九年级数学上册 22.1.1二次函数 导学案（知识清单+典型例题+巩固提升）

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九年级数学上册 22.1.1 二次函数 导学案
【知识清单】
1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
【典型例题】
考点1：列二次函数关系式
例．1．如图，正方形和的周长之和为（为常数），设圆的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与x，S与满足的函数关系分别是（ ）
A．二次函数关系，二次函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系
【答案】D
【分析】根据圆的周长公式和正方形的周长公式先得到，再根据得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵正方形和的周长之和为，圆的半径为，正方形的边长为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、正方形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键．
考点2：二次函数的识别
例2．下列函数中，常量3表示二次项系数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断函数是否为二次函数，若不是则直接排除，若是，再看二次项系数是否为3．
【详解】解：A．不是二次函数，故不符合题意；
B．是二次函数，且二次项系数是3，故符合题意；
C．不是二次函数，故不符合题意；
D．是二次函数，但二次项系数是1，故不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义以及相关概念，掌握形如（a、b、c为常数，且）的函数是二次函数是解题的关键．
考点3：根据二次函数的定义求参数
例3．若方程是关于x的二次函数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义进行求解即可．
【详解】解：∵是关于x的二次函数，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟知二次函数的定义是解题的关键：一般地，形如且是常数的函数叫做二次函数．
【巩固提升】
选择题
1．线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系
C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系
2．在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
3．下列函数关系中，y是x的二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列函数表达式中，一定是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．函数是关于的二次函数，则的值为( )
A． B． C． D．
6．关于x的函数是二次函数的条件是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
7．某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）与x之间的函数关系式为 ．
8．已知长方形的边长分别为6厘米、8厘米，如果将它的长和宽都增加厘米，那么它增加的面积关于的函数解析式为 平方厘米．
9．二次函数的一次项系数是 ．
10．下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是 ．
11．若函数是关于的二次函数，则 ．
三、解答题
12．如图，在中，，，，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是，过点作于点，连接．
(1)若四边形为菱形，则值为多少？
(2)在点、的运动过程中，设四边形的面积为，请求出与的函数关系式？
13．如图，已知正方形的边长为1，为边上的一个动点，作交于点．
(1)求证：．
(2)设，，求与之间的函数表达式．
14．下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
15．如图，抛物线交轴于两点，与轴交于点，连接．点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)过点作轴，垂足为点，交于点．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)过点作，垂足为点．请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？
16．已知函数的图象是一条抛物线，求这条抛物线表达式．
17．若．
(1)m取什么值时，此函数是二次函数？
(2)m取什么值时，此函数是一次函数？
参考答案
1．C
【分析】根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型．
【详解】解：由题意，得
，属于正比例函数关系，
，属于二次函数关系，
故选：C．
【点睛】本题考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
2．B
【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，得出y与x的函数关系式即可．
【详解】解：设剩下部分的面积为y，则：
，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出是解题关键．
3．C
【分析】根据二次函数的概念：形如（为常数，且）的函数；由此问题可求解．
【详解】解：A、当时，则不是二次函数，故不符合题意；
B、不是二次函数，故不符合题意；
C、是二次函数，故符合题意；
D、化简得，不是二次函数，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数的概念，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．
4．C
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如 (a、b、c是常数，)的函数，叫做二次函数进行分析即可．
【详解】解：A、是一次函数，故此选项不符合题意；
B、当时，是二次函数，故此选项不符合题意；
C、是二次函数，故此选项符合题意；
D、分母中含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
5．C
【分析】由二次函数的定义可知且然后可求得m的取值．
【详解】函数是关于的二次函数，
且，
解得，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的概念，掌握二次函数的概念是解题的关键．
6．B
【分析】根据二次函数的定义，形如这样的函数是二次函数，其中a、b、c是常数，直接求解即可得到答案．
【详解】解：当，即，则是二次函数．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的条件，知道二次函数二次项系数不为0是关键．
7．
【分析】根据题意可得第一次降价后的价格为，第二次降价后价格为，进而可得与之间的关系式．
【详解】解：每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列二次函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
8．/
【分析】先表示出边长增加后的长方形的长宽，计算出边长增加后的长方形的面积，再计算出原长方形的面积，作差即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：边长增加后的长方形的长为：厘米，宽为厘米，
边长增加后的长方形的面积为：
平方厘米，
原长方形的面积为：平方厘米，
它增加的面积为：，
它增加的面积关于的函数解析式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是正确表示出长方形的面积．
9．
【分析】根据二次函数一次项系数的定义，解答即可．
【详解】解：∵二次函数的一次项为，
∴二次函数的一次项系数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的系数，解本题的关键在熟练掌握二次函数一次项系数的定义．在中，二次项前面的系数叫做二次项系数，一次项前面的系数叫做一次项系数，叫做常数项．
10．②④/④②
【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．
【详解】解：①为一次函数；
②为二次函数；
③自变量次数为3，不是二次函数；
④为二次函数；
⑤函数式为分式，不是二次函数．
故答案为②④．
【点睛】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键．
11．
【分析】根据二次函数的定义进行求解即可．
【详解】解：∵函数是关于的二次函数，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟知二次函数的定义是解题的关键：一般地，形如（且a、b、c是常数）的函数叫做二次函数．
12．(1)
(2)
【分析】（）由且，得四边形是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即，可得关于的方程，求解即可；
（）由直角三角形的性质可求，的长，即可求解．
【详解】（1）解：，，
，
，，
，
，
根据题意得：，，则，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
当时，四边形为菱形，
即，解得：；
（2）解：，，，，，
，，
由（1）得：四边形是平行四边形，
．
即
【点睛】本题主要考查了二次函数，菱形的性质、平行四边形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用两锐角互余证明，结合，从而可得结论；
（2）利用，可得，再建立函数关系式即可．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
在和中，，，
．
（2）正方形的边长为1，
，
，，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，列二次函数关系式，熟练的证明是解本题的关键．
14．(1)是，二次项是、一次项系数是、常数项是；
(2)不是；
(3)是，二次项是、一次项系数是、常数项是；
(4)不是
【分析】根据二次函数的概念求解即可．
【详解】（1）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是；
（2），不含二次项，故不是二次函数；
（3）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是；
（4）中不是整式，故不是二次函数．
【点睛】本题考查二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念，解题的关键是掌握以上知识点．形如（）的函数叫做二次函数，其中叫做二次项、叫做一次项系数、是常数项．
15．(1) ；(2) 存在，或；；(3) 当时，的最大值为：．
【分析】(1)由二次函数交点式表达式，即可求解；
(2)分三种情况，分别求解即可；
(3)由即可求解．
【详解】解：(1)由二次函数交点式表达式得：，
即：，解得：，
则抛物线的表达式为；
(2)存在，理由：
点的坐标分别为，
则，
将点的坐标代入一次函数表达式：并解得：…①，
同理可得直线AC的表达式为：，
设直线的中点为，过点与垂直直线的表达式中的值为，
同理可得过点与直线垂直直线的表达式为：…②，
①当时，如图1，
则，
设：，则，
由勾股定理得：，解得：或4(舍去4)，
故点；
②当时，如图1，
，则，
则，
故点；
③当时，
联立①②并解得：(舍去)；
故点Q的坐标为：或；
(3)设点，则点，
∵，
∴，
，
∵，
∴有最大值，
当时，的最大值为：．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
16．
【分析】根据题意知，函数是二次函数，则，且，据此可以求得的值．
【详解】解：∵函数的图象是一条抛物线，
∴函数是二次函数，
，且，
解得，，
该函数的解析式为：．
【点睛】此题考查了二次函数的定义，关键是根据定义列出方程，在解题时要注意．
17．(1)
(2)或
【分析】（1）根据二次函数的定义得出，进而即可求解；
（2）根据一次函数的定义得出，进而即可求解．
【详解】（1）解：(1)当是二次函数时，
有，
解得，
∴当时，此函数是二次函数；
（2）当是一次函数时，
有，
解得或，
∴或时，此函数是一次函数．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的定义，解一元二次方程，熟练掌握二次函数与一次函数的定义是解题的关键．
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