九年级数学上册 21.3实际问题与一元二次方程 导学案（知识清单+典型例题+巩固提升）（含解析）

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九年级数学上册 21.3 实际问题与一元二次方程 导学案
【知识清单】
1.列一元二次方程解应用题的步骤：
（1）审清题意和题目中的已知量、未知量，并找出能表示实际问题全部含义的相等关系；
（2）设未知数；
（3）根据相等关系，列方程；
（4）解所列方程，求未知数的值；
（5）检验所求方程的解是否正确或者是否符合实际情况；
（6）回答。
2.列一元二次方程解应用题的常见类型
（1）数字问题：首先要正确的表示出数字的形式，如：多位数，奇偶数，连续的整数等；其次是巧妙的设出未知数，一般采用间接设元法。
（2）增长率问题：增长率问题分为正增长率与负增长率问题，设年平均增长率为，原来的产量为，则两年后的产量为，负增长率问题则为：。
（3）销售问题：在解答此类问题时，一定要准确地找出反映它们关系的等量关系，每件利润=每件售价-每件进价；总利润=每件利润×总件数等。
【典型例题】
考点1：传播问题
例．1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A．6人 B．7人 C．8人 D．9人
【答案】B
【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感”列出方程求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，
，
整理得：，
解得：，（舍），
∴每轮传染中平均一个人传染的人数为7人，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解．
考点2：与图形有关的问题
例2．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：

①的长可以为；
②的长有两个不同的值满足菜园面积为；
③菜园面积的不可能为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】设边长为，则边长为长为，根据列出方程，解方程求出的值，根据取值范围判断①；根据矩形的面积．解方程求出的值可以判断②；令，求出方程的解，可以判断③．
【详解】解：设边长为，则边长为长为，
当时，，
解得，
的长不能超过，
，故①不正确；
菜园面积为，
，
整理得：，
解得或，
的长有两个不同的值满足菜园面积为，故②正确；
令，整理得：，
解得：，
∴菜园的面积可以为，故③不正确．
正确的有1个，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．
考点3：营销问题
例3．某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足关系：．若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】一天的利润（售价进价）销售量，把相关数值代入即可．
【详解】解：每件商品的利润为元，可售出件，
根据每天的利润为200元可列的方程为，
故选：A．
【点睛】本题考查列一元二次方程；得到一天的利润的等量关系是解决本题的关键．
考点4：动态几何问题
例4．在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了（　　）秒．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求滑行10米时用时，即有了距离求时间，则必须知道速度．这里的速度是从刹车到停止期间的平均速度，因此必须求出从刹车到停止用了多长时间以及每秒减速多少．这二者解决后，便可解答．
【详解】解：时速108千米30米/秒，
设紧急刹车后又滑行30米需要时间为秒，由平均速度时间路程得：
，解得秒，
平均每秒减速米/秒；
设刹车后汽车滑行10米时用了秒，
依题意列方程：，即，解方程得，（舍去），
秒，
故选：D．
【点睛】本题是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系：平均速度时间路程．注意速度单位的转化和题目的问题相符．
考点5：行程问题
例5．有一个人患流感，经过两轮传染后共有121个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮结束后共有人患流感，第二轮结束后共有人患流感，然后列方程即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第一轮结束后共有人患流感，第二轮结束后共有人患流感，
依题意得，，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程．
【巩固提升】
选择题
1．某商品原价121元，连续两次降价后售价为100元，下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，长，宽的矩形基地上有三条宽的小路，剩余种花，依题意列方程（ ）

A． B．
C． D．
3．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位上的数字为x，则根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
4．某商店购入一批衬衫进行销售，当每件赢利30元，每星期可以卖出100件，现需降价处理：每件衬衫售价每降价5元，每星期可以多卖出20件，店里每星期衬衫的利润要达到3125元．若设每件衬衫售价降低x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，当点到达点时，均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（　　）
A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒
6．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（ ）
A．36 B．26 C．24 D．10
二、填空题
7．有一人发了某内容的短信，经过两轮发送后共有196人的手机上有了该短信，则每轮发送中平均一个人发送了 人．
8．某小区新增了一家快递店，每天的揽件数逐日上升，第一天揽件150件，第三天揽件216件，则该快递店揽件的日平均增长率为 ．
9．如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，于点F，，则下列结论正确的是 ．（填序号）

①②③④
10．如果两个连续正偶数的积为120，则这两个数是 ．
11．一个小球以速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动．小球滚动约用了 秒（结果保留小数点后一位）
三、解答题
12．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了张相片，全班有多少名学生？
13．兰溪联华超市今年三月初以每件元的进价购进一批水磨年糕，当年糕售价为每件元时，三月份共销售件．四、五月该批年糕销售量持续走高，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到件．
(1)求四、五两个月销售量的月平均增长率；
(2)从六月份起，在五月份的基础上，联华超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经市场调查发现，该年糕每件降价2元，月销售量增加件，在顾客获得最大实惠的前提下，当年糕每件降价多少元时，联华超市六月份仍可获利为元？
14．如图，将一块长50厘米，宽40厘米的铁皮剪去四个正方形的角，就可以折成一个长方形的无盖盒子，如果盒子的底面积为600平方厘米，求盒子的高度．

15．已知两个连续整数的积为132，求这两个整数．
16．当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如下表：
销售单价x（元） 20 25 30
销售量y（件） 200 150 100
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该商家每天想获得2160元的利润，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？
17．在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿向终点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．

(1)填空：，__________（用含的代数式表示）；
(2)当为何值时，的长度等于？
(3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由．
18．随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱．
(1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？
(2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值．
参考答案
1．B
【分析】根据题意，由平均降低率问题的解法，列一元二次方程即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程解决实际应用题，熟练掌握平均降低率问题的解法步骤是解决问题的关键．
2．C
【分析】根据题意可得种植花苗的部分可以合成长，宽的矩形，从而即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：长，宽的矩形基地上有三条宽的小路，
种植花苗的部分可以合成长，宽的矩形，
根据题意得：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．B
【分析】由十位及个位数字间的关系，可得出十位上的数字为，结合个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字为，
十位上的数字为．
根据题意得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．D
【分析】由每件衬衫售价每降价元，每星期可以多卖出件，可知每件售价降低元，每星期可多卖出件，进而由总利润单件利润数量，列出方程即可．
【详解】解：原来每件赢利元，每星期可以卖出件，
所以每件售价降价元后，利润为每件（）元．
每件衬衫售价每降价元，每星期可以多卖出件，
因为每件售价降低元，每星期可多卖出件，现在的销量为．
根据题意得：．
故选D．
【点睛】本题主要考查列一元二次方程解决实际问题．解题的关键在于要理解题意，并根据题中的数量关系建立方程．
5．A
【分析】根据题意当运动时间为秒时，，则，，可用含的式子表示的面积，列方程求解即可．
【详解】解：当运动时间为秒时，，则，，
根据题意得：，即，整理得：，解得：，，
当时，，不符合题意，舍去，
∴，
∴运动时间为秒，
故选：．
【点睛】本题主要考查动点与几何图形的综合，理解动点运动的规律，掌握几何图形面积的计算方法，解一元二次方程的方法等是解题的关键．
6．C
【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其值代入中即可求出结论．
【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），
∴．
故乙走的步数是．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．13
【分析】设每轮发送中平均一个人发送给x个人，第一轮后共有x人收到短信，第二轮发送短信的过程中，有人平均一个人向x个人发送短信，则第二轮后共有人收到短信，根据这样经过两轮短信的发送后共有196人的手机上有了该短信列出方程，再解方程即可
【详解】解：设每轮发送中平均一个人发送了x人，由题意得：
，
解得：，（不合题意舍去）．
即每轮发送中平均一个人发送了13人．
故答案为：13．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
8．
【分析】利用第三天揽件数量=第一天揽件数量×（1+设该快递店揽件日平均增长率），即可得出关于x的一元二次方程，再解方程即可．
【详解】解：该快递店揽件的日平均增长率为x：则，
解得：，（不符合题意舍去），
答：该快递店揽件的日平均增长率为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．②③④
【分析】根据角平分线的性质可以求得长，再根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到，再利用勾股定理可得，从而可得，证明得到，设，则，由勾股定理得到，，由此解方程即可得到答案．
【详解】解：如图，

∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故②③正确，
∴，
∴，故④正确，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，故①错误；
故答案为：②③④．

故选：D．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，解一元二次方程，正确利用勾股定理建立方程是解题的关键．
10．10和12
【分析】设这两个连续正偶数分别为，，且，根据题意列出一元二次方程并求解，即可获得答案．
【详解】解：设这两个连续正偶数分别为，，且，
根据题意，可得，
整理可得，
解得，（不合题意，舍去），
所以，
所以，这两个数是10和12．
故答案为：10和12．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意正确列出一元二次方程是解题关键．
11．1.2．
【分析】利用等量关系：速度时间=路程，时间为，根据题意列出方程：求解即可．
【详解】由题意得：小球的平均滚动速度是，
设小球滚动5时约用了，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
∵，
∴，
故小球滚动用了1.2秒．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球的运动减少的速度，读懂题意是解题的关键．
12．全班有名同学
【分析】设全班有x名学生，根据全班共送了张相片得：，解方程可得答案．
【详解】解：设此班有x名同学，
则，
解得:， (舍去)，
答：此班有名同学．
【点睛】本题一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
13．(1)
(2)每件降价4元
【分析】（1）设四、五两个月销售量的月平均增长率为x，根据五月份的销售量达到件列方程求解即可得到答案；
（2）设年糕每件降价m元时，商场六月仍可获利为元，根据利润列方程求解即可得到答案；
【详解】（1）解：设四、五两个月销售量的月平均增长率为x，由题意得，
，
解得：，（不合题意，舍去），
∴四、五两个月销售量的月平均增长率为；
（2）解：设年糕每件降价m元时，商场六月仍可获利为元，
由题意，得：，
化简，得：，
解得：或，
顾客获得最大实惠的前提下，，
∴在顾客获得最大实惠的前提下，当年糕每件降价4元时，六月份仍可获利为元；
【点睛】本题考查一元二次方程解实际应用问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式．
14．盒子的高度为10厘米
【分析】设盒子的高度为厘米，则盒子的底面长为厘米，宽为厘米，根据“盒子的底面积为600平方厘米”列出一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设盒子的高度为厘米，则盒子的底面长为厘米，宽为厘米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
盒子的高度为10厘米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用—与图形有关的问题，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．这两个整数是11、12或
【分析】设一个整数为，那么另一个连续整数是，根据两个连续整数的积为132列出一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设一个整数为，那么另一个连续整数是，
根据题意得：，
整理得：，
解得，，
当时，，
当时，，
答：这两个整数是11、12或．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用—数字问题，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．(1)y与x之间的函数关系式为：
(2)应将销售单价定为22元
【分析】（1）由于每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，将值代入函数关系式，即可求出答案．
（2）由题意将利润用含的式子表示出来，求出的值，再从中选取最小值即可．
【详解】（1）解：设商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，
根据题意可得：，
解得：，
故y与x之间的函数关系式为：；
（2）解：根据题意可得：，
整理得：，
，
解得：（不合题意，舍去），，
答：应将销售单价定为22元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，正确列出等量关系是解题的关键．
17．(1)
(2)或
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据点从点开始沿边向终点以的速度移动，，可以求得；
（2）用含的代数式分别表示和的值，运用勾股定理求得为据此求出值；
（3）根据题干信息使得五边形的面积等于的值存在，利用长方形的面积减去的面积即可，则的面积为，由此求得值．
【详解】（1）解：点从点开始沿边向终点以的速度移动，，故为
故答案为：．
（2）由题意得：，
解得：，；
当秒或秒时，的长度等于；
（3）存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由如下：
长方形的面积是：，
使得五边形的面积等于，则的面积为，
，
解得：不合题意舍去，．
即当秒时，使得五边形的面积等于．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，利用含t的代数式表示各自线段的关系，根据题干数量关系即可确立等量关系式是解题的关键．
18．(1)张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米
(2)的值为
【分析】（1）设李大伯徒步走的速度为每分钟米，则张大伯每分钟走米，根据两人共走了米列方程，解得的值代入中计算即可；
（2）结合（1）中所求可得到李大伯提高速度后每分钟走米，由已知条件可得张大伯走了分钟，李大伯走了分钟，根据两人又共走了米列方程，解方程并根据实际意义确定值即可．
【详解】（1）解：设李大伯徒步走的速度为每分钟米，得
解得
∴（米）
所以，张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米；
（2）解：依题意，得
整理得
解得（舍），
答：的值为．
【点睛】本题考查了列一元一次方程解决问题，列一元二次方程解决问题，正确找到数量关系是解决问题的关键．
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