2023-2024学年山东省枣庄市滕州市鲍沟中学八年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省枣庄市滕州市鲍沟中学八年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2. 下列各数是勾股数的是( )
A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、
3. 在、、、、、、、、、中，无理数的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4. 、、是某三角形三边的长，则等于( )
A. B. C. D.
5. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
7. 如图在一个高为米，长为米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8. 比较下列各组数的大小，错误的是( )
A. B. C. D.
9. 若，则的结果是( )
A. B. C. D.
10. 海伦秦九韶公式古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为、、，记，那么三角形的面积为：，在中，，，所对的边分别是、、，若、、，则的面积为( )
A. B. C. D.
11. 在学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直角三角形直角边长分别为，，斜边长为构成如图所示的正方形；乙同学用边长分别为，的两个正方形和长为，宽为的两个长方形构成如图所示的正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 甲，乙都可以 D. 甲，乙都不可以
12. 已知直角三角形两边的长分别为和，则此三角形的周长为( )
A. B. C. 或 D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 若，则代数式的值是______ ．
14. 长方体的长为，宽为，高为，点离点，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是______ ．
15. 如图，在中，，将沿翻折，使点与点重合若，，则的长为______ ．
16. 若，，则的值为______．
17. 对于任意正数，，定义运算“”如下：
，计算结果为______ ．
18. 已知如图：小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，则的周长为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：
；
．
20. 本小题分
已知的立方根是，的平方根是．
求，的值．
求的平方根．
21. 本小题分
阅读下面计算过程：
；
；
；
请解决下列问题：
化简： ______ ；
根据上面的规律，请直接写出 ______ ；
利用上面的解法，请化简：．
22. 本小题分
如图，一架梯子长米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙米．
这个梯子的顶端距地面有多高？
如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？
23. 本小题分
如图，某工厂前面有一条笔直的公路，原来有两条路，可以从工厂到达公路，经测量，，，现需要修建一条路，使工厂到公路的路程最短请你用尺规作图画出最短路径不写画法，保留作图痕迹，并求出新建路的长．
24. 本小题分
学过勾股定理后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度，得到如下信息：
测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长米如图；
当将绳子拉直时，测得此时拉绳子另一端的手到地面的距离为米，到旗杆的距离为米如图．
根据以上信息，求旗杆的高度．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2.【答案】
【解析】解：、、、不都是正整数，不是勾股数，故此选项不符合题意；
B、，则、、不是勾股数，故此选项不符合题意；
C、，则、、是勾股数，故此选项符合题意；
D、，则、、不是勾股数，故此选项不符合题意．
故选：．
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．
3.【答案】
【解析】解：根据题意可得：，，
无理数有：，，，、，共个，
故选：．
先将能化简的数化简，再根据无理数的定义逐个进行判断即．
本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：开不尽方的数，含的数，有规律但是不循环的数．
4.【答案】
【解析】解：、、是某三角形三边的长，
，
故，
原式
．
故选：．
直接利用三角形三边关系得出的取值范围，再利用二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了三角形三边关系以及二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：式子在实数范围内有意义，则，
解得：．
故选：．
直接利用二次根式的有意义，被开方数不小于，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式有意义的条件是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：，故此选项不合题意；
B.无法计算，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.无法计算，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减运算以及二次根式的性质与化简，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度米，
地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是米．
故选：．
当地毯铺满楼梯时的长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，即可求得地毯的长度．
此题考查了生活中的平移现象以及勾股定理，属于基础题，利用勾股定理求出水平边的长度是解答本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：、，，
，
，
故A不符合题意；
B、，
，
，
，
，
故B符合题意；
C、，
，
，
，
，
故C不符合题意；
D、，，
，
，
故D不符合题意；
故选：．
利用平方法，以及估算无理数的大小，即可解答．
本题考查了实数的大小比较，估算无理数的大小，准确熟练地进行计算是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，
，，
，
，
．
故选：．
先根据二次根式有意义求出和的值，再计算即可．
此题考查了二次根式的有意义的条件，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，
，
，
故选：．
根据公式算出的值，代入公式即可求出解
本题主要考查代入求值能力，考查了二次根式化简的知识．
11.【答案】
【解析】解：甲同学的的方案：
大正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积，
，
，
，
因此甲同学的的方案可以证明勾股定理；
乙同学的的方案：
大正方形的面积矩形的面积两个小正方形的面积，
，
得不到，
因此乙同学的的方案不可以证明勾股定理．
故选：．
由图形中的面积关系，应用完全平方公式即可解决问题．
本题考查勾股定理的证明，关键是应用面积法，完全平方公式．
12.【答案】
【解析】解：设的第三边长为，
当为直角三角形的直角边时，为斜边，
由勾股定理得，，此时这个三角形的周长；
当为直角三角形的斜边时，为直角边，
由勾股定理得，，此时这个三角形的周长，
故选：．
先设的第三边长为，由于是直角边还是斜边不能确定，故应分是斜边或为斜边两种情况讨论．
本题考查的是勾股定理的应用，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．
13.【答案】
【解析】解：，
，
．
故答案为：．
先利用已知条件得，将所求代数式配方，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
14.【答案】
【解析】解：把左侧面展开到水平面上，连接，如图，
把右侧面展开到正面上，连接，如图，
；
把向上的面展开到正面上，连接，如图，
．
所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离为．
故答案为：．
分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连接，如图；把右侧面展开到正面上，连接，如图；把向上的面展开到正面上，连接，如图，然后利用勾股定理分别计算各情况下的，再进行大小比较．
本题考查了平面展开最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
15.【答案】
【解析】解：将沿翻折，使点与点重合，
，
，，，
，
，
，
，
解得，
故答案为：．
根据折叠的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，，
，
．
故答案为．
先计算出的值，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．注意整体代入方法的运用．
17.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
根据题目已知的定义运算进行计算即可．
本题考查了实数的运算，理解题目已知的定义运算是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：由勾股定理得：，，，
的周长，
故答案为：．
由勾股定理求出、以及的长，即可解决问题．
本题考查了勾股定理以及三角形周长，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
19.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】先根据完全平方公式和二次根式的除法法则运算，然后合并即可；
先利用二次根式的性质、负整数指数幂和绝对值的意义计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和负整数指数幂的意义是解决问题的关键．
20.【答案】解：的立方根是，的平方根是．
；，
解得；
当，时，
．
则的平方根是．
的平方根是．
【解析】根据平方根立方根的性质进行运算即可．
将、代入代数式计算数值后再求它的平方根即可．
本题考查了平方根立方根的性质，正数有两个平方根，它们互为相反数．
21.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：；
由题意得：，
故答案为：；
．
利用分母有理化的法则进行运算即可；
分析所给的式子的形式，从而可求解；
利用的规律进行求解即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
22.【答案】解：根据勾股定理：
所以梯子距离地面的高度为：米；
答：这个梯子的顶端距地面有米高；
梯子下滑了米即梯子距离地面的高度为米，
根据勾股定理：米，
米，
答：当梯子的顶端下滑米时，梯子的底端水平后移了米．
【解析】利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
由可以得出梯子的初始高度，下滑米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求的长度是解题的关键．
23.【答案】解：过点作于点，则线段为新建公路．
，，
，，
，
是直角三角形．
，
，
新建路的长为．
【解析】直接利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再利用三角形面积求法得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用直角三角形的性质是解题关键．
24.【答案】解：设米，
则，，
，
，
即：，
，
，
．
答：旗杆的高度为米．
【解析】设，在中根据勾股定理列方程求解即可．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键．
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