2023-2024学年江西省南昌二十八中教育集团联盟八年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年江西省南昌二十八中教育集团联盟八年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在平面直角坐标中，点所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. ，都是实数，且，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
3. 某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校名学生家长进行调查，这一问题中样本是( )
A. B. 被抽取的名学生家长
C. 被抽取的名学生家长的意见 D. 全校学生家长的意见
4. 秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 一次数学活动课上，小聪将一副含角的三角板的一条直角边和角的三角板的一条直角边重叠，则的度数为( )
A. B. C. D.
6. 如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. 的立方根为 ．
8. 不等式的解是______ ．
9. 已知方程组，则的值是______．
10. 某环保知识竞赛一共有道题，规定：答对一道题得分，答错或不答一道题扣分，在这次竞赛中，小明被评为优秀分或分以上，则小明至少答对了______ 道题．
11. 如图，个相同的小长方形拼成一个大长方形，设小长方形的长和宽分别为厘米和厘米，则每个小长方形的面积为______平方厘米．
12. 关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. 本小题分
计算：；
如图，两条直线、相交，，求的度数．
14. 本小题分
解方程或不等式组：
解方程组；
解不等式组．
15. 本小题分
已知的立方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．
16. 本小题分
已知：如图所示，和的平分线交于，交于点，．
求证：；
试探究与的数量关系．
17. 本小题分
已知关于，的方程组．
求与的关系式用只含的代数式表示；
若该方程的解满足，求式子的值．
18. 本小题分
如图，先将向上平移个单位再向左平移个单位得到，
画出，并写出点、、的坐标．
求的面积．
19. 本小题分
某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程．为让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：综合模型、摄影艺术、音乐鉴赏、劳动实践，随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
此次被调查的学生人数为______名；
补全条形统计图；
求拓展课程劳动实践所对应的扇形的圆心角的度数；
根据抽样调查结果，请你估计该校名学生中，有多少名学生最喜欢音乐鉴赏拓展课程．
20. 本小题分
如图，把两个边长为的小正方形沿着对角线剪开，所得的个直角三角形拼成一个面积为的大正方形，由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法图中、两点表示的数分别为______ ，______ ；
小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片如图，使它的长是宽的倍小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由．
21. 本小题分
若点的坐标满足．
当，时，求点的坐标；
若点在第二象限，且、为正整数，求所有符合条件的点的坐标；
若关于的方程有唯一解，求关于的不等式的解集．
22. 本小题分
某中学开学初到商场购买，两种品牌的足球，购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元已知购买一个种品牌的足球比购买一个种品牌的足球需要多花元．
求购买一个种品牌、一个种品牌的足球各需多少元？
为了响应习总书记“足球进校园”的号召，学校决定再次购进，两种品牌的足球个，正好赶上商场对商品价格进行调整，品牌足球的售价比第一次购买时提高元，品牌足球按第一次购买时售价的九折出售如果学校此次购买，两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的，且保证这次购买的种品牌足球不少于个，则这次学校有哪几种购买方案？
23. 本小题分
在平面直角坐标系中，对于任意三点，，的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．
例如：三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．
若点，，，则“水平底” ______ ，“铅垂高” ______ ，“矩面积” ______ ．
若点，，，且，，三点的“矩面积”为，求点的坐标．
若点，，，直接写出，，三点的“矩面积”的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
点所在的象限是第四象限．
故选：．
根据各象限内点的坐标特征解答即可．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决本题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
2.【答案】
【解析】解：，，故该选项不正确，不符合题意；
B.，，故该选项不正确，不符合题意；
C.，，故该选项正确，符合题意；
D.，，故该选项不正确，不符合题意．
故选：．
根据不等式的基本性质，逐项判断即可．
本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质：不等式的两边都加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的基本性质：不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象；总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小；样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】
解：某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校名学生家长进行调查，这一问题中样本是：被抽取的名学生家长的意见．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了无理数的估算，熟练运用算术平方根进行比较是解题的关键．
先根据，，推出，所以，即可得出答案．
【解答】
解：，
，
，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：
如图所示，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据平行线的判定求出，根据平行线的性质求出，根据三角形的外角性质求出即可．
本题考查了平行线的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，能根据定理求出的度数是解此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由题意可知，第次从原点运动到点，
第次接着运动到点，
第次接着运动到点，
第次从原点运动到点，
第次接着运动到点，
第次接着运动到点，
第次接着运动到点，
第次接着运动到点，
第次从原点运动到点，
第次接着运动到点，
，
第次接着运动到点，
故选：．
根据前几次运动的规律可知第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，根据规律求解即可．
本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题．
7.【答案】
【解析】【分析】
利用立方根定义计算即可得到结果．
此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
【解答】
解：的立方根是．
故答案为：．
8.【答案】
【解析】解：移项得，，
合并同类项得，，
故答案为：．
先移项，再合并同类项，把的系数化为即可．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为是解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，
得，
故答案为：．
方程组两个方程相减即可．
本题考查解二元一次方程组，两方程相减是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：设小明答对了道题，则答错或不答道题，
根据题意得：，
解得：，
又为非负整数，
的最小值为，
小明至少答对了道题．
故答案为：．
设小明答对了道题，则答错或不答道题，利用得分答对题目数答错题目数，结合得分不少于分，可列出关于的一元一次不等式，解之可求出的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：依题意得：，
解得：，
，
每个小长方形的面积为平方厘米．
故答案为：．
观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再利用长方形的面积计算公式，即可求出每个小长方形的面积．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，
由得，，
由得，，
不等式组有个整数解，
．
故答案是．
先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有个整数解，即可得出的取值范围．
本题主要考查了一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，正确求出不等式组的解集，并能够根据不等式组的整数解的个数确定参数的取值范围是解题的关键．
13.【答案】解：原式
；
由题可知，，又知，
故，
即，
又知与是对顶角，且对顶角相等，
故．
【解析】根据混合运算的顺序计算即可．
先利用倍数关系和平角特征计算出的度数，再根据对顶角的关系求出的度数．
本题考查实数的运算，掌握实数的运算方法便可解题．
14.【答案】解：，
化简，得：，
，得：，
解得，
将代入，得：，
该方程组的解是；
，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
该不等式组的解集是．
【解析】先将方程组化简，然后根据加减消元法可以解答此方程组；
先求出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式的方法．
15.【答案】解：的立方根是，的平方根是，
，，
解得：，，
，
，
是的整数部分，
，
，
则的平方根是．
【解析】根据立方根，平方根的定义及无理数的估算确定，，的值后代入中计算，然后求得它的平方根即可．
本题考查平方根，立方根的定义及无理数的估算，结合已知条件确定，，的值是解题的关键．
16.【答案】证明：、平分、，
，，
，
，
；同旁内角互补，两直线平行
解：平分，
；
，
，
，
．
【解析】此题主要考查了角平分线的定义以及平行线的判定，难度不大．
已知、平分、，且，可得，根据同旁内角互补，可得两直线平行．
已知，即，那么，将等角代换，即可得出与的数量关系．
17.【答案】解：，
得，
整理得；
把代入，得，
解得，把代入，
得，把，代入得：，
解得：．
【解析】加减消元法消去可求与的关系式；
把代入，求得方程的解，再把方程的解代入可求的值．
本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是能观察出方程组未知数系数的关系，此题难度不大．
18.【答案】解：如图所示：即为所求，、、；
的面积为：．
【解析】直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
直接利用所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
19.【答案】；
选择的学生有：名，
补全的条形统计图如图所示；
，
即拓展课程劳动实践所对应的扇形的圆心角的度数是；
名，
答：估计该校名学生中，有名学生最喜欢音乐鉴赏拓展课程．
【解析】解：此次被调查的学生人数为：名，
故答案为：；
见答案；
见答案；
见答案．
根据选择的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的学生人数；
根据条形统计图中的数据，即可计算出选择的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
用乘以劳动实践所占比例可得答案；
利用乘以的百分比求解即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、频数率分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】
【解析】解：由勾股定理得：小正方形的对角线为，
图中、两点表示的数分别，．
故答案为：，；
不能，
正方形的面积为，
边长为，
设长方形的宽为，则长为，
长方形面积，
解得或负值不合题意，舍去，
长为，
即长方形的长大于正方形的边长，所以不能裁出符合要求的长方形纸片．
根据图得出小正方形对角线长即可；
先求得正方形的边长，然后设长方形的宽为，则长为，然后依据矩形的面积为列方程求得的值，从而得到矩形的边长，从而可作出判断．
本题考查了实数与数轴，勾股定理以及算术平方根，熟练掌握勾股定理和算术平方根的性质是解题的关键．
21.【答案】解：由题意，将，代入方程组得，
．
．
．
将、看作已知解方程组．
解得：，
点在第二象限，
，，
．
又、为正整数，
，或；，，
或或．
由题意，根据中，，．
又有唯一解，
中，，不同时为，此时．
．
当时，
，
．
，
．
综上，关于的不等式的解集为或．
【解析】依据题意，将，代入方程组后，解方程组可以得解；
依据题意，将，看作已知数求出，，结合在第二象限，可以得解；
由中，，结合方程有唯一解，从而得出，的关系，最后得解．
本题主要考查解一元一次不等式、解二元一次方程组的能力，熟练掌握加减消元的方法和解不等式的基本依据是解题的关键．
22.【答案】解：设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元，
依题意得：
，
解得：．
答：购买一个种品牌的足球需要元，购买一个种品牌的足球需要元．
设第二次购买种足球个，则购买种足球个，
依题意得：，
解得：．
故这次学校购买足球有三种方案：
方案一：购买种足球个，种足球个；
方案二：购买种足球个，种足球个；
方案三：购买种足球个，种足球个．
【解析】设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元，根据“总费用买种足球费用买种足球费用，以及种足球单价比种足球贵元”可得出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
设第二次购买种足球个，则购买种足球个，根据“总费用买种足球费用买种足球费用，以及种足球不小于个”可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组可得出的取值范围，由此即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：根据数量关系找出关于、的二元一次方程组；根据数量关系找出关于的一元一次不等式组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程方程组、不等式或不等式组是关键．
23.【答案】
【解析】解：，
．
，
，
．
故答案为：，，；
由题意知：；
“矩面积”为，
，
若舍去，
若，则，此时；
或，此时舍去，
若，则，此时；
或，此时舍去，
综上所述：或；
由得：；
若，则；
若，则，，
的最小值为；
若，则，，
的最小值为；
综上所述：“矩面积”的最小值为．
根据材料所给信息即可求解；
由“矩面积”可求出的值，再分类讨论即可求解；
分类讨论的值即可求解．
本题以新定义题型为背景，重新定义了距离、面积．正确理解材料所包含的信息是解题关键．
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