2023-2024学年河北省秦皇岛市海港区逸城学校八年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年河北省秦皇岛市海港区逸城学校八年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 据研究，一种病毒直径为纳米纳米米下列用科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
2. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
3. 如图，，，是两条直线，被直线所截后形成的八个角，则能够判定直线的是( )
A. B. C. D.
4. 下列命题：
对顶角相等；内错角相等；
两条平行线之间的距离处处相等；
有且只有一条直线垂直于已知直线．
其中是假命题的有( )
A. B. C. D.
5. 如图，已知直线，的平分线交于点，，则等于( )
A. B. C. D.
6. 已知方程组，则( )
A. B. C. D.
7. 下列各式计算正确的是( )
A. B. C. D.
8. 如不等式组解集为，则，的值分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
二、填空题（本大题共9小题，共18.0分）
9. ______．
10. 将一把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的大小为______．
11. 若是关于，二元一次方程的一个解，则的值是______．
12. 已知二元一次方程，用含有的式子表示，则______．
13. 某商店出售一种钢笔，进价为元，标出的售价是元，商店要在保证利润利不低于的前提下进行降价销售，则最多降价______元．
14. 若有理数，满足，则______．
15. 若，，则代数式的值为 ．
16. 若，，则______．
17. 如图，面积为的直角三角形沿方向平移至三角形的位置，平移距离是的倍，则图中四边形的面积为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
解方程组；
解不等式组．
19. 本小题分
因式分解：．
．
20. 本小题分
填空，完成下列证明过程，并在括号中注明理由．
如图，已知，，求证：．
解：，已知．
____________
____________
又，
，即______．
____________
______
21. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
22. 本小题分
某商场计划经销、两种新型节能台灯共盏，这两种台灯的进价、售价如下表所示．
价格类型 型 型
进价元盏
售价元盏
若该商场购进这批台灯共用去元，问这两种台灯各购进多少盏？
在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场销售这批台灯的总利润不少于元，问至少需购进种台灯多少盏？
23. 本小题分
如图，在中，，，是的角平分线，点在上，点在的延长线上，．
求的度数．
求的度数．
24. 本小题分
如图，有型、型正方形卡片和型长方形卡片各若干张．
用张型卡片，张型卡片，张型卡片拼成一个正方形，如图，用两种方法计算这个正方形面积，可以得到一个等式，请你写出这个等式；
选取张型卡片，张型卡片，______张型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含，的代数式表示为______；
如图，两个正方形边长分别为、，，，求阴影部分的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意可得：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
2.【答案】
【解析】解：、不多项式变形，因而不是因式分解，错误；
B、是多项式乘法，不是因式分解，错误；
C、是提公因式法，正确；
D、右边不是积的形式，错误；
故选：．
根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解．
这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
3.【答案】
【解析】解：、不能判定任何直线平行，故本选项不符合题意；
B、，，，，故本选项符合题意；
C、不能判定任何直线平行，故本选项不符合题意；
D、不能判定任何直线平行，故本选项不符合题意．
故选B．
根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：同旁内角互补，两直线平行．
4.【答案】
【解析】解：对顶角相等，正确，是真命题；
两直线平行，内错角相等，故错误，是假命题；
两条平行线之间的距离处处相等，正确，是真命题；
过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故错误，是假命题，
故选：．
利用对顶角的性质、平行线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平行线的性质等知识，难度不大．
5.【答案】
【解析】解：，
，
为的平分线，
，
，
．
故选D．
根据两直线平行，同位角相等可得，再根据角平分线的定义求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答．
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
得：，
则，
故选：．
方程组两方程相加，即可求出所求．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
7.【答案】
【解析】解：、，故此选项错误；
B、，正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用同底数幂的乘法运算法则以及负指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及负指数幂的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集是：，
不等式组解集为，
，，
即，
故选：．
求出不等式的解集，根据求不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知不等式组的解集，即可求出答案．
本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组的应用，关键是得出关于、的方程，题目比较典型，难度不大．
9.【答案】
【解析】解：原式．
故答案为：．
直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质以及负指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等与三角形的内角和为．
由得，再由，可得，然后根据进行求解即可．
【解答】
解：由题意知，
，
，
，
，
故答案为．
11.【答案】
【解析】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：
把与的值代入方程计算即可求出的值．
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
12.【答案】
【解析】解：把方程移项得，，
方程左右两边同时除以，得：．
故答案为：．
本题是将二元一次方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，可先移项，再系数化为即可．
此题考查的是方程的基本运算技能，移项，合并同类项，系数化为等，然后合并同类项，系数化就可用含的式子表示．
13.【答案】
【解析】解：设降价元出售该钢笔，
则，
解得：．
故该店最多降价元出售该钢笔．
故答案为：．
先设最多降价元出售该钢笔，则降价出售获得的利润是元，再根据利润率不低于，列出不等式即可．
本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．
14.【答案】
【解析】解：，
，．
．
故答案为：．
首先依据非负数的性质求得、的值，然后利用有理数的乘方求解即可．
本题主要考查的是非负数的性质，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：因为，，
所以
．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：，，
．
故答案为：．
直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
17.【答案】
【解析】解：平移的距离是边长的两倍，
，
四边形的面积是三个的面积；
四边形的面积．
故答案为：．
根据平移的性质可以知道四边形的面积是三个的面积，依此计算即可．
考查了平移的性质，本题的关键是得出四边形的面积是三个的面积．然后根据已知条件计算．
18.【答案】解：解方程组，
，得，
把代入，得，
所以原方程组的解为；
解不等式组，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以，不等式的解集是．
【解析】利用加减消元法求解即可；
首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
19.【答案】解：原式；
原式．
【解析】首先提公因式，再利用平方差进行二次分解即可；
直接利用完全平方公式进行分解即可．
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
20.【答案】；同旁内角互补，两直线平行； ；两直线平行，内错角相等 ；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
本题考查了平行线的性质定理以及判定定理，关键性质定理与判定定理二者之间的区别以及正确掌握同位角、内错角、同旁内角的定义．
根据平行线的性质与判定定理即可作出解决．
【解答】
解：，已知．
同旁内角互补，两直线平行．
两直线平行，内错角相等．
又，
，即．
内错角相等，两直线平行．
两直线平行，内错角相等．
故答案为：；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
21.【答案】解：原式
，
当时，
原式；
【解析】利用多项式乘以多项式和单项式乘以多项式计算法则进行计算，再合并同类项，化简后，再代入的值可得答案．
此题考查了整式的混合运算--化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解答本题的关键．
22.【答案】解：设购进种新型节能台灯盏，种新型节能台灯盏，由题意得：
，
解得：，
答：购进型节能台灯盏，型节能台灯盏；
设购进种新型节能台灯盏，则购进种新型节能台灯盏，由题意得：
，
解得：，
表示整数，
至少需购进种台灯盏，
答：至少需购进种台灯盏．
【解析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，以及一元一次不等式的应用，关键是首先弄清题意，设出未知数，根据题目中的关键语句列出方程组或不等式．
首先设购进种新型节能台灯盏，种新型节能台灯盏，由题意可得两个等量关系：、两种新型节能台灯共盏，这批台灯共用去元，根据等量关系列出方程组，解方程组可得答案；
设购进种新型节能台灯盏，则购进种新型节能台灯盏，由题意可得不等关系：盏种新型节能台灯的利润盏种新型节能台灯的利润元，根据不等关系列出不等式，即可得答案．
23.【答案】解：，，，
；
，
，
是的角平分线，
，
，
．
【解析】根据外角的性质即可得到结论；
根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质即可得到结论．
本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
24.【答案】解：方法：大正方形的面积为，
方法：图中四部分的面积和为：，
因此有；
，；
由图形面积之间的关系可得，
．
【解析】【分析】
考查完全平方公式的几何意义，用不同方法表示同一个图形的面积是常用的方法．
用两种方法表示图的面积，即可得出等式；
由拼图可得是完全平方式，则，即，从而得出答案；
表示阴影部分的面积，化成，再整体代入求值即可．
【解答】
解：见答案；
由面积拼图可知，
故答案为：，，
见答案．
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