12.3 角的平分线的性质 学案（知识清单+典型例题+巩固提升）（含解析）

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人教版八年级数学上册 12.3 角的平分线的性质 导学案
【知识清单】
1.角的平分线的性质定理
　 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2.角的平分线的判定定理
　 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
3.三角形的角平分线
三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.
4.与角平分线有关的辅助线
在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；
在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.
【典型例题】
考点1：角平分线性质定理及证明
例1．如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点分别作，，的垂线，可得，从而可证，即可求解．
【详解】解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，，

由角平分线的性质定理得：，
的三边，，长分别是20，30，40，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，掌握定理是解题的关键．
考点2：角平分线的性质定理
例2．如图，在中，平分，交于D，点E、G分别在边、上，连接，．过D作于F．已知，，，则的面积为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】过点作于点，角平分线的性质得到，进而推出，，得到，，进而得到，进行求解即可．
【详解】过点作于点，

∵平分，，
∴，，，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查角平分线的性质，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，构造全等三角形．
考点3：角平分线的判定定理
例3．如图，已知点P到，，的距离相等，下列说法：①点P在的平分线上；②点P在的平分线上；③点P在的平分线上；④点P在，，的平分线的交点上，其中正确的是（ ）

A．① B．②③ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据角平分线的判定定理判断即可．
【详解】解：∵点P到，的距离相等，
∴点P在的平分线上，①正确．
∵点P到，的距离相等，
∴点P在的平分线上，②正确．
∵点P到，的距离相等，
∴点P在的平分线上，③正确．
∴点P在，，的平分线的交点上，④正确．
故选：D
【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，掌握到角的两边的距离相等的点在角的平分线上时解题的关键．
考点4：角平分线性质的实际应用
例4．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点
【答案】D
【分析】因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
【详解】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点，
故选：D．
【点睛】该题考查的是角平分线的性质，因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
考点5：作角平分线
例5．如图，下列四种用无刻度直尺和圆规作角平分线的方法，其中不正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】利用作图痕迹，第个图在和上取的长度不一致,可对第个图进行判断；通过全等三角形的判定与性质可对第个图和第个图进行判断；根据等腰三角形的性质可对第个图进行判断．
【详解】解：第个图在和上取的长度不一致，不符合作法，所以第个图符合题意；
第个图符合角平分线的作法，所以第个图不符合题意；
第个图可两次证明三角形全等得到角平分线，所以第个图不符合题意；
第个图可根据等腰三角形的性质得到角平分线，所以第个图不符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质．
【巩固提升】
选择题
1．如图，平分，于点，于点分别是、的中点，连接．若，则的长为（　　）

A． B． C． D．
2．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．在、两边高线的交点处 B．在、两内角平分线的交点处
C．在、两边中线的交点处 D．在、两边垂直平分线的交点处
3．如图，P是的三条内角平分线的交点，若，，的面积分别为，，，则（ ）

A． B． C． D．无法确定与的大小
4．在正方形网格中，的位置如图，到两边距离相等的点应是（ ）

A．点 B．点 C．点 D．点
5．如图，在中，、分别是、上的点，作，，垂足分别为、，若，，则下列四个结论：①平分；②；③；④，其中结论正确的的个数为（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
6．若三角形内一点到三角形三条边的距离相等，则这点一定是三角形（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三条内角平分线的交点
7．如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为，，，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（　　）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
9．如图，直线，点C、A分别、上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交、于点D、E；分别以D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；作射线交于点B．若，则的度数为（ ）

A．20° B．25° C．30° D．50°
10．如图，在直角坐标系的x轴负半轴和y轴正半轴上分别截取，使，再分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于第二象限的点N，若点N的坐标为，则n的值是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，在中，，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于长为半径画弧，分别交，于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G；③作射线交边于点D，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
12．如图，平分，，则图中的全等三角形有 对．
13．如图，在中，，平分，交于点，，垂足为．若，，则的长为 ．

14．如图，过点作于点，于点，若，，则的度数是 ．

15．如图，，平分，平分，若，则 ．

16．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E，已知，，则的长为 ．
三、解答题
17．如图，O为直线上一点，，平分，．

(1)求的度数；
(2)请通过计算说明是否平分．
18．如图，已知．

(1)尺规作图：作的角平分线（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)如果，，的面积为12，求的面积．
19．如图，中，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且．

(1)求的度数；
(2)求证：平分；
(3)若，且，求的面积．
20．如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭P供大家休息，且凉亭P到草坪三边的距离相等，利用直尺和圆规，确定凉亭P的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
21．如图，射线分别表示从点O出发北、东、南、西四个方向，将直角三角尺的直角顶点与点O重合．
(1)图中与互余的角是________；
(2)①用直尺和圆规作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹）
②在①所做的图形中，如果，那么点P在点O________方向．
参考答案
1．B
【分析】根据角平分线的性质的得到，再利用三角形中位线定理得到即可解答．
【详解】解：∵平分，于点，于点，
∴，
∵分别是、的中点，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形中位线的定理，掌握角平分线的性质是解题的关键．
2．B
【分析】根据三角形三个内角的角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等即可选择．
【详解】根据三角形的角平分线性质，集贸市场应建在、两内角平分线的交点处．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的角平分线性质，掌握三角形三个内角的角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等是解答本题的关键．
3．A
【分析】过点作于，于，于，利用角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式得到，，，求出，然后根据三角形三边关系定理求解．
【详解】解：如图，过点作于，于，于，

是的三条内角平分线的交点，
，
∴，，，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形面积计算，三角形三边关系定理，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
4．D
【分析】根据角平分线的性质，结合图形即可求解．
【详解】解：当点在的角平分线上时，到角的两边的距离相等，
根据图形可知点符合．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
5．B
【分析】根据角平分线的判定即可推出①，用证，得②，，根据推出，根据平行线的判定推出③；条件不足，无法判断④．
【详解】，，，
，
平分，（角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．）
故①正确；
，
在和中，
，
，
，故②正确；
，
，
又，
，
，（内错角相等，两直线平行）
故③正确；
在和中，只能知道，，得不到其它相等的边和角，无法判断，故④错误；
综上，①②③这3个结论正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
6．D
【分析】根据角平分线的判定定理得出即可．
【详解】解：根据角平分线性质可知：三角形内一点到三边的距离相等的点是角平分线的交点，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的判定，能熟记角平分线的判定定理的内容是解此题的关键，注意：在角的内部，到角两边的距离相等的点在角平分线上．
7．B
【分析】过点作于点，根据角平分线的性质可得，根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，

∵是中的角平分线，于点，
∴，
∵，
∴
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
8．C
【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，内部被河水填满无法施工，可得三角形内角平分线的交点不满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有3个．
【详解】解：
∵内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，内部被河水填满无法施工，
∴内角平分线的交点不满足条件；
如图：点P是两条外角平分线的交点，
过点P作，，，
∴，，
∴，
∴点P到的三边的距离相等，
∴两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有3个．
∴可供选择的地址有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解．
9．C
【分析】根据作图可知平分，根据平行线的性质，求出的度数，即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，
由作图可知：平分，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查平行线的性质，基本作图—作角平分线．解题的关键是根据作图方法，得到平分．
10．D
【分析】由作图可知，点N在的角平分线上，推出点N的横坐标与纵坐标互为相反数，由此即可解决问题．
【详解】解：由作图可知，点N在的角平分线上，两弧交于第二象限的点N，
∴点N的横坐标与纵坐标互为相反数，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查作图-基本作图，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11．A
【分析】由作图方法可得是的角平分线，进而根据，求得，再根据三角形的内角和定理，即可求解．
【详解】解：由题意可知：是的角平分线，
，
．
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查作图—角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和定理，掌握基本作图是解题的关键．
12．5
【分析】由平分推出，从而证明出，得到，，从而证明出，得到，从而证明出，得到，从而证明出，得到，从而证明出，即可得到答案．
【详解】解：平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
全等三角形共有5对，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的性质，全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应角相等，对应边相等．
13．
【分析】直接根据角平分线的性质求解．
【详解】解：∵平分交于点，，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
14．/度
【分析】根据，，，可得为的角平分线．
【详解】∵，，，
∴为的角平分线．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，牢记角平分线的性质（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）是解题的关键．
15．
【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后证明，根据全等三角形的面积相等可得，同理可得：，设，，表示出，然后求解即可．
【详解】如图，过点作于，

∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理：，
设，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
16．4
【分析】过点E作于点F，由题意可知为的平分线，根据角平分线的性质可知．借助可计算的长，再由即可得到答案．
【详解】解：过点E作于点F，
由题意可知，为的平分线，
∵，，
∴，
∵，，即，
∴，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了尺规作图 作已知角的平分线、角平分线的性质等知识，解题关键是掌握基本的尺规作图方法和理解角平分线的性质．
17．(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用角平分线的定义可直接得到答案；
（2）先求解，再求解，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵OD平分，且，
∴，
；
（2）∵，
，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平分．
【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，利用数形结合的方法得到角的和差关系是解本题的关键．
18．(1)图见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的作图方法，作图即可；
（2）设点到的距离为，得到点到的距离也为，利用面积公式，进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）设点到的距离为，则：点到的距离也为，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查基本作图—角平分线，角平分线的性质定理．解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．
19．(1)40°
(2)见解析
(3)15
【分析】（1）根据邻补角的定义和垂直的定义可得、，进而得到,然后根据即可解答；
（2）如图：过E点分别作于M，与N，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、平分、，最后根据角平分线的判定定理即可解答；
（3）根据结合已知条件可得，最后运用三角形的面积公式即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：如图：过E点分别作于M，与N，

∵平分，
∴，
∵，
∴平分，
∴，
∴，
∴平分．
（3）解：∵，
∴，
即，解得，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的性质与判定定理、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
20．见解析
【分析】分别作与的平分线，两角平分线的交点就是凉亭P的位置．
【详解】以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点D、E，分别以点D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，作射线；再以点C为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点G、F，分别以点G、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点N，作射线．交于点P，P就是凉亭的位置．
【点睛】本题主要考查了尺规作图——作角平分线，解决问题的关键是熟练掌握基本作图——作角的平分线，角平分线的性质．
21．(1)，
(2)北偏东
【分析】（1）根据互余，平角的定义判断即可．
（2）利用角平分线的定义求出，再求出即可解决问题．
【详解】（1）∵，，
∴，，
∴互余的角有：，，
故答案为：，；
（2）①如图，射线即为所求作．

②∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴点P在点O的北偏东的方向上．
故答案为：北偏东．
【点睛】本题考查作图-应用与设计，角平分线的定义，方向角等知识，解题的关键是准确作∠AOE的平分线．
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