2023-2024学年安徽省六安市金安区皋城中学九年级（上）段考数学试卷（一）（含解析）

2023-2024学年安徽省六安市金安区皋城中学九年级（上）段考数学试卷（一）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式中，是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2. 以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3. 是关于的一元二次方程的解，则( )
A. B. C. D.
4. 一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数是( )
A. B. C. D.
5. 某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6. 若将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则所得抛物线的解析式为 ( )
A. B.
C. D.
7. 如图，在中，，，、、分别为、、的中点，连接、，相交于点，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
8. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
9. 如图，在矩形中，，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，抛物线交轴于，两点，与轴的交点在，之间包含端点，抛物线对称轴为直线，有以下结论：；；；为实数；若，是抛物线上的两点，当时，；其中结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 在函数中，自变量的取值范围是______．
12. 如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和，则的面积为______．
13. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于、两点，则关于的不等式的解集是______．
14. 如图，四边形纸片中，点，分别在边，上，将纸片沿直线折叠，点恰好落在点处；再将，分别沿，折叠，点，均落在上的点处．
的大小为______；
若四边形是菱形，点为中点且四边形纸片的面积是，则______．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 本小题分
计算：．
16. 本小题分
解方程：因式分解法
17. 本小题分
将二次函数化为顶点式并写出它的顶点坐标．
18. 本小题分
已知关于的一元二次方程有两个实数根．
求的取值范围；
设是方程的一个实数根，且满足，求的值．
19. 本小题分
观察下列关于自然数的等式：
根据上述规律解决下列问题：
写出第四个等式：______；
写出你猜想的第个等式用含的式子表示，并验证其正确性．
20. 本小题分
如图，中，，、的角平分线交于点，于，于；
问四边形是正方形吗？请说明理由．
若，，则的长为多少？
21. 本小题分
端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按分制进行评分，成绩单位：分均为不低于的整数为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：
八年级名学生活动成绩统计表
成绩分
人数
已知八年级名学生活动成绩的中位数为分．
请根据以上信息，完成下列问题：
样本中，七年级活动成绩为分的学生数是______ ，七年级活动成绩的众数为______ 分；
______ ， ______ ；
若认定活动成绩不低于分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．
22. 本小题分
某网店月份经营一种热销商品，每件成本元，发现三周内售价在持续提升，销售单价元件与时间天之间的函数关系为其中，为整数，且其日销售量件与时间天的关系如下表．
时间天
日销售量件
已知与之间的变化规律符合一次函数关系，请直接写出件与时间天函数关系式；
在这三周的销售中，第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
在实际销售的天中，该网店每销售一件商品就捐赠元利润给“精准扶贫”的对象，通过销售记录发现，这天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间天的增大而增大，求的取值范围．
23. 本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过点，．
求抛物线的表达式．
直线其中与线段交于点，与抛物线交于点，连接，当线段长的最大时，求证：四边形是平行四边形．
在的条件下，连接，过点的直线与抛物线交于点，若，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：选项，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
选项，，被开方数中含有能开得尽方的因数，不符合题意；
选项，，被开方数中含有能开得尽方的因数，不符合题意；
选项，是最简二次根式，符合题意．
故选：．
最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查了最简二次根式的概念，熟练掌握二次根式的概念是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、，能构成直角三角形，故符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
3.【答案】
【解析】解：把代入方程得，
所以，
所以
．
故选：．
先把代入方程得，然后利用整体代入的方法计算的值．
本题考查了一元二次方程的解，掌握解一元二次方程的步骤是关键．
4.【答案】
【解析】解：，
这个多边形的边数是．
故选：．
根据多边形的外角和等于，用除以一个多边形的每个外角的度数，求出这个多边形的边数是多少即可．
此题主要考查了多边形的内角与外角，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：多边形的外角和等于．
5.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
或，
，，
所以，这位同学是乙，
故选：．
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答；
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法：当二次项系数化为时，常数项等于一次项系数一半的平方是解题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象与几何变换．
先确定抛物线的顶点坐标为，利用点平移的规律得到点平移后所得对应点的坐标为，然后利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式．
【解答】
解：抛物线的顶点坐标为，点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度所得对应点的坐标为，
所以新抛物线的解析式为．
故选A．
7.【答案】
【解析】解：，，，
，
是的中点，
，
、分别为、中点，
是的中位线，
，
，
．
故选：．
由直角三角形的性质得到，由直角三角形斜边中线的性质得到，由三角形中位线定理推出，由平行线等分线段定理得到．
本题考查直角三角形的性质，三角形中位线定理，平行线等分线段定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线，
而离直线的距离最远，点离直线最近，
．
故选：．
根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
9.【答案】
【解析】解：设中边上的高是．
，
，
，
动点在与平行且与的距离是的直线上，
如图，作关于直线的对称点，连接，，则的长就是的最小值．
在中，，，
，
即的最小值为．
故选：．
根据，得出动点在与平行且与的距离是的直线上，作关于直线的对称点，连接，连接，则的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形中，由勾股定理求得的值，即的最小值．
本题考查了轴对称最短路线问题，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型．
10.【答案】
【解析】解：由图象及题意可知：，，根据对称轴为直线得，
，
，故错误；
抛物线交轴于，
，
，故正确；
，
，
，
；故正确；
当时，该抛物线有最高点，即最大值是，
当时，则有，
，即为为实数，故错误；
若，是抛物线上的两点，且对称轴为直线，
，
根据抛物线的对称性可知点的对称点为，则当时，；故正确；
故选：．
根据二次函数的图象与性质可进行求解．
本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：根据题意得：，解得：．
因为二次根式的被开方数要为非负数，即，解此不等式即可．
当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12.【答案】
【解析】解：由于、、都是正方形，所以，；
，
即，
在和中，
，
≌，
，；
在中，由勾股定理得：，
即，
的面积为，
故答案为：．
运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得，然后证明≌，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，关键是证明≌．
13.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想．根据图象写出抛物线在直线上方部分的的取值范围即可．
【解答】
解：两函数图象相交于、两点，
不等式的解集是或．
故答案为或．
14.【答案】
【解析】解：如图，由翻折的性质得：
，，，，，
，
，
四边形内角和为，
，
，
，
．
故答案为：；
四边形是菱形，
，，
点为中点，
，
设，则，
，
四边形纸片的面积是：，
解得：，
．
故答案为：．
由翻折的性质得：，，，，，再结合四边形内角和为，即可求出；
由边形是菱形得、，由点为中点，，设，勾股定理求出，由四边形纸片的面积解出，即可求得．
本题主要考查了翻折的性质、四边形内角和、菱形的性质，利用翻折性质：对应角相等、对应边相等是本题的关键．
15.【答案】解：
．
【解析】先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16.【答案】解：方程整理得：，
分解因式得：，
所以或，
解得：，．
【解析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
17.【答案】解：，
所以抛物线的对称轴为直线，顶点坐标．
【解析】利用配方法把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
18.【答案】解：
关于的一元二次方程有两个实数根，
，即，
解得；
是方程的一个实数根，
，
，
，
，即，
解得或，
又由可知，
．
【解析】由方程根的情况，根据判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围；
由方程根的定义，可用表示出，代入已知等式可得到关于的方程，则可求得的取值范围．
本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
19.【答案】解：；
第个等式为：，
验证：
左边，
右边．
左边右边，
．
【解析】
第四个等式：；
见答案．
通过观察序号与每个式子构成等式的关系，即可得到规律，进一步即可得到结果．
本题注意考查了整数的混合运算和数字的变化规律，通过观察序号与每个式子构成等式的关系是解决本题的关键．
20.【答案】解：四边形是正方形，理由如下：
，于点，于点，
四边形为矩形，
、的平分线交于点，
为的内心，
，
四边形是正方形．
，
，
四边形是正方形，
，
设，
则的面积的面积的面积正方形的面积的面积
，
解得：，
即的长为．
【解析】首先利用垂直的定义证得四边形是矩形，然后利用角平分线的性质得到，从而判定该四边形是正方形．
由勾股定理求出，由正方形的性质得出，设，则的面积的面积的面积正方形的面积的面积，解方程即可．
本题主要考查了角平分线的性质，三角形的内切圆与内心，解题的关键是利用正方形的判定方法证得四边形是正方形．
21.【答案】
【解析】解：由扇形统计图可得，成绩为分的人数为人，
成绩为分的人数为人，
成绩为分的人数为人，
则成绩为分的学生数为人，
出现次数最多的为分，
七年级活动成绩的众数为分，
故答案为：；；
由题意，将八年级的活动成绩从小到大排列后，它的中位数应是第个和第个数据的平均数，
八年级名学生活动成绩的中位数为分，
第个和第个数据的和为，
第个和第个数据分别为分，分，
成绩为分和分的人数为人，
成绩为分的人数为人，成绩为分的人数为人，
即，，
故答案为：；；
不是，理由如下：
结合中所求可得七年级的优秀率为，八年级的优秀率为，
七年级的平均成绩为分，八年级的平均成绩为分，
，，
本次活动中优秀率高的年级并不是平均成绩也高．
分别求得成绩为分，分，分的人数，再结合总人数为人列式计算即可求得成绩为分的学生数，然后根据众数定义即可求得众数；
根据中位数的定义将八年级的活动成绩从小到大排列，那么其中位数应是第个和第个数据的平均数，结合已知条件易得第个和第个数据分别为，，再根据表格中数据即可求得答案；
结合中所求，分别求得两个年级优秀率及平均成绩后进行比较即可．
本题主要考查众数，中位数及平均数，数据分析相关知识点是必考且重要知识点，必须熟练掌握，中根据中位数定义及已知条件确定第个和第个数据分别为分，分是解题的关键．
22.【答案】解：设件与时间天函数关系式，将，代入函数关系式得：
，
得，
所以，件与时间天函数关系式是；
设这三周的销售中，日销售利润为元，
，
当时，取得最大值，此时，
答：在这三周的销售中，第天的销售利润最大，最大利润是元；
设该网店捐赠后的每日的销售利润为元，
，
的对称轴是，
这天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间天的增大而增大，
，解得，，
又，
，
即的取值范围是．
【解析】根据题意可以设出件与时间天函数关系式，然后根据表格中的数据即可解答本题；
根据题意可以得到利润与的函数关系式，然后化为顶点式即可解答本题；
根据题意可以得到相应的函数解析式，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．
23.【答案】解：直线经过点，，
当时，，
，
即，
当时，，
，
即，
点、在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式为；
由题知，，，
，
，
故有最大值，
当时，的最大值为，
此时，
又，
四边形为平行四边形；
，如下图：
直线和直线关于直线对称，
由知，当线段最大时，直线的表达式为：，
此时点的坐标，点的坐标为，
则点关于的对称点，
设直线的表达式为，
代入点和的坐标，得，
解得，
直线的表达式为，
联立直线和抛物线得，
解得舍去或，
即点的坐标为．
【解析】根据直线经过点，，求出点和点的坐标，再用待定系数法求解析式即可；
由题知，，，根据二次函数的性质求出的最大值，根据平行且等于得出四边形是平行四边形即可；
由，得出直线和直线关于直线对称，由得出点的坐标，的对称点的坐标，求出直线的解析式，联立直线和抛物线解析式即可得出点的坐标．
本题主要考查二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求解析式等知识点，熟练掌握待定系数法求解析式及二次函数的性质等知识是解题的关键．
第1页，共1页