11.2.2 三角形的外角 学案（知识清单+典型例题+巩固提升）（含解析）
文档属性
| 名称 | 11.2.2 三角形的外角 学案（知识清单+典型例题+巩固提升）（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-08 14:48:22 | ||
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文档简介
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人教版八年级数学上册 11.2.2 三角形的外角 导学案
【知识清单】
三角形外角的定义
1.三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。如图∠ACD是△ABC的一个外角。
2.三角形的外角应具备的条件：①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线。
三角形的外角的性质（三角形内角和定理的推论）
1.文字叙述：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
2.几何语言：∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B
三角形的一个外角大于任何一个与他不相邻的内角.
三角形的外角和
1.文字叙述：三角形的外角和等于360°。
2.几何语言：∵ ∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角
∴∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=360 °
【典型例题】
考点：三角形外角的定义及性质
例．如图，，，点是边上一点，连接交的延长线于点．点是边上一点．使得，作的角平分线交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由平行线的判定和性质求出，并表示出，再由三角形外角的性质求出，然后在中，根据三角形内角和定理列式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴在中，，
∴，即，
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线的性质和判定，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，本题的关键是根据三角形内角和为列式计算．
【巩固提升】
选择题
1．如图，已知，含有角的直角三角形的直角顶点在直线a上，若，则，则（ ）
A． B． C． D．
2．将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，，则、、的关系是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，将含角的直角三角板如图放置，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
5．如图，平分，点E在的延长线上，连接，下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．一个零件的形状如图所示，按规定应等于100°，，应分别是和，则应是下列哪个度数（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点B在的边的延长线上，，若，，则的度数为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．50°
二、填空题
8．已知（非直角三角形）中，，，边上的高所在的直线交于点，则 ．
9．如图，射线分别是的外角的角平分线，射线与直线交于点D，射线与直线交于点E，若，则的度数为 ．
10．如图和中，，，，点D在边上，将绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中当时，旋转时间 秒．
11．如图，在中，平分，，，则 ．
12．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，若，，则 ．
三、解答题
13．如图，中平分的外角平分的外角，求的度数．
14．如图，在中，点在上，点在上，点在上，且，．
(1)求证：；
(2)若平分，平分，且，求的度数．
15．如图，在中，，，是的角平分线，点E在上，点F在的延长线上，．
(1)求的度数．
(2)求的度数．
16．一个零件的形状如图，按要求应等于，，应分别等于，，检验工人测得，就可判定这个零件不合格，请你说说这是为什么．
17．已知，如图，、是直线，，，，求证：．
18．如图，已知，、两点分别是边、上的两动点，、分别平分和，射线的反向延长线与射线相交于点．
(1)如图，若，求的度数；
(2)如图，作的角平分线交射线于点，求的度数；
(3)如图，、为线段和上的两定点，若将沿翻折，点对应点在的内部，且满足，，请求出与、的关系．
参考答案
1．C
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得出，再根据三角形的外角即可得出答案．
【详解】如图：
，
，
故选C．
【点睛】本题考查平行线的性质和三角形的外角定理；熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．
2．C
【分析】根据三角板的性质得出，，再利用外角的性质计算即可．
【详解】解：由题意可得：
，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
3．C
【详解】解：延长交于，延长交于，如图，
，
在直角中，；
在中，，
，
，
，
；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，外角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．
4．B
【分析】先根据平行线的性质得∠AEF=∠1=106°，再根据三角形外角性质可得答案．
【详解】解：如图所示
，，
，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质和三角形的外角性质．
5．D
【分析】根据平行线的性质可得，结合三角形的内角和定理可得，即可判断①；根据角平分线的定义结合角的代换即可判断②；由已知条件可得，，结合平行线的性质即可得到，进而可判断③；根据三角形的外角性质结合即可判断④.
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，故①正确；
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴平分，故②正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，故③正确；
∵，，
∴，故④正确；
综上，正确的是①②③④；
故选：D.
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的判定和性质、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键.
6．D
【分析】
延长，交于点E，根据三角形外角的性质可得，再根据三角形外角的性质可得．
【详解】解：如图:延长，交于点E，
∵是的外角，，
∴，
∵是的外角，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角，等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
7．C
【分析】根据平行线的性质得到，再利用三角形的外角进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴；
故选C
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的外角．解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
8．或
【分析】①当是锐角三角形时，先根据高线的定义求出，然后根据直角三角形两锐角互余可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可解答 ；②是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出即可解答．
【详解】解：①如图1，是锐角三角形时，
∵是的高线，
∴，
∵在中，，
∴，
∴；
②如图2，是钝角三角形时，
∵是的高线，
∴，
∵（对顶角相等），
∴．
综上所述，的度数是或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了三角形的高、三角形外角的性质、直角三角形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
9．/42度
【分析】设，根据三角形内角和定理和角平分线的定义分别表示出，，再利用外角的性质得出，求解即可．
【详解】设，
则，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握知识点并分析清楚各角之间的关系是解题的关键．
10．11或29
【分析】根据题意，画出图形，进行分类讨论，①当点C在内时，根据三角形的内角和定理可得，根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角定理求出，进而得出，即可求解；②当点C在外时，延长交于一点，根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角定理求出 ，即可得出，即可求解．
【详解】解：①当点C在内时，如图，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴旋转时间（秒），
②当点C在外时，延长交于一点，如图，
∵，，
∴，
由①可得，，
∴，
∴，
∴绕点O沿顺时针方向旋转了，
∴旋转时间（秒），
故答案为：11或29．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，三角形的外角，平行线的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和为，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，两直线平行，同位角相等，旋转前后对应边的夹角等于旋转角．
11．/72度
【分析】首先根据平行线的性质得到，然后根据角平分线的概念得到，然后根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线的概念，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
12．
【分析】利用三角形的外角先求出的度数，再求出的度数，然后再利用三角形的外角即可求得的度数；
【详解】∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】此题考查了三角形外角的性质以及角平分线的定义．注意三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
13．
【分析】先根据三角形的内角和求出，然后根据三角形的外角性质和角平分线的定义求出，再根据三角形的内角和定理解答即可．
【详解】解：，
，
为的外角，
，
平分，
∴，
同理得，
．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义和三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和定理和三角形的外角性质是解题关键．
14．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）由平行线的性质和已知可得到与的关系，再利用平行线的判定得结论；
（2）利用角平分线的性质和三角形内角和定理的推论求解．
【详解】（1）证明∶∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，平分，
∴，．
∵，，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质，掌握平行线的性质和判定及“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决本题的关键．
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形外角的性质即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】（1）∵，，，
∴；
（2）∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
16．不合格，理由见解析
【分析】连接并延长至根据三角形外角性质计算判断即可．
【详解】解：如图，连接并延长至
和分别是和的外角，
，
根据零件要求，，
而实际测得
故这个零件不合格．
【点睛】本题考查了三角形外角性质的应用，熟练掌握外角性质是解题的关键．
17．见解析．
【分析】由平行知，由三角形外角定理，得，可推出，可证，所以．
【详解】∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，三角形的外角定理；掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设,根据是的外角可得；又因为是的外角得到即可解答；
（2）根据均为的外角，可得,再由平分的角平分线，所以即可求解；
（3）设，由内角和定理，则；同理，得到，从而；根据三角形内角和定理和折叠的性质以及邻补角的定义可得，由内角和定理即可解答．
【详解】（1）解：设,
∵分别平分，
∴,
∵是的外角，
∴，
∵,即,
∴,
又∵是的外角，
∴，即，
∴,
∴当时，．
（2）解：∵均为的外角，
∴，
∴，
∵，
∴,
∵平分的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
由折叠可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形外角的性质、邻补角的定义等知识点，理解题意、灵活运用相关知识是解答本题的关键．
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人教版八年级数学上册 11.2.2 三角形的外角 导学案
【知识清单】
三角形外角的定义
1.三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。如图∠ACD是△ABC的一个外角。
2.三角形的外角应具备的条件：①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线。
三角形的外角的性质（三角形内角和定理的推论）
1.文字叙述：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
2.几何语言：∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B
三角形的一个外角大于任何一个与他不相邻的内角.
三角形的外角和
1.文字叙述：三角形的外角和等于360°。
2.几何语言：∵ ∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角
∴∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=360 °
【典型例题】
考点：三角形外角的定义及性质
例．如图，，，点是边上一点，连接交的延长线于点．点是边上一点．使得，作的角平分线交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由平行线的判定和性质求出，并表示出，再由三角形外角的性质求出，然后在中，根据三角形内角和定理列式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴在中，，
∴，即，
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线的性质和判定，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，本题的关键是根据三角形内角和为列式计算．
【巩固提升】
选择题
1．如图，已知，含有角的直角三角形的直角顶点在直线a上，若，则，则（ ）
A． B． C． D．
2．将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，，则、、的关系是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，将含角的直角三角板如图放置，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
5．如图，平分，点E在的延长线上，连接，下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．一个零件的形状如图所示，按规定应等于100°，，应分别是和，则应是下列哪个度数（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点B在的边的延长线上，，若，，则的度数为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．50°
二、填空题
8．已知（非直角三角形）中，，，边上的高所在的直线交于点，则 ．
9．如图，射线分别是的外角的角平分线，射线与直线交于点D，射线与直线交于点E，若，则的度数为 ．
10．如图和中，，，，点D在边上，将绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中当时，旋转时间 秒．
11．如图，在中，平分，，，则 ．
12．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，若，，则 ．
三、解答题
13．如图，中平分的外角平分的外角，求的度数．
14．如图，在中，点在上，点在上，点在上，且，．
(1)求证：；
(2)若平分，平分，且，求的度数．
15．如图，在中，，，是的角平分线，点E在上，点F在的延长线上，．
(1)求的度数．
(2)求的度数．
16．一个零件的形状如图，按要求应等于，，应分别等于，，检验工人测得，就可判定这个零件不合格，请你说说这是为什么．
17．已知，如图，、是直线，，，，求证：．
18．如图，已知，、两点分别是边、上的两动点，、分别平分和，射线的反向延长线与射线相交于点．
(1)如图，若，求的度数；
(2)如图，作的角平分线交射线于点，求的度数；
(3)如图，、为线段和上的两定点，若将沿翻折，点对应点在的内部，且满足，，请求出与、的关系．
参考答案
1．C
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得出，再根据三角形的外角即可得出答案．
【详解】如图：
，
，
故选C．
【点睛】本题考查平行线的性质和三角形的外角定理；熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．
2．C
【分析】根据三角板的性质得出，，再利用外角的性质计算即可．
【详解】解：由题意可得：
，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
3．C
【详解】解：延长交于，延长交于，如图，
，
在直角中，；
在中，，
，
，
，
；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，外角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．
4．B
【分析】先根据平行线的性质得∠AEF=∠1=106°，再根据三角形外角性质可得答案．
【详解】解：如图所示
，，
，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质和三角形的外角性质．
5．D
【分析】根据平行线的性质可得，结合三角形的内角和定理可得，即可判断①；根据角平分线的定义结合角的代换即可判断②；由已知条件可得，，结合平行线的性质即可得到，进而可判断③；根据三角形的外角性质结合即可判断④.
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，故①正确；
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴平分，故②正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，故③正确；
∵，，
∴，故④正确；
综上，正确的是①②③④；
故选：D.
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的判定和性质、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键.
6．D
【分析】
延长，交于点E，根据三角形外角的性质可得，再根据三角形外角的性质可得．
【详解】解：如图:延长，交于点E，
∵是的外角，，
∴，
∵是的外角，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角，等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
7．C
【分析】根据平行线的性质得到，再利用三角形的外角进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴；
故选C
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的外角．解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
8．或
【分析】①当是锐角三角形时，先根据高线的定义求出，然后根据直角三角形两锐角互余可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可解答 ；②是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出即可解答．
【详解】解：①如图1，是锐角三角形时，
∵是的高线，
∴，
∵在中，，
∴，
∴；
②如图2，是钝角三角形时，
∵是的高线，
∴，
∵（对顶角相等），
∴．
综上所述，的度数是或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了三角形的高、三角形外角的性质、直角三角形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
9．/42度
【分析】设，根据三角形内角和定理和角平分线的定义分别表示出，，再利用外角的性质得出，求解即可．
【详解】设，
则，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握知识点并分析清楚各角之间的关系是解题的关键．
10．11或29
【分析】根据题意，画出图形，进行分类讨论，①当点C在内时，根据三角形的内角和定理可得，根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角定理求出，进而得出，即可求解；②当点C在外时，延长交于一点，根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角定理求出 ，即可得出，即可求解．
【详解】解：①当点C在内时，如图，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴旋转时间（秒），
②当点C在外时，延长交于一点，如图，
∵，，
∴，
由①可得，，
∴，
∴，
∴绕点O沿顺时针方向旋转了，
∴旋转时间（秒），
故答案为：11或29．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，三角形的外角，平行线的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和为，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，两直线平行，同位角相等，旋转前后对应边的夹角等于旋转角．
11．/72度
【分析】首先根据平行线的性质得到，然后根据角平分线的概念得到，然后根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线的概念，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
12．
【分析】利用三角形的外角先求出的度数，再求出的度数，然后再利用三角形的外角即可求得的度数；
【详解】∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】此题考查了三角形外角的性质以及角平分线的定义．注意三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
13．
【分析】先根据三角形的内角和求出，然后根据三角形的外角性质和角平分线的定义求出，再根据三角形的内角和定理解答即可．
【详解】解：，
，
为的外角，
，
平分，
∴，
同理得，
．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义和三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和定理和三角形的外角性质是解题关键．
14．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）由平行线的性质和已知可得到与的关系，再利用平行线的判定得结论；
（2）利用角平分线的性质和三角形内角和定理的推论求解．
【详解】（1）证明∶∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，平分，
∴，．
∵，，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质，掌握平行线的性质和判定及“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决本题的关键．
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形外角的性质即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】（1）∵，，，
∴；
（2）∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
16．不合格，理由见解析
【分析】连接并延长至根据三角形外角性质计算判断即可．
【详解】解：如图，连接并延长至
和分别是和的外角，
，
根据零件要求，，
而实际测得
故这个零件不合格．
【点睛】本题考查了三角形外角性质的应用，熟练掌握外角性质是解题的关键．
17．见解析．
【分析】由平行知，由三角形外角定理，得，可推出，可证，所以．
【详解】∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，三角形的外角定理；掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设,根据是的外角可得；又因为是的外角得到即可解答；
（2）根据均为的外角，可得,再由平分的角平分线，所以即可求解；
（3）设，由内角和定理，则；同理，得到，从而；根据三角形内角和定理和折叠的性质以及邻补角的定义可得，由内角和定理即可解答．
【详解】（1）解：设,
∵分别平分，
∴,
∵是的外角，
∴，
∵,即,
∴,
又∵是的外角，
∴，即，
∴,
∴当时，．
（2）解：∵均为的外角，
∴，
∴，
∵，
∴,
∵平分的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
由折叠可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形外角的性质、邻补角的定义等知识点，理解题意、灵活运用相关知识是解答本题的关键．
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