数学人教A版（2019）必修第一册2.1等式性质与不等式性质课件（共36张ppt）

(共36张PPT)
第2章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
【素养目标】
1．了解现实世界和日常生活中的等量关系与不等关系．(数学抽象)
2．了解不等式(组)的实际背景，会用不等式(组)表示不等关系．(数学建模)
3．掌握不等式的性质及应用．(逻辑推理)
4．会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小．(数学运算)
5．能运用等式的性质或不等式的性质解决相关问题．(逻辑推理)
【学法解读】
在相等关系与不等关系的学习中，学生通过类比学过的等式与不等式的性质，进一步探索等式与不等式的共性与差异．
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示．
【等式】指的是用等号“=”连接起来的式子.
【不等式】指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接起来的式子
【问题1】你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
（1）某路段限速；；
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量应不少于2.3%；
设该路段行驶的汽车速度为，则
，
问题1：不等关系及其表示
（3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
设P是直线AB外任意一点，PQ是P到AB的垂
线段，C是直线AB上任意一点，则PC≥PQ.
A
B
C
P
Q
你能写出其他的可能情况 吗？
【问题1】你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
设三角形三边分别为，则
【问题2】某种杂志原本以每本2.5元的价格出售，可以售出8万本.据市场调查发现，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使涨价后的总收入不低于20万元
【分析】设涨价之后的杂志每本定价元，则销售总收入为
万元，
≥20，求出不等式的解，即可求出定价
所以用不等式表示为：
问题1：不等关系及其表示
问题2：不等式的性质
实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳了一些不等式的性质．那么，这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实．
由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：如图，设a,b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A,B,当点A在点B的左边时，ab.
如何解不等式 ≥20呢？
问题3：比较大小
关于实数a,b大小的比较，有以下基本事实：
如果a-b是正数，那么a>b;
如果a-b等于0,那么a =b;
如果a-b是负数，那么a反过来也对.
从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．
比较大小的基本方法【作差法】
用符号表示为
① > >
② < < ③ = =
0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”
比较和的大小.
【解】运用作差法：
2＞0，
所以＞
0是正数与负数的分界线，它为比较实数的大小提供了标杆.
如图是根据第24届国际数学家大会的会标设计的，会标灵感来源于中国古代数学家赵爽的弦图，图中有什么不等关系？
很显然赵爽弦图是我们在初中研究勾股定理时的模型，我们把它抽象成如图所示的图形.
设图中直角三角形的两个直角边长为，那么正方形的边长就是，这样，四个直角三角形的面积之和就是，正方形的面积为，很显然正方形的面积大于三角形面积和.即
当直角三角形变为等腰直角三角形时，内部的小正方形变成了一个点，此时，有，所以综合可知，
问题4：一个重要不等式
一般地，，这个不等式被称为重要不等式，
当且仅当时，等号成立.
事实上，利用完全平方公式也可以得到这个不等式：
因为,,当且仅当时，等号成立.
所以
因此，由两个实数大小关系的基本事实，我们得到：
，当且仅当时，等号成立.
问题4：一个重要不等式
★性质1【对称性】
★性质2【传递性】
★性质3【加减性】
★性质4【同乘性】
★性质5【同除性】
如果，那么
如果，，那么
如果，那么
如果，那么
如果，，那么
思考
请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性．你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？
可以发现，性质1，2反映了相等关系自身的特性，性质3，4，5是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性．
问题5：等式有什么性质
★性质1【对称性】
★性质2【传递性】
如果，那么.即
如果，，那么.
即，
我们来证明性质2：
类比等式的性质1，2，我们可以猜想不等式有如下性质：
问题6：不等式有什么性质
★性质3
【可加性】
★性质4
【可乘性】
★性质5
【同向可加性】
如果，那么
如果，，那么；
如果，,那么
不等式两边同时加上一个数，不变号
不等式两边同时乘上一个正数，不变号；
如果，，那么
不等式两边同时乘上一个负数，要变号 .
如果，,那么
如果，,那么
问题6：不等式有什么性质
类比等式的性质3~5，可以猜想不等式还有如下性质：
★性质6
【同向同正可乘性】
★性质7
【同正可乘方性】
如果， ，那么
如果，那么
等式
不等式
问题6：不等式有什么性质
我的等号左右能对应加减乘除(除数不为0)，你行吗？
我只有同向可加性，同向可乘还必须保证是正数！
例2 已知，，求证
【分析】因为，所以要证，可先证明
【证明】因为，所以， .
所以 ，
因为，所以，即
＞
＜
＜
＜
习题2.1
（第42页）
2．某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A为一次性投资500万元；方案B为第一年投资100万元，以后每年投资10万元．列出不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入” ．
4．一个大于50且小于60的两位数，其个位数字比十位数字大2．试用不等式表示上述关系，并求这个两位数（用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）．
B
9．证明：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积．并据此说明，人们通常把自来水管的横截面制成圆形，而不是正方形的原因．
所以圆的面积更大
原因：自来水管的横截面是圆形的，可以最大面积地使水通过，减少阻力．
12．火车站有某公司代运的甲种货物1 530 ，乙种货物1 150 ．现计划用A，B两种型号的货厢共50节运送这批货物．已知35甲种货物和15乙种货物可装满一节A型货厢，25甲种货物和35乙种货物可装满一节B型货厢，据此安排A，B两种货厢的节数，共有几种方案？若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元，哪种方案的运费较少？
所以共有三种方案，方案一：安排A型货厢28节，B型货厢22节；方案二：安排A型货厢29节，B型货厢21节；方案三：安排A型货厢30节，B型货厢20节．
谢谢大家
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