(共23张PPT)
7.1.1条件概率
人教A版2019必修第三册
1.结合古典概型,了解条件概率与概率的乘法公式。
2.了解条件概率与独立性的关系。(难点)
3.能计算简单随机事件的条件概率。(重点)
学习目标
知识回顾
2.古典概型:
1.概率是随机事件发生可能性大小的度量.
(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;
(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,简称古典概型
3.一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率
其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
知识回顾
4.事件A与B同时发生的事件叫做事件A与事件B的积事件,记为A∩B
(或AB);事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的
和事件,记为 (或 );
思考:如果事件A与B不相互独立,如何求P(AB)呢?
下面我们从具体问题入手.
知识回顾
5.若A发生不影响事件B的发生,则称事件A与事件B相互独立;
6.若事件A与B互斥,则:
.若事件A与事件B相互独立时,有P(AB)=P(A)P(B).
问题1:某个班级有45名学生,其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示,
在班级里随机选择一人做代表:
团员 非团员 合计
男生 16 9 25
女生 14 6 20
合计 30 15 45
(1)选到男生的概率是多大?
分析:随机选择一人做代表,则样本空间 包含45个等可能的样本点.用A表示事件“选到团员”B表示事件“选到男生”,由上表可知,n( )=45,n(B)=25
根据古典概型知识可知,选到男生的概率为:
新知探究
新知导入
(2)如果已知选到的是团员,那么选到的是男生的概率是多大?
分析:用A表示事件“选到团员”,“在选到团员的条件下,选到男生“的概率就是“在事件A发生的条件下,事件B发生”的概率,记为P(B|A).此时相当于以A为样本空间来考虑事件B发生的概率,而在新的样本空间中事件B就是积事件AB,包含的样本点数n(AB)=16,根据古典概型知识可知,
条件概率
团员 非团员 合计
男生 16 9 25
女生 14 6 20
合计 30 15 45
新知导入
问题2:假设生男孩与生女孩是等可能的,现考虑有两个小孩的家庭,随机选择一个家庭,那么:
(1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大?
分析:用b表示男孩,g表示女孩,则样本空间Ω={bb,bg,gb,gg},且所有样本点是等可能的.用A表示事件“选择的家庭中有女孩”,B表示事件“选择的家庭中两个孩子都是女孩”,则A={bg,gb,gg},B={gg}
(2)如果已经知道这个家庭有女孩,那么两个小孩都是女孩的概率有多大?
(1)根据古典概型知识可知,该家庭中两个小孩都是女孩的概率为:
新知导入
(2)”在选择的家庭有女孩的条件下,两个小孩都是女孩”的概率就是
“在事件A发生的条件下,事件B发生”的概率,记为P(B|A).此时,A成为样本空间,事件B就是积事件AB.根据古典概型知识可知:
条件概率
问题2:假设生男孩与生女孩是等可能的,现考虑有两个小孩的家庭,随机选择一个家庭,那么:
(2)如果已经知道这个家庭有女孩,那么两个小孩都是女孩的概率有多大?
如图所示,若在事件A发生的条件下,则A成为样本空间. 此时,事件B发生的概率就是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值,即
∴在事件A发生的条件下,事件B发生的概率还可以通过 来计算.
条件概率:
一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称
为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.
由这个定义可知,对任意两个事件A,B,若P(A)>0,则有
我们称上式为为概率的乘法公式.
探究
在问题1和问题2中, 都有. 一般地,与不一定相等.
如果与相等,那么事件与应满足什么条件?
直观上看, 当事件与相互独立时, 事件发生与否不影响事件发生的概率,这等价于成立.
新知讲解
若事件A与B相互独立,即P(AB)=P(A)P(B),且P(A)>0,则
反之,若P(B|A)=P(B),且P(A)>0,则
即事件A与B相互独立.
当P(A)>0时,当且仅当事件A与B相互独立时,有P(B|A)=P(B)
(1)“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB. 从5道试题中每次不放回地随机抽取2道,则
例1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中随机抽出1道题,抽出的题不再放回. 求:
(1) 第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率;
(2) 在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率.
设A=“第1次抽到代数题”,B=“第2次抽到几何题”.
解法1:
(2)“在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下,事件B发生的概率. 由于
例1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中随机抽出1道题,
抽出的题不再放回. 求:
(1) 第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率;
(2) 在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率.
解法2:(在缩小的样本空间A上求P(B | A))
∴第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率为
n(A)=3×4=12 ,n(AB)=3×2=6
所以
已知第1次抽到代数题,这时还余下4道试题,其中代数题和几何题各2道. 因此,事件A发生的条件下,事件B发生的概率为
例1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中随机抽出1道题,
抽出的题不再放回. 求:
(1) 第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率;
(2) 在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率.
解法3:(更简便的方法求P(B | A))
设A=“第1次抽到代数题”,B=“第2次抽到几何题”.
∴第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率为
方法1:一种是基于样本空间,先计算 和 ,再利用条件概率公式求;
求条件概率的两种方法:
方法2:另一种是根据条件概率的直观意义,增加了“发生”的条件后,样本空间缩小为,求就是以为样本空间计算的概率。
说 明:
概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系:
联系:事件A, B都发生了.
区别:
(1) 在P(B|A)中,事件A, B发生有时间上的差异,A先B后;在P(AB)中,事件A, B同时发生.
(2) 样本空间不同,在P(B|A)中,事件A成为样本空间;在P(AB)中,样本空间仍为Ω. 因此有P(B|A) ≥ P(AB).
解:
由此可得,
A发生,则B一定发生
课堂练习
2. 从一副不含大小王的52张扑克牌中,每次从中随机抽出1张扑克牌,抽出的牌不再放回,已知第1次抽到A牌,求第2次抽到A牌的概率.
解:
3. 袋子中有10个大小相同的小球,其中7个白球,3个黑球. 每次从袋子中随机摸出1个球,摸出的球不再放回. 求:
(1) 在第1次摸到白球的条件下,第2次摸到白球的概率;
(2) 两次都摸到白球的概率.
设第1次摸到白球为事件A,第2次摸到白球为事件B,则
解:
∴在第1次摸到白球的条件下,第2次摸到白球的概率为
∴两次都摸到白球的概率为
课堂小结:
1. 条件概率:
在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率,记作
由条件概率公式可得
2. 乘法公式:
当P(A)>0 时,当且仅当事件A与B相互独立时,有P(B|A)=P(B)成立.
作业
(1)整理本节课的知识点和题型;
(2)课时练7.1.1完成;
(3)课本P52的习题7.1的第1题.