九年级数学上册 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 导学案（知识清单+典型例题+巩固提升）（含解析）

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九年级数学上册 21.2.4 一元二次方程根与系数的关系 导学案
【知识清单】
一、一元二次方程的根的判别式
1.一元二次方程的根的情况由来确定，因此叫作一元二次方程的根的判别式，一般用表示，即=。
2.一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：
一般地方程
（1）当时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，方程有两个相等的实数根；
（3）当时，方程无实数根；
二、根与系数的关系
1.如果方程的两个根为，那么，，这个关系也称为韦达定理。
2.根与系数的关系在运用时必须要注意：
（1）方程必须是一元二次方程；
（2）方程有实数根，即；
3.如果方程的两个根是，则，。
4.一元二次方程根与系数的关系的应用
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
【典型例题】
考点：一元二次方程根与系数的关系
例．已知、是关于x的方程的两个实数根，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用一元二次方程根的判别式可判断A，利用一元二次方程的解的含义可判断B，利用一元二次方程根与系数的关系可判断C，D，从而可得答案．
【详解】解：∵、是关于x的方程的两个实数根，
∴，
∴，故A不符合题意；
∵、是关于x的方程的两个实数根，
∴，，
∴，，
∴，故B符合题意；
∵、是关于x的方程的两个实数根，
∴，，
故C，D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的含义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上基础知识是解本题的关键．
【巩固提升】
选择题
1．已知关于x的一元二次方程有两根为和，则的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
2．关于的一元二次方程的两根分别为，，则b与c的值分别（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．2021 B．2023 C．2024 D．2025
4．已知，是方程的两个根，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．下列一元二次方程中，两根之和为1的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且，则k的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．若a，b是方程的两根，则（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
8．关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根和的值分别为（ ）
A．，3 B．1，3 C．，4 D．3，
二、填空题
9．已知方程的两个根是m，n，则 ．
10．设α，β是方程的两个实数根，则的值为 ．
11．已知关于x的方程的两个根分别为和2，则的值为 ．
12．已知，是方程的两实数根，则 ．
13．已知是方程的两实数根，则的值为 ．
三、解答题
14．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若方程的两实数根，满足，求的值．
15．关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若方程两实数根，满足，求k的值；
(3)已知方程的一个根为，求代数式的值．
16．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两实根为，且，求m的值．
17．已知关于的方程．
(1)当方程有两个实数根时，求的取值范围；
(2)当方程的两个根满足时，求的值．
18．阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程的两个实数根为，，则________，________．
(2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值．
参考答案
1．B
【分析】由题意知，，，代入求解即可．
【详解】解：由题意知，，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握：一元二次方程的两根为和，则，．
2．D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根分别为，，
∴，
∴，．
故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．
3．C
【分析】根据，是方程的两个实数根，得出，，变形，然后整体代入求出结果即可．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．
4．B
【分析】已知，是方程的两个根，可得到，，，把变形后，再整体代入即可．
【详解】解：∵，是方程的两个根，
∴，，，
∴
．
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解和根与系数关系是解题的关键．
5．A
【分析】先根据根的判别式判断是否有实数根，然后根据根与系数的关系，即可求解．
【详解】解：A. ，，，故该选项正确，符合题意；
B. ，，无实数根，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，，，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，，无实数根，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
6．A
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系及整理即可求解．
【详解】解：由题意得：，，
则：，
即：，
解得：，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的是解题的关键．
7．D
【分析】由解的定义，得，由根与系数关系得，对代数式变形，代入求解．
【详解】解：由题意，，，
∴．
∴．
故选：D.
【点睛】本题考查方程解的定义，一元二次方程根与系数关系，掌握根与系数关系定理是解题的关键．
8．D
【分析】设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得到，据此求解即可．
【详解】解：设方程的另一个根为t，
则由根与系数的关系可知，
∴，
∴方程的另一个根和的值分别为3，，
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
9．
【分析】根据根与系数的关系求出两根之积．
【详解】解：和是方程的两个根，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握．
10．2022
【分析】根据根与系数的关系可以求出，，将可化为，代入求值即可解答．
【详解】解：，是方程的两个实数根，
∴，，
而
故答案为：2022．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和与两根之积进行计算与转化是解决问题的关键．
11．
【分析】利用根与系数的关系，可得出，，解之可得出m，n的值，再将其代入中，即可求出结论．
【详解】解：∵关于x的方程的两个根分别为和2，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
12．4092529
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到，则可变形为，再根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【详解】解：∵m是方程的实数根，
∴，
∴，
∴，
∵m，n是方程的两实数根，
∴，
∴．
故答案为:4092529．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，．
13．10
【分析】根与系数的关系得到，，再运用通分和完全平方公式变形得到=然后利用整体代入的方法计算得．
【详解】解：根据根与系数的关系得到，，
∴=．
故答案为：10．
【点睛】此题考查了根与系数的关系，掌握一元二次方程的两个根关系，是本题的关键．
14．(1)
(2)
【分析】（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，，根据，所以，然后解关于的方程即可得到满足条件的的值．
【详解】（1）解：根据题意得，
解得；
（2），，
，
，
而，
，，
，即，
解得，，
而，
．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了判别式的值．
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据有两个不相等实数根可知，得出k的取值范围；
（2）由根与系数的关系，得，，结合即可求解；
（3）将代入原方程，化简整理可得，利用整体代入法求解即可．
【详解】（1）解：∵原方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：；
（2）由根与系数的关系，得， ．
∵，
∴，
解得：或，
又∵，
∴；
（3）∵方程的一个根为，
∴，
整理可得：，
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系的应用，方程的解的定义，熟练掌握其基础知识是解题的关键．
16．(1)见解析
(2)，
【分析】（1）只要证明△>0恒成立即可；
（2）由题意可得，进行变形后代入即可求解.
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵，方程的两实根为，
，
，
即，
解得：，．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的存在条件的应用，属于基础试题.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之，即可得出m的取值范围；
（2）利用根与系数的关系可得出，．结合，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合（1）的结论即可确定m的值．
【详解】（1）解：∵关于的方程有两个实数根，
∴，
解得：，
∴的取值范围为；
（2）∵关于的方程的两个根分别为：，，
∴，，
∵，
∴，
即，
整理得，
∴，
解得：，，
∵，
∴m的值为．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是∶ （1）牢记“当时，方程有两个实数根”；(2)利用根与系数的关系结合，找出关于m的一元次方程．
18．(1)，
(2)
【分析】（1）利用根与系数的关系，即可得出及的值；
（2）利用根与系数的关系，即可得出，，再利用完全平方公式将变形为，代入值进行计算即可．
【详解】（1）解：一元二次方程的两个实数根为，，
，，
故答案为：，；
（2）解：一元二次方程的两个实数根为，，
，，
．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，通过完全平方公式变形进行计算，熟练掌握关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，是解题的关键．
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