12.2 三角形全等的判定 学案（知识清单+典型例题+巩固提升）（含解析）

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人教版八年级数学上册 12.2 三角形全等的判定 导学案
【知识清单】
知识点1：全等三角形判定1——“边边边”
全等三角形判定1——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：
如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.
知识点2：全等三角形判定2——“边角边”
1. 全等三角形判定2——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点诠释：
如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
知识点3：全等三角形判定3——“角边角”
全等三角形判定3——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：
如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.
知识点4：全等三角形判定4——“角角边”
1.全等三角形判定4——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：
由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
知识点5：判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件 可选择的判定方法
一边一角对应相等 SAS AAS ASA
两角对应相等 ASA AAS
两边对应相等 SAS SSS
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
知识点6：判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.
知识点7：判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
要点诠释：
（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
【典型例题】
考点1：全等的性质和SSS
例1．一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法SSS，即可解答．
【详解】解：由“”可以判定两个三角形全等，
，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
考点2：全等的性质和SAS
例2．在中，是边上的中线，点E在的延长线上且，则的理由是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由是边上的中线，得，又，，由判定，即可得到答案.
【详解】解：∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
由判定，
故选：A.
【点睛】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法.
考点3：尺规作图
例3．如图，在中，P为边上任意一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点M，N；②以点P为圆心，以长为半径作弧，交于点E；③以点E为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点F；④作射线交于点Q．若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由三角形内角和定理得到，再根据作图方法可知，则，由此即可得到．
【详解】解：∵，
∴，
由作图方法可知，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质与判定，尺规作图—作与已知角相等的角，证明是解题的关键．
考点4：全等的性质和ASA
例4．如图，已知，，于点E，于点F，则图中全等的三角形共有（ ）．

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】D
【分析】先证明，可得，，然后证明，得到，则，进而可得，．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴；
∴，，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴图中全等的三角形共有4对，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时从已知结合全等的判定方法开始思考，做到由易到难，不重不漏．
考点5：全等的性质和HL
例5．在中，，是上的一点，且，过作交于，如果，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】证明，得到，进而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用证明是解题的关键．
考点6：全等三解形综合
例6．如图，交于点M，交于点D，交于点N，，，，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据，，，可得，三角形全等的性质；可得①；由可得，④不成立．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴；，故④符合题意；
∵，
∴；故①符合题意；
∵，
∴，，
又∵，
∴，故③符合题意；
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴不能证明成立，故②不符合题意．
综上分析可知，成立的有3个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和三角形全等的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
【巩固提升】
选择题
1．如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点，分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ）

A． B． C． D．
2．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在正方形中，点分别在边上，且，连接，平分交于点G．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．下列对尺规作图步骤的描述不准确的是（ ）
A．作，使
B．作，使
C．以点为圆心，线段的长为半径作弧
D．以点为圆心作弧
5．下面四个图是小明用尺规过点作边的平行线所留下的作图痕迹，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，要测量河两岸相对的A、两点的距离，可以在与垂直的河岸上取、 两点，且使，从点出发沿与河岸的垂直方向移动到点，使点与A，在一条直线上，可得 ，这时测得的长就是的长．判定，最直接的依据是（ ）

A． B． C． D．
7．如图，若要用“”证明，则还需补充条件（ ）
A． B．或
C． D．以上都不正确
8．如图，在与中，已知，还添加一个条件才能使，下列不能添加的条件是（ ）．

A． B． C． D．
9．在中，为的中线，，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．无法确定
10．如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（ ）
A． B． C． D．4
11．小明在学习完本册知识后整理了一些结论：（1）内错角的角平分线也平行；（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；（3）平面内四条直线a，b，c，d，如果，，，那么；（4）有两边和第三边上的高线分别相等的两个三角形全等．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
12．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB = CD，AE = DF，CE= BF．若∠A=55°，∠E=84°，则∠DBF的大小为
13．如图，，于A，于B，且，点P从B向A运动，每秒钟走，Q点从B向D运动，每秒钟走，点P，Q同时出发，运动 秒后，与全等．

14．如图，点，，，在一条直线上，，，要使，只需添加一个条件，则这个条件可以是 ．

15．如图，，现要添加一个条件使，可以添加 ．（只添一个即可）．

16．如图，是等腰直角三角形，∠ABE＝90°，过点D作于点G，交AE的延长线于点F，则 ．
三、解答题
17．如图，点O在内，于点B，延长交于点D，于点C，且，连接，若，求的度数．

18．已知：，求作：（不写作法，保留作图痕迹，要写结论．）

19．如图，在中，，直线l为经过点A的任一直线，于点于点，若．

试问：
(1)直接写出与的大小关系；
(2)线段之间的数量关系如何？并说明理由．
20．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．

(1)问题发现
___；___；___；___；
(2)类比探究
求证：．
(3)拓展延伸
组员小明想，如果三个角不是直角，那么（2）中的结论是否还成立呢？如图2若将题中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
参考答案
1．C
【分析】根据全等三角形判定的 “ ” 定理即可证得 ；
【详解】∵，点 分别是 的中点，
在和中
故选：C
【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键
2．B
【分析】利用基本作图得到，，然后根据全等三角形的判定方法进行判断．
【详解】解：由作法得，，
根据“”可判定，
所以，
故选：B；
【点睛】本题考查了基本作图，全等三角形的判定和性质，熟悉基本几何图形的性质是解题的关键．
3．B
【分析】可以先证明，则，利用角平分线可得，再利用直角三角形的两锐角互余解题即可．
【详解】解：∵正方形
∴
在和中，
，
∴
∴
∵平分
∴
∴
故选B．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
4．D
【分析】根据基本尺规作图的概念逐项分析即可．
【详解】解：A. 作，使，此选项描述准确；
B. 作，使，作一个角等于已知角的倍数是常见的尺规作图，此选项描述准确；
C. 以点A为圆心，线段a的长为半径作弧，此选项描述准确；
D. 画弧既需要圆心，还需要半径，缺少半径长，此选项描述不准确；
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是尺规作图，主要内容有：作线段等于已知线段；作角等于已知角；作角的平分线；作线段的垂直平分线（中垂线）或中点；过直线外一点作直线的垂线．
5．A
【分析】根据平行线的判定，结合尺规作图方法即可判断．
【详解】解：若要过点C作AB的平行线，
则应过点C作一个角等于已知角，
由作图可知，选项A符合题意，
故选A．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定．
6．A
【分析】根据，可得，结合，即可得到，即可得到判定依据；
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形全等判定，解题的关键是找到与．
7．B
【分析】图形中已有条件，只缺一对直角边对应相等，因此添加一对直角边对应相等即可．
【详解】解：∵图形中已有条件，
∴若要用“”证明，则还需补充条件或，
故选：B．
【点睛】此题考查了直角三角形全等的判定，关键是掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“”）．
8．B
【分析】根据全等三角形的判定定理依次分析可得答案．
【详解】解：∵在和中，，，
A、添加，则可依据证明，故该选项不符合题意；
B、添加，依据不能证明，故该选项不符合题意；
C、添加，则可依据证明，故该选项符合题意；
D、添加，则可依据证明，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，熟记全等三角形的判定定理：，，，，，并熟练应用解决问题是解题的关键．
9．C
【分析】延长到点E，使，连接，可证明，得，而，根据三角形的三边关系得，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：延长到点E，使，则，
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．解题的关键是倍长中线法构造全等三角形．
10．B
【分析】证明得出，证明得出，进而即可求解．
【详解】解：如图，在上截取，连接
平分，平分，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
周长为，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角分线的定义，构造全等三角形是解题的关键．
11．B
【分析】根据平行线的性质，垂线段的性质以及全等三角形的判定进行分析判断．
【详解】解：（1）相等内错角的角平分线平行，故错误；
（2）直线外一点与直线上各点的连接的所有线段中，垂线段最短，故正确；
（3）平面内四条直线a，b，c，d，如果，那么，故正确；
（4）如图，在与中，，高相同，但是与不全等．故错误．
∴正确的结论有2个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短，全等三角形的判定．解题（4）时，通过举出反例对所给出的结论“有两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等”作出正确的判断．
12．41°
【分析】根据题意，用SSS证明三角形全等，再根据全等三角形对应角相等的性质和三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵AB = CD，
∴AB+BC=CD+BC，即：AC=BD，
在△ACE和△DBF中，
，
∴在△ACE≌△DBF(SSS)，
∴∠A=∠D=55°，∠E=∠F=84°，
∴∠DBF=180°-55°-84°=41°，
故答案为：41°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，以及三角形的内角和定理，熟练掌握相关内容是解题的关键．
13．6
【分析】设运动x秒钟后与全等；则，，则，分两种情况：①若，则，此时，；②若，则，得出，，即可得出结果．
【详解】解：∵于A，于，
∴，
设运动x秒钟后与全等；
则，，则，
分两种情况：
①若，则，
∴，，
∴，
∴；
②若，则，
解得：，
∴，
此时与不全等；
综上所述：运动6秒钟后与全等；
故答案为：6．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法、解方程等知识；本题难度适中，需要进行分类讨论．
14．（或或或）
【分析】根据平行线的性质可得，，添加条件为：或，根据可证明；添加条件为：或，根据可证明．
【详解】解：∵，，
∴，，
①添加条件为：，
在和中，
，
∴；
②添加条件为：，
在和中，
，
∴；
③添加条件为：，
∴，
在和中，
，
∴；
④添加条件为： ，
在和中，
，
∴；
∴这个条件可以是（或或或）．
故答案为：（或或或）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，平行线的性质．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
15．（答案不唯一）
【分析】根据三角形全等的判定方法进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵，
∴添加条件，根据证明；
添加条件，根据证明；
添加条件，根据证明．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．
16．4
【分析】作，交延长线于H，由是等腰直角三角形，得到，由等腰三角形的性质得到∠BAC=∠BAD，由余角的性质得到，因此，由对顶角的性质得到，因此，即可推出，得到．又，即可证明，得到，由等腰直角三角形的性质，得到．
【详解】作，交延长线于H，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，关键是通过作辅助线，构造全等三角形．
17．
【分析】根据已知条件证明，得出，从而得出，再利用直角三角形两锐角互余定理求得的度数．
【详解】解：，，
，
在和中，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定定理及性质、直角三角形两锐角的关系，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
18．图见解析
【分析】先作，再以为边，在的外部作，即可．
【详解】解：如图所示，即为所求；

【点睛】本题考查复杂作图．熟练掌握尺规作角的方法，是解题的关键．
19．(1)相等，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）证明，即可解答；
（2）根据，可得，即可解答．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
在与中，
，
，
；
（2）解：理由如下：
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用角度的等量转换得到是解题的关键．
20．(1)；；；
(2)证明见解析
(3)成立，证明见解析
【分析】（1）证明，则，，，，即可得到答案；
（2）同（1）的方法，证明，则，，即可得到，结论得证；
（3）由得到，，则，即可证明，则，，即可得到．
【详解】（1）证明：如图1，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，，
故答案为：；；；
（2）证明：如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：成立．
证明：如图，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，垂直的定义，三角形内角和定理．根据全等三角形的性质得到，是解题的关键．
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