1.4.2充要条件课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册(共29张PPT)

(共29张PPT)
1.4.2充要条件
第一章集合与常用逻辑用语
学习目标
素 养 目 标 学 科 素 养
1.理解充要条件的意义.（重点） 2.会判断一些简单的充要条件问题.（重点） 3.能对充要条件进行证明.（难点） 1、数学抽象
2、逻辑推理
复习引入
问题：　给出以下两个命题：
(1)若一个数是负数 ，则它的平方是正数；
(2)若一个数的平方是正数，则它是负数．
你能说出命题(1)与命题(2)的条件与结论有什么关系吗？
提示:　两个命题的条件与结论恰好互换了．
思考
逆命题：将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题形式的命题，“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题.
复习引入
下列“若p，则q”形式的命题，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
1、若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
2、若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
复习引入
上述命题的逆命题是：
1、若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等。


两个三角形的两角和其
中一角所对的边分别相等。
P:两个三角形全等
q:
性质定理
判定定理
都是真命题
复习引入
上述命题的逆命题是：
2、若两个三角形的周长相等，则两个三角形全等。

/
两个三角形的周长相等
P:两个三角形全等
q:
q→p是假真命题
P→q是真命题
复习引入
p:a2=b2, 则q:=
p q q p
充要条件
p是q的充分条件
p是q的必要条件
p是q的
充 要 条 件
p q表示p q, 且q p
充要条件有时可以改用“当且仅当”来表示
p与q的逻辑关系
思考
条件p与条件q之间有几种不同的逻辑关系？
①若p q ，且q p ，则p是q的充分不必要条件；
②若p q ，且q p ，则p是q的必要不充分条件；
④若p q ，且q p ，则p是q的充要条件.
③若p q ，且q p ，则p是q的即不充分也不必要条件；
练一练
1.在下列电路图中,开关A闭合是灯泡B亮的什么条件:
⑴如图①所示,开关A闭合是灯泡B亮的_____ _____条件;
⑵如图②所示,开关A闭合是灯泡B亮的_____ _____条件;
⑶如图③所示,开关A闭合是灯泡B亮的_____ _____条件;
⑷如图④所示,开关A闭合是灯泡B亮的_____ _____条件.
充分不必要
必要不充分
充 要
既不充分也不必要
1) p：同位角相等； q：两直线平行
2) p：两个角是对顶角； q：两个角相等
3) p：两个三角形周长相等； q：两个三角形面积相等
4) p：两个三棱锥底面积相等； q：两个三棱锥体积相等
2.下列各小题中，p是q的什么条件？
练一练
概括归
纳
已知 p：x∈A； q：x∈B
若A B，则p是q的充分不必要条件；
若B A，则p是q的必要不充分条件；
若A=B， 则p是q的充要条件；
若A B ，且B A, 则p是q的既不充分也不必要条件.
A
B
x
B
A
例题讲解
下列各命题中，哪些p是q的充要条件？
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分；
（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；
（3）p： ，q：
（4）p：是一元二次方程的一个根，
q：.
知识总结
若，且，
若，，
若，，
若，，
则p是q的既不充分也不必要条件.
则p是q的必要不充分条;
则p是q的充分不必要条件；
则p是q的充要条件；
指出下列各组命题中，p是q的什么条件？
（1）p: ab=0, q: a2+b2=0；
（2）p: xy≥0, q: |x|+|y|=|x+y|;
（3）p: m>0, q: 方程x2-x-m=0有实根；
（4）p: |x-1|>2, q :x<-1.
p是q的必要不充分条件
p是q的充要条件
p是q的充分不必要条件
p是q的必要不充分条件
习题演练
知识总结
知识总结
充分、必要条件的证明
证明:一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正实数根和一个负实数根的充要条件是ac<0.
充分、必要条件的证明
充分、必要条件的证明
方法总结 有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,谁是谁的什么条件,
由“条件” “结论”是证明充分性,
由“结论” “条件”是证明必要性.证明要分两个环节:一是证充分性;二是证必要性.
充分、必要条件的证明
练习：已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是(a+b-1)(a2+b2-ab)=0.
充要条件的应用
问
题
数学思想 之 函数与方程思想＋数形结合
分
析
１．已知关于x的方程x2+６x+k=0有两个不相等的负实数根，
求参数ｋ的取值范围.
从数的角度看：方程x2+6x+k=0有两个不相等的负实数根的充要条件是：判别式为正、两根之和为负且两根之积为正，易得0从形的角度看：函数y=x2+6x+k图像与x轴负半轴有两个交点，充要条件是：对称轴在y轴左侧，顶点在x轴下方，与y轴交点在x轴上方．可求得0方
法
等价变形的过程，可以是将自然语言翻译成符号语言，也可以是将自然语言翻译成图形语言，再翻译成符号语言．
对应练习：
求关于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0有一个根大于1，另一个根小于1的充要条件.
提示：
数的角度：x1-1<0, 且x2-1>0（前提是判别式为正）
形的角度：函数y=x2+(2m-1)x+m2图像与x轴两个交点位于x=1异侧
充要条件的应用
问
题
数学思想 之 函数与方程思想＋分类讨论
分
析
2．求关于x的方程m2x2-(m+1)x+2=0的所有根的和为2的充要
条件.
题目未明确是几次方程，故应分类讨论：
1）当m=0 时，x=2，符合题意；
2）当m≠0 时，充要条件是(m+1)2-8m2≥0且=2, 无解！
综上，所求充要条件为m=0.
方
法
1.系数含有参数的方程，要针对不同次数进行分类讨论；
2. 二次方程两根之和的前提是方程有根，即判别式非负！
当堂检测
教材P22 练习1~3
1.下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1) p:三角形为等腰三角形，q:三角形存在两角相等；
(2) p: ⊙O内两条弦相等，q: ⊙O内两条弦所对的圆周角相等；
(3) p: A∩B是空集， q:A与B之一为空集．
p是q的充要条件
A
B
C
D
p不是q的充要条件
p不是q的充要条件
思考: (2)(3)中p是q的什么条件？
当堂检测
教材P22 练习1~3
2.分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件.
①“两个三角形的三边相等”
③“两个三角形的两角和它们的夹边分别相等”
②“两个三角形的两边和它们的夹角分别相等”
④“两个三角形的两角和其中一角的对边相等”
两个三角形全等
①“两个三角形的三边成比例”
③“两个三角形的其中两角相等”
②“两个三角形的两边成比例且它们的夹角相等”
两个三角形相似
当堂检测
教材P22 练习1~3
3.证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC=BD.
分析：设p： AC=BD.
充分性: AC=BD 梯形ABCD为等腰梯形.
AB=CD
q：梯形ABCD为等腰梯形.
必要性:梯形ABCD为等腰梯形 AC=BD.
课堂总结
再见