数学人教A版（2019）必修第一册2.2基本不等式课件（共35张ppt）

(共35张PPT)
第2章 一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式
我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用，那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题．
【素养目标】
1．了解基本不等式的代数和几何背景．(数学抽象)
2．理解并掌握基本不等式及其变形．(逻辑推理)
3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(数学运算)
4．会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式．(逻辑推理)
5．会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题．(数学运算)
前面我们利用面积法和完全平方公式得出了一类重要不等式：
，有： 当且仅当时，等号成立.
特别地，如果，我们用分别代替上式中的
，可得：，当且仅当时，等号成立
通常称为基本不等式.其中， 叫做正数的算术平均数， 叫做正数的几何平均数
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
问题1：基本不等式及其推导
【证法一】当时，，
，
，所以
由重要不等式可得：
问题1：基本不等式及其推导
问题1：基本不等式及其推导
【证法二】当然我们也可以利用分析法：
把这个过程倒过来，就是证明的过程.
只要证；
只要证；
只要证.
要证，去分母并调换方向，
而此式显然成立.
当且仅当时，等号成立.
.
所以
所以
所以
综合法
（1）基本不等式成立的条件是.
①若，如，此时是不成立的；
②若中有一个小于0，如如，则无意义
③若等于0，虽然该不等式也成立，但一般不研究这种情况
（2）基本不等式的常见变形式：
① ②
基本不等式链
问题1：基本不等式及其推导
【答】可证，因此CD=，由于CD小于或等于圆的半径，所以用不等式表示为：
如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=，BC= .过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？
A
B
D
C
E
显然，当且仅当点C与圆心重合，
即当时，等号成立.
问题2：基本不等式的几何意义
【例1】
【解】因为，
已知，求的最小值.
当且仅当，即时，等号成立，
的最小值是2
一正：各项必须为正
二定：各项之和或各
项之积为定值
三相等：必须验证取等号
时的条件十分具备
问题3：利用基本不等式求最值
思考
问题3：利用基本不等式求最值
【例2】已知都是正数，求证：
（1）如果等于定值P，那么当时，有最小值
【证明】所以
（1）等于定值P时， ，所以
当且仅当时，上式等号成立，此时有最小值
（2）如果等于定值S，那么当时，有最大值
（2）时， ，两边平方，所以
，当且仅当时，上式等号成立，此时有最大值
问题4：最值定理及其应用
①当时，，，
当且仅当时，等号成立.
②当时，，
当且仅当时，等号成立.
问题4：最值定理及其应用
练习1：已知，求证：.
【证明】
，即.
练习2：已知都是正数，且，求证：
（1） （2）
（1）∵ ，
∴ ，
由于，等号取不到，
所以
（2）∵ ， ， ，
∴ ，
∴
∴
∴
∴ ，
【证明】
本题可拓展到求，等同类式子的最小值.
练习3：取何值时，取得最小值？最小值是多少？
【解】由题意∵ ， 所以，
∴,
当且仅当，即时，取得最小值，最小值为
【例题】(1)用篱笆围成一个面积为100平方米的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用的篱笆最少，最短长度是多少？
【解】由题意设篱笆的长和宽分别为米，且
所以米
当且仅当米，即围成正方形时，有最短长度40米
问题5：基本不等式的实际应用
【例题】(2)用一段长为36米的铁丝网围成一个矩形菜园，当这个矩形的长和宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
【解】由题意设篱笆的长和宽分别为米，且
所以为平方米，根据基本不等式，
，即
当且仅当，即围成正方形时，有最大面积81平方米.
问题5：基本不等式的实际应用
【例题】（3）某工厂要建造一个长方体形状的无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深为3米.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池才能使总造价最低？最低造价是多少？
【解】设水池底面的长和宽分别为米，且，总造价元，
根据题意，有
因为容积为，所以，，
当且仅当米时，取得最低总造价
元
，
问题5：基本不等式的实际应用
练习4：已知直角三角形的面积为50，当两条直角边的长度各为多少时，
两条直角边的和最小？最小值是多少？.
【解】由题意设两条直角边的长度分别为，且
则面积为，即，
所以，
当且仅当 时，两条直角边的和有最小值20
练习（第48页）
1．用20 cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？
因为周长等于20，所以
所以
当且仅当a=b=5时取等号。
答：当矩形的长与宽均为5cm时，面积最大。最大值为25cm2.
2．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m．当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
3．做一个体积为32 m3，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长取什么值时，用纸最少？
解：设底面的长与宽分别为a m, b m. a>0, b>0,因为体积等于32m3,高2m,所以底面积为16m2,即：
所以用纸面积是
当且仅当a=b=4时取等号。
答：当底面的长与宽均为4m时，用纸最少。
4．已知一个矩形的周长为36 cm？矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？
当矩形的长和宽分别为9时，圆柱的侧面积最大。
习题2.2
（第48页）
2．（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
答：当这两个正数均为6时，它们的和最小。
2．（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
答：当这两个正数均为96时，它们的积最大。
3．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米的造价为1 200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5 800元．如果墙高为3 m，且不计屋脊面和地面的费用，那么怎样设计房屋使总造价最低？最低总造价是多少？
当3600y=4800x,即x=6, y=8时，z有最小值，最低造价为63400元。
6．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费用y2（单位：元）与x成正比；若在距离车站10 km处建仓库，则y1和y2分别为2万元和8万元．这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？
所以仓库应建在距离车站5 km处，才能使两项费用之和最小，最小费用为8万元．
7．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金是小于10 g，等于10 g，还是大于10 g？为什么？
谢谢大家
We have many PowerPoint templates that has been specifically designed to help anyone that is stepping into the world of PowerPt for the very first time.