课件15张PPT。28.4（4） 直角三角形相似的判定方法一、复习提问1、到目前为止我们总共学过几种判定两个三
角形相似的方法？答：
（1）两角对应相等的两个三角形相似。
（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
（3）三边对应成比例的两个三角形相似。
2、判定两个直角三角形相似有几种方法？答：一个锐角对应相等或两直角边对应成比例。√√×判断题 定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直 角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例，那么这两个直角三角形相似。证明一ΔABC∽ΔA'B'C‘ 由勾股定理得和都是正数即:又证明:DE∥B C证明: 分别在A C ，A B上截取AD =A’C’，
A E =A'B'，连结DE。?ADE ≌ ?A'C'B'A'C'=A D，A'B'=A E?ADE ∽ ?A C BA D =A'C'A E =A'B'∠ADE= ∠C=900△ ABC∽ △ A’B’C'ACBA'C'B'DE证明二新课讲解
直角三角形相似判定定理；
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似练习
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知∠C=∠C′=90°。要使Rt△ABC∽ Rt△A′B′C′，应加什么条件？
1、∠A=35° ，∠B′=________。
2、AC=5，BC=4，A′C′=15，B′C′=___。
3、AB=5，AC=___，A′B′=10， A′C′=6。
4、AB=10，BC=6， A′B′=5， A′C′=______.
5、AC：AB=1：3， A′C′=a, A′B′=_____ 55°12343a练 习 已知，在RtΔABC和RtΔA′B′C′中，
∠C＝∠C’＝90o.CD、C′D′分别是两个三
角形斜边上的高，且CD:C′D′＝AC:A′C′.
求证：ΔABC∽ΔA′B′C′. 如图,已知∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b， 当BD与a，b之间满足怎样的关系时，ΔABC∽ΔCDB?分析:
因为ΔABC与ΔCDB都是直角三角形，所
以要使ΔABC∽ΔCDB，只要使AC与BC,BC
与BD分别成对应边，并且 即
可，这样就可求出BD与a,b之间的关式．解:ΔABC∽ΔCDBΔABC∽ΔCDB答:当时，ΔABC∽ΔCDB解答ΔABC∽ΔBDC，解答1，当AC与BC，BC与BD对应时：RtΔABC∽RtΔCDB2，如图：ΔABC∽ΔBDC ，答：当或这两个三角形相似 如图，在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高，E是BC上的一点，AE交CD于点F，AE?AD＝AF?AC，
求证：(1) AE是∠CAB的平分线；
(2) AB?AF＝AC?AE。课堂练习ABCDEF分析：要证明AE是∠CAB的平分线，只要证明RtΔACE∽RtΔADF即可要证明AB?AF＝AC?AE，只要证明ΔACF∽ΔABEΔAEC∽ΔAFD∠CAE=∠BAEAE是∠CAB的角平分线∠ACD+∠CAB=90°∠B+∠CAB=90°∠ACD=∠B∠CAE=∠EABΔACF∽ΔABEAB?AF=AC?AE(2)(1)又证明ABCDEF三、小结1、如何判定两个直角三角形相似呢？
答：一个锐角对应相等或两边对应成比例的两个直角三角形相似。
2、直角三角形相似的判定定理的简单应用。课件15张PPT。27.2.1 相似三角形的判定(一)合作学习： 为美化校园，学校决定对东教学楼后面的一块三角形的空地(如图)进行修整，现已测量出AB=12m,BC=16m,CA=24m,请你用适当的比例为这块空地画出图纸。1.量一量，与同桌交流一下，你们所画的两个三角形的对应角相等吗？两个三角形各边的对应比相等2.猜测：三组对应边的比相等的两个三角形是否相似？新课讲解△A′DE≌△ABC?在A’B’上截A’D = AB，过点D作DE∥B’C’交A’C’于点E已知：如图,在△ABC和△A’B’C’中,求证:△ABC∽△A’B’C’证明:在线段A’B’上截取A’D=AB,过点D作DE//B’C’,交A’C’于点E,DE∴ △A’DE∽△A’B’C’又∵同理∴△A’DE≌△ABC∴△ABC∽△A’B’C’∵ DE∥B’C’归纳小结：判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角
形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。几何语言：三边对应成比例，两三角形相似。∴△A′B′C′∽△ABC∵牛刀小试： 根据下列条件判断△ABC与以D、E、F为顶点的两个三角形是否相似。(1)AB=3，BC=4，AC=6；
DE=6，EF=8，DF=12(3)AB=3，BC=4，AC=6；
DE=6，EF=9，DF=12(2)AB=3，BC=4，AC=6；
DE=6，EF=8，DF=12△ABC∽△DEF△ABC∽不 相 似△EDFDE=6，EF=12，DF=8△ABC∽△DEF例题教学：例1、 如图，判断4×4方格中的两个三角形是否相似,并说明理由.例题教学：已知：如图,DE,DF,EF是△ABC的中位线。(1)请找出图中的相似三角形。∽∽∽∽例题教学：（2） 求证：三角形的三条中位线所组成的三角形
与原三角形相似。已知：求证：如图,DE,DF,EF是△ABC的中位线△ABC∽△FED证明：∵ DE,DF,EF是△ABC的中位线∴ DE= BC,DF= AC,EF= AB∴∴ △ABC∽△DEF请你帮忙： 图纸上上有不锈钢三角架的长分别为3cm,4cm,5cm,库存的不锈钢条有两种，一根长60cm,另一根长180cm,工人师傅想用其中一根做三角架的一边，在另一根上取两截，用来做三角架的另外两边，使做成的三角架与图纸上的形状相同(即图形相似)。请帮他确定：共有几种不同的做法(焊接用料略去不计)？哪一种放大的倍数最大？最大的倍数是多少？三角形的重心定理三角形的重心与顶点的距离等
于它与对边中点距离的两倍。CBAEG三角形的重心到一边中点的距离
等于这边上中线长的三分之一。或三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心。
?1、相似三角形的定义；5、三边对应成比例，两三角形相似。2、相似三角形的预备定理；总结反思 与同桌交流一下你这节课的收获! 3、两角对应相等，两三角形相似；4、两边对应成比例且夹角相等，
两三角形相似；作业：2、一课一练P64—671、B册/P23—253、同步P110—1114、双休卷再见 !课件29张PPT。28.4 相似三角形的判定(1) 相似三角形定义：我们把对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。想一想：什么叫相似三角形？
如何判定三角形相似？用符号语言表示∴ △ABC∽△A'B'C'读做△ABC相似于△A’B’C’，三角形的对应边的比（值）k叫做相似比
相似多边形的定义：观察：如果两个边数相同的多边形的
对应角相等，对应边成比例
那么这两个多边形叫做相似多边形。两个条件要同时具备 当两个三角形的相似比为 1 时，它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况。 对应角相等,三组对应边的比也相等的两个三角形是相似三角形.1、相似三角形的判定2、相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？= k∴△ABC △A′B′C′∵∽思考:如图,在△ABC中,点D是边AB 的中点，DE∥BC，DE交AC于点E，那么△ADE与△ABC有什么关系?为什么?分析：F定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边 （或其延长线）分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似.数学语言: 在△ADE与△ABC中∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC“A”型 “X”型 试试眼力：三角形相似具有传递性!1. DE∥BC2.DF∥ACΔADE∽ΔDBFΔDBF∽ΔABCΔADE∽ΔABCA．1对 B．2对 C．3对 D．4对C小试牛刀1. AB∥CD2.AD∥BEΔEBA∽ΔADFΔECF∽ΔADFΔECF∽ΔEBA3、如图在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC
请找出图中所有的相似三角形；
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC运用4、已知：如图，AB∥EF ∥CD，3图中共有____对相似三角形。 △EOF∽△COD AB∥EF △AOB∽ △FOE AB∥CDEF∥CD△AOB ∽△DOC 5、如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB，DE、GF交于点Ｏ，则图中与△ABC相似的三角形共有多少个?请你写出来.解： 与△ABC相似的三角形有3个: △AＤＥ
△ＧＦＣ
△ＧＯＥE6：如图,G是□ ABCD的CD延长线上的一点,连结BG交对角线AC于E,交AD于F,则: (1)图中与△AEF相似的三角形有 .(2)图中与△ABC相似的三角形有 .(3)图中与△GFD相似的三角形有 . △CEB △CDA 、△BFA解后反思：运用预备定理判定两三角形相似,找对平行线△GBC怎样创造具备预备定理条件的图形？在△ABC 和△DEF中,则△ABC与△ DEF是否相似？利用相似三角形的定义？利用相似三角形的预备定理？ 条件不够可以证明！若∠A=∠D，∠B=∠E，思考：把小的三角形移动到大的三角形上。ABCD F E ∵ AM=DE,∠A=∠D，AN=DF∴ ΔAMN≌ΔDEF，∴ ∠AMN=∠E，又∵ ∠B=∠E，∴ ∠AMN=∠B，∴ MN//BC，∴ ΔAMN∽ΔABC。∴ ΔDEF∽ΔABC证明：在AB，AC上分别截取AM= DE ，AN = DF，联结MNCF∵ ∠A=∠D， ∠B=∠E∴ ΔABC ∽ ΔDEF用数学符号表示：判定定理1：如果一个三角形的两角分别与另一个
三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。基础演练1、下列图形中两个三角形是否相似？(1)(2)(3)(4)2、判断题：
⑴所有的直角三角形都相似 . （ ）
⑵有一个锐角对应相等的两直角三角形相似.（ ）
⑶所有的等边三角形都相似. （ ）
⑷所有的等腰直角三角形都相似. （ ）
⑸顶角相等的两个等腰三角形相似. （ ）
⑹有一个角相等的两个等腰三角形相似. （ ）
×√√ √√×例1、已知如图直线BE、DC交于A ， ∠E= ∠C
求证：DA·AC=AB·AEDEABC12证明：
∵ ∠E=∠C ∠1=∠2
∴ △ABC ∽ △ADE
∴ AC : AE=AB : AD
∴ DA · AC=AB · AE例题讲解：变式：已知如图直线BE、DC交于A ， ∠AED= ∠C
求证：DA·AC=AB·AEEABDC解： ∵ ∠ A= ∠ A ∠ABD=∠C
∴ △ABD ∽ △ACB
∴ AB : AC=AD : AB
∴ AB2 = AD · AC
∵ AD=2 AC=8
∴ AB =4已知如图， ∠ABD=∠C AD=2 AC=8，求AB ABDC如图：在Rt △ABC中， ∠ABC=900，BD⊥AC于D
问：①图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？解： 图中有三个直角三角形，
分别是： △ABC、△ADB、 △BDC
△ABC ∽ △ADB ∽ △BDC
例题解析： 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.已知：如图, Rt△ABC中,CD是斜边的高.求证：△ABC ∽ △CBD ∽ △ACD DBC如图：在Rt △ ABC中 ， ∠ABC=90° BD⊥AC于D
② 求证：AB2=AD · AC BC2=CD · AC
BD2=AD · DCA DBCA18 例题总结 如图，CD、BE相交于点A， ∠E=∠C，
求证： AD·AC=AE·BA 有公共角的两个相似三角形的公共边是这两个三角形落在同一条直线上的两边的比例中项相似三角形判定方法1、三组对应边的比相等且对应角相等；3、两角对应相等，两三角形相似。2、如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边（或其延长线）分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似。总结反思4、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形都相似。www.czsx.com.cn再见 !课件24张PPT。OAB△OAB ∽△O’CD∠O＝∠O’△OAB ∽△O’CD∠O＝∠O’∠O＝∠O’28.4 相似三角形的判定(2)判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等,那么这两个三角形相似。结 论可以简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。在△ABC和△A’B’C’中,∴△ABC∽△A’B’C’∠A=∠A’,两边对应成比例
且夹角相等，
两三角形相似.夹角思 考 对于△ABC和△A’B’C’,如果
∠C=∠C’,这两个三角形一定相似吗?试着画画看?
两边对应成比例且其中一边的对角对应相等的两个三角形是否相似呢？DABC已知：△A’B’C’ ∽△ABC在△ABC中，以B为圆心，连结BD，则BD＝BA.BA长为半径画弧，交AC于D，DABCC'B'A' 两边对应成比例且其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定相似.例1、判断△AEB和△FEC是否相似？为什么？例 题 讲 解例 题 讲 解例2、如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠1=∠2，AB·BE=BC·BD.
(1)△ABD与△CBE相似吗？请说明理由.
(2)△ABC与△DBE相似吗？请说明理由.1. 如下图所示,在△ABC中,D﹑E分别在AC﹑AB上,
且AD：AB=AE：AC=1：2，BC=5，则DE=________ 2.如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF
的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
（1）填空：∠ABC= °， ∠DEF= ° ；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.练一练2.5135135例 3. 如图矩形ABCD是由三个边长相等正方形
ABEG，GEFH，HFCD组成的,找出图中的
非全等的相似三角形.△ AEF ∽ △CEA.例 题 讲 解∠AFE + ∠ACE = ∠FAE=∠AFE +=∠AEB= 45°已知：如图,△ABC中，∠A = 60 °，
BD、CE为△ABC边AC、AB上的高，
试说明△ADE与△ ABC是否相似？思维冲浪如图,已知BD、CE为 △ABC的高，
试说明△ADE与△ABC是否相似？思维冲浪例4、如图，已知：AB⊥DB于点B ，CD⊥DB于
点D，AB=6，CD=4，BD=14.
问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点
的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如
果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说
明理由。例 题 讲 解解（1）假设存在这样的点P，使△ABP∽△CDP
设PD = x，则PB = 14―x，
∴6 : 4=（14―x）: x则有AB : CD=PB : PD∴x = 5.6P（2）假设存在这样的点P,使△ABP∽△PDC,则
则有AB : PD=PB : CD设PD=x，则PB=14―x，
∴6 ：x =（14―x）: 4∴x=2或x=12∴DP=2或12或5.6时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似46x14―xDBCAP自己来小结一下吧！小结两个三角形相似的判别方法：(1)相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的两三角形相似.
(2)相似三角形的预备定理
(3)两角对应相等的两个三角形相似.
(4) 两边对应成比例且夹角相等的两个 三角形相似.作业1、A册/28.4(2) (中午交）
2、一课一练P63
3、同步P106/3（1）（2）（4）（11）谢谢课外拓展： 在?ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟?BPQ与?BAC相似？分析：由于?PBQ与?ABC有公共角∠B；所以若?PBQ与?ABC相似，则有两种可能一种情况为 ,即PQ∥AC;另一种情况为 课件15张PPT。28.5 相似三角形的性质及其应用（1）相似三角形它们的对应角相等相似三角形的性质3. 它们的对应高的比、对应中线的
比和对应角平分线的比都等于
相似比某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是:被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？ 你能够将上面生活中的问题
转化为数学问题吗？问题情境思考30m你能吗算一算：
ΔABC与ΔA’B’C’的相似比
是多少？
ΔABC与ΔA’B’C’的周长比
是多少?
面积比是多少？4×4正方形网格看一看：
ΔABC与ΔA’B’C’有什么关系？ 为什么？
（相似）探究新知4×4正方形网格验一验：
是不是任何相似三角形都有此关系呢？
你能加以验证吗？周长比等于相似比，
面积比等于相似比的平方探究新知已知:Δ ABC∽Δ A’ B’ C,’相似比为k.=k2k求证:=已知两个三角形相似，请完成下列表格相似比周长比面积比注：周长比等于相似比，已知相似比或周长比，
求面积比要平方，而已知面积比，求相似比或
周长比则要开方。练一练：24100100100002．．．．．．．．．某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是:被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？问题情境30m解:如图，已知DE//BC,AB=30m,BD=18m,
ΔABC的周长为80m，面积为100m2,
求ΔADE的周长和面积问题解决30mADE1.过E作EF//AB交BC于F,其他条件不变，则
ΔEFC的面积等于多少？BDEF面积为多少？ 2.若设sΔABC=S, SΔADE=S1, SΔEFC=S2.
请猜想：S与S1、S2之间存在怎样的关系？
你能加以验证吗？BC48m2拓展延伸36m2证明：DE//BCEF//AB｝1636练习1、如图， △ABC中，DE∥FG∥BC，AD=DF=FB，则Ｓ△ＡＤＥ:Ｓ四边形ＤＦＧＥ:Ｓ四边形ＦＢＣＧ=_________
2.已知:梯形ABCD中,AD∥BC,AD=36,BC=60cm,延长两腰AB,CD交于点O,OF⊥BC,交AD于E,EF=32cm,则OF=_______.
练习3、ΔABC中，AE是角平分线，D是AB上的一点，CD交AE于G，∠ACD=∠B，且AC=2AD.则ΔACD∽ Δ______.它们的相似比K =_______,相似三角形的性质对应角相等对应边成比例对应高的比，对应中线的比、对应角平分线（对应线段）的比都等于相似比.相似比等于对应边的比周长的比等于相似比面积的比等于相似比的平方小结谢谢，再见！
