.
(3)∵b2－4ac＝－224<0，∴原方程没有实数根．
(4)整理，得4x2＋12x＋9＝0.∵b2－4ac＝0，∴x1＝x2＝－.
方法总结：用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定a，b，c的值．
【类型二】一元二次方程解法的综合运用
三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x2－10x＋21＝0的解，则第三边的长为(　　)
A．7 B．3
C．7或3 D．无法确定
解析：解一元二次方程x2－10x＋21＝0，得x1＝3，x2＝7.根据三角形三边的关系，第三边还应满足4＜x＜8.所以第三边的长x＝7.故选A.
方法总结：解题的关键是正确求解一元二次方程，并会运用三角形三边的关系进行取舍．
七、教学反思
在课程结束后，教师应该进行反思和总结。反思内容包括教学方法的有效性、学生的掌握情况、教学过程中的优点和不足等。针对不足之处，教师应该思考改进措施，以优化后续的教学效果。同时，教师还应该收集学生的反馈意见，了解他们的学习体验和感受，以便更好地调整教学方法和策略。