12.1 全等三角形 学案（知识清单+典型例题+巩固提升）（含解析）
文档属性
| 名称 | 12.1 全等三角形 学案（知识清单+典型例题+巩固提升）（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 869.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-08 14:52:28 | ||
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文档简介
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人教版八年级数学上册 12.1全等三角形 导学案
【知识清单】
全等三角形中对应元素的确定方法
(1)字母顺序确定法:根据书写规范,按照对应顶点确定对应边、对应角.
(2)图形位置确定法:
①公共边一定是对应边.
②公共角一定是对应角.
③对顶角一定是对应角.
(3)两个全等三角形的最大边(角)是对应边(角),最小边(角)是对应边(角).
【典型例题】
考点1：全等图形识别
例1．如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（ ）．
A．30° B．45° C．55° D．60°
【答案】B
【分析】根据网格特点，可得出，，，进而可求解．
【详解】解：如图，则，，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．
考点2：利用全等图形求正方形网格中角度之和
例2．如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（ ）
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】观察图形可发现：四个正方形是全等的，面积相等；a，b，d三个图形中中空白部分可以组成一个完整的圆，根据圆的面积相等可得这三个图形中阴影部分的面积相等，得出答案．
【详解】由图可知：（a）、（b）、（d）的空白处均可组成一个完整的半径相等的圆，而正方形的面积相等，根据等量减去等量差相等的原理得这三个图形中阴影部分的面积相等．
故选：．
【点睛】本题既考查了全等图形的知识，还考查了整体与部分的关系．
考点3：将已知图形分割成几个全等图形
例3．下列说法正确的是（ ）
A．两个直角三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等
C．面积相等的两个三角形全等 D．全等三角形的面积一定相等
【答案】D
【分析】根据全等三角形定义进行分析即可．
【详解】解：A，两个直角三角形只满足一组角相等，不一定全等，说法不正确；
B，形状相同的两个三角形大小不一定相同，不一定全等，说法不正确；
C，面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定全等，说法不正确；
D，全等三角形能够完全重合，因此面积一定相等，说法正确．
故选D．
【点睛】本题考查全等三角形的定义，解题的关键是牢记定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
考点4：全等三角形的概念
例4．如图，中，，，，若恰好经过点，交于，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据全等三角形的性质得到对应角相等，即，，再得到对应边 ，再根据等边对等角求出的度数，然后根据三角形内角和定理得到，的度数即可．
【详解】∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质，以及三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是理清角之间的关系．
考点5：全等三角形的性质
例5．下列图形中与已知图形全等的是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【答案】B
【分析】利用能够完全重合的两个图形叫做全等形，进而判断得出答案．
【详解】解：与原图形相比，B选项的图形与已知图形全等，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了全等图形的判定方法，正确把握全等图形的定义是解题关键．
【巩固提升】
选择题
1．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．135°
2．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题中是真命题的是（ ）
A．同角的补角相等 B．若，则
C．面积相等的两个三角形全等. D．若，则
4．下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的周长和面积分别相等
C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．所有的直角三角形都是全等三角形
5．如图，，则的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
6．下列命题中逆命题错误的是（ ）
A．内错角相等两直线平行 B．直角三角形的两锐角互余
C．全等三角形的对应边相等 D．互为相反数的两个数的绝对值相等
二、填空题
7．如图，四边形四边形，若，，，则 ．
8．在如图所示的正方形网格中，等于 ．
9．在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于 ．
10．如图，在中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，如果要使以A，B，D为顶点的三角形与全等（点D不与点C重合），那么点D的坐标是 .
11．如图，若，且，，则 度．
三、解答题
12．下列图形由七巧板拼成，找出这些拼板中的全等图形，用它们的编号表示出来．
13．沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．
14．如图，在的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知．
(1)画出中边上的高；
(2)用一条线段将分成面积相等的两部分（线段的端点是小正方形的顶点）；
(3)画一个格点三角形，使之与全等．
15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为、，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为t秒．
(1)当时，_____（用含t的式子表示）；当时，_____（用含t的式子表示）
(2)连接，设的面积为S，用t的式子表示S；
(3)过点P作直线的垂线，垂足为D，直线与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．B
【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2．
【详解】
∵在△ABC和△DBE中
，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴∠3=∠ACB，
∵∠ACB+∠1=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠2=45°
∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°，
故选B．
【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．
2．B
【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案．
【详解】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示：
故选B．
【点睛】此题主要考查全等图形的识别，解题的关键是熟知全等的性质.
3．A
【分析】根据绝对值的性质，全等三角形的判定，补角的定义，平方的定义判断即可．
【详解】解：A、同角的补角相等，真命题，故本选项符合题意；
B、若，则，原命题是假命题，故本选项不符合题意；
C、若两个三角形的面积相等，则两个三角形不一定全等．原命题是假命题，故本选项不符合题意；
D、若，则，原命题是假命题，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．解题关键是掌握绝对值的性质，全等三角形判定，补角的定义，平方的定义，
4．B
【分析】根据全等三角形的定义和性质判断即可．
【详解】解：A、全等三角形是指形状和大小相同的两个三角形，该选项错误；
B、全等三角形的周长和面积分别相等，该选项正确；
C、面积相等的两个三角形不一定都是全等三角形，该选项错误；
D、所有的直角三角形不一定都是全等三角形，该选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查的是全等三角形的定义和性质，掌握全等形的概念、全等三角形的性质是解题的关键．
5．A
【分析】根据全等三角形的的性质和三角形的内角和定理求出的度数，再利用，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和定理．解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等．
6．D
【分析】写出每个命题的逆命题，然后判断正误即可．
【详解】A、逆命题为：两直线平行，内错角相等，正确，不符合题意；
B、逆命题为：两角互余的三角形是直角三角形，正确，不符合题意；
C、逆命题为：对应边相等的三角形全等，正确，不符合题意；
D、逆命题为：绝对值相等的两个数互为相反数，错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出这些命题的逆命题，难度不大．
7．105
【分析】根据全等的性质求出′，，利用四边形的内角和公式求出的度数即可求出度数．
【详解】解：四边形四边形，
′，．
，
，
，，
．
故答案为：105．
【点睛】本题考查了全等图形的性质和四边形内角和公式，解题的关键在于熟练掌握全等图形的性质．
8．/225度
【分析】根据图形和正方形的性质可知，，，再把它们相加可得的度数．
【详解】解：观察图形可知与所在的三角形全等，二角互余，与所在的三角形全等，二角互余，，
∴，，，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题结合网格的特点考查了余角，注意本题中，，是解题的关键．
9．7
【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形，画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度．
【详解】解：分割方案如图所示：
由图可得，最长分割线的长度等于7．
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查全等形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等形的性质.
10．或或
【分析】根据题意画出图形，根据A、B、C的坐标和全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：符合题意的有3个，如图，
∵点A、B、C坐标为，，，
∴的坐标是，的坐标是，的坐标是，
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是正确画出图形，此题难度不大．
11．
【分析】根据三角形内角和及全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
故答案为：95．
【点睛】本题考查三角形内角和及全等三角形的性质，解题关键是理解全等三角形的对应角相等．
12．①⑧全等；② 全等；③⑤⑥⑨全等；④⑩ 全等；⑦ 全等
【分析】根据全等图形的定义：全等图形，形状大小都相同，即可进行解答．
【详解】解：根据题意得：
全等的图形有：①⑧全等；② 全等；③⑤⑥⑨全等；④⑩ 全等；⑦ 全等．
【点睛】本体主要考查了全等图形的定义，解题的关键是熟练掌握全等图形的定义．形状大小都相同的图形是全等图形．
13．见解析
【分析】如图所示，按图中实线部分即可将原图形划分为4个全等的图形，且能拼成一个正方形．（答案不唯一）
【详解】
【点睛】本题考查全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
14．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据三角形高的概念和网格的特点求解即可；
（2）根据三角形中线的性质求解即可；
（3）根据网格的特点和全等三角形的概念求解即可．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，作的中点D，连接，线段即为所求；
（3）如图所示，
【点睛】本题考查网格作图，熟练掌握三角形相关线段的作法是解题的关键．
15．(1)；
(2)；
(3)存在，．
【分析】（1）分和两种情况讨论，即可解题；
（2）连接，分两种情况讨论，即可求得S的值；
（3）作出图形，利用全等三角形的性质列式求得t的值，即可解题．
【详解】（1）解：∵点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为t秒，且，
当时，；
当时，，
故答案为：；；
（2）解：连接PB，
当时，；
∴；
当时，，
∴；
∴；
（3）解：作出图形，
∵，
∴，
即，
解得．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等的性质是解题的关键．
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人教版八年级数学上册 12.1全等三角形 导学案
【知识清单】
全等三角形中对应元素的确定方法
(1)字母顺序确定法:根据书写规范,按照对应顶点确定对应边、对应角.
(2)图形位置确定法:
①公共边一定是对应边.
②公共角一定是对应角.
③对顶角一定是对应角.
(3)两个全等三角形的最大边(角)是对应边(角),最小边(角)是对应边(角).
【典型例题】
考点1：全等图形识别
例1．如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（ ）．
A．30° B．45° C．55° D．60°
【答案】B
【分析】根据网格特点，可得出，，，进而可求解．
【详解】解：如图，则，，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．
考点2：利用全等图形求正方形网格中角度之和
例2．如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（ ）
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】观察图形可发现：四个正方形是全等的，面积相等；a，b，d三个图形中中空白部分可以组成一个完整的圆，根据圆的面积相等可得这三个图形中阴影部分的面积相等，得出答案．
【详解】由图可知：（a）、（b）、（d）的空白处均可组成一个完整的半径相等的圆，而正方形的面积相等，根据等量减去等量差相等的原理得这三个图形中阴影部分的面积相等．
故选：．
【点睛】本题既考查了全等图形的知识，还考查了整体与部分的关系．
考点3：将已知图形分割成几个全等图形
例3．下列说法正确的是（ ）
A．两个直角三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等
C．面积相等的两个三角形全等 D．全等三角形的面积一定相等
【答案】D
【分析】根据全等三角形定义进行分析即可．
【详解】解：A，两个直角三角形只满足一组角相等，不一定全等，说法不正确；
B，形状相同的两个三角形大小不一定相同，不一定全等，说法不正确；
C，面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定全等，说法不正确；
D，全等三角形能够完全重合，因此面积一定相等，说法正确．
故选D．
【点睛】本题考查全等三角形的定义，解题的关键是牢记定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
考点4：全等三角形的概念
例4．如图，中，，，，若恰好经过点，交于，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据全等三角形的性质得到对应角相等，即，，再得到对应边 ，再根据等边对等角求出的度数，然后根据三角形内角和定理得到，的度数即可．
【详解】∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质，以及三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是理清角之间的关系．
考点5：全等三角形的性质
例5．下列图形中与已知图形全等的是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【答案】B
【分析】利用能够完全重合的两个图形叫做全等形，进而判断得出答案．
【详解】解：与原图形相比，B选项的图形与已知图形全等，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了全等图形的判定方法，正确把握全等图形的定义是解题关键．
【巩固提升】
选择题
1．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．135°
2．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题中是真命题的是（ ）
A．同角的补角相等 B．若，则
C．面积相等的两个三角形全等. D．若，则
4．下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的周长和面积分别相等
C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．所有的直角三角形都是全等三角形
5．如图，，则的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
6．下列命题中逆命题错误的是（ ）
A．内错角相等两直线平行 B．直角三角形的两锐角互余
C．全等三角形的对应边相等 D．互为相反数的两个数的绝对值相等
二、填空题
7．如图，四边形四边形，若，，，则 ．
8．在如图所示的正方形网格中，等于 ．
9．在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于 ．
10．如图，在中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，如果要使以A，B，D为顶点的三角形与全等（点D不与点C重合），那么点D的坐标是 .
11．如图，若，且，，则 度．
三、解答题
12．下列图形由七巧板拼成，找出这些拼板中的全等图形，用它们的编号表示出来．
13．沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．
14．如图，在的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知．
(1)画出中边上的高；
(2)用一条线段将分成面积相等的两部分（线段的端点是小正方形的顶点）；
(3)画一个格点三角形，使之与全等．
15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为、，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为t秒．
(1)当时，_____（用含t的式子表示）；当时，_____（用含t的式子表示）
(2)连接，设的面积为S，用t的式子表示S；
(3)过点P作直线的垂线，垂足为D，直线与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．B
【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2．
【详解】
∵在△ABC和△DBE中
，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴∠3=∠ACB，
∵∠ACB+∠1=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠2=45°
∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°，
故选B．
【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．
2．B
【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案．
【详解】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示：
故选B．
【点睛】此题主要考查全等图形的识别，解题的关键是熟知全等的性质.
3．A
【分析】根据绝对值的性质，全等三角形的判定，补角的定义，平方的定义判断即可．
【详解】解：A、同角的补角相等，真命题，故本选项符合题意；
B、若，则，原命题是假命题，故本选项不符合题意；
C、若两个三角形的面积相等，则两个三角形不一定全等．原命题是假命题，故本选项不符合题意；
D、若，则，原命题是假命题，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．解题关键是掌握绝对值的性质，全等三角形判定，补角的定义，平方的定义，
4．B
【分析】根据全等三角形的定义和性质判断即可．
【详解】解：A、全等三角形是指形状和大小相同的两个三角形，该选项错误；
B、全等三角形的周长和面积分别相等，该选项正确；
C、面积相等的两个三角形不一定都是全等三角形，该选项错误；
D、所有的直角三角形不一定都是全等三角形，该选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查的是全等三角形的定义和性质，掌握全等形的概念、全等三角形的性质是解题的关键．
5．A
【分析】根据全等三角形的的性质和三角形的内角和定理求出的度数，再利用，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和定理．解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等．
6．D
【分析】写出每个命题的逆命题，然后判断正误即可．
【详解】A、逆命题为：两直线平行，内错角相等，正确，不符合题意；
B、逆命题为：两角互余的三角形是直角三角形，正确，不符合题意；
C、逆命题为：对应边相等的三角形全等，正确，不符合题意；
D、逆命题为：绝对值相等的两个数互为相反数，错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出这些命题的逆命题，难度不大．
7．105
【分析】根据全等的性质求出′，，利用四边形的内角和公式求出的度数即可求出度数．
【详解】解：四边形四边形，
′，．
，
，
，，
．
故答案为：105．
【点睛】本题考查了全等图形的性质和四边形内角和公式，解题的关键在于熟练掌握全等图形的性质．
8．/225度
【分析】根据图形和正方形的性质可知，，，再把它们相加可得的度数．
【详解】解：观察图形可知与所在的三角形全等，二角互余，与所在的三角形全等，二角互余，，
∴，，，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题结合网格的特点考查了余角，注意本题中，，是解题的关键．
9．7
【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形，画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度．
【详解】解：分割方案如图所示：
由图可得，最长分割线的长度等于7．
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查全等形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等形的性质.
10．或或
【分析】根据题意画出图形，根据A、B、C的坐标和全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：符合题意的有3个，如图，
∵点A、B、C坐标为，，，
∴的坐标是，的坐标是，的坐标是，
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是正确画出图形，此题难度不大．
11．
【分析】根据三角形内角和及全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
故答案为：95．
【点睛】本题考查三角形内角和及全等三角形的性质，解题关键是理解全等三角形的对应角相等．
12．①⑧全等；② 全等；③⑤⑥⑨全等；④⑩ 全等；⑦ 全等
【分析】根据全等图形的定义：全等图形，形状大小都相同，即可进行解答．
【详解】解：根据题意得：
全等的图形有：①⑧全等；② 全等；③⑤⑥⑨全等；④⑩ 全等；⑦ 全等．
【点睛】本体主要考查了全等图形的定义，解题的关键是熟练掌握全等图形的定义．形状大小都相同的图形是全等图形．
13．见解析
【分析】如图所示，按图中实线部分即可将原图形划分为4个全等的图形，且能拼成一个正方形．（答案不唯一）
【详解】
【点睛】本题考查全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
14．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据三角形高的概念和网格的特点求解即可；
（2）根据三角形中线的性质求解即可；
（3）根据网格的特点和全等三角形的概念求解即可．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，作的中点D，连接，线段即为所求；
（3）如图所示，
【点睛】本题考查网格作图，熟练掌握三角形相关线段的作法是解题的关键．
15．(1)；
(2)；
(3)存在，．
【分析】（1）分和两种情况讨论，即可解题；
（2）连接，分两种情况讨论，即可求得S的值；
（3）作出图形，利用全等三角形的性质列式求得t的值，即可解题．
【详解】（1）解：∵点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为t秒，且，
当时，；
当时，，
故答案为：；；
（2）解：连接PB，
当时，；
∴；
当时，，
∴；
∴；
（3）解：作出图形，
∵，
∴，
即，
解得．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等的性质是解题的关键．
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