兴文县2023-2024学年高二上学期开学考试
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数满足，其中是虚数单位，则的值为
A． B．2 C． D．3
2．已知圆柱的底面半径是3，高是4，那么圆柱的侧面积是
A． B． C． D．
3．若，且，则与的夹角是
A． B． C． D．
4．某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，测得它们的直径长度（单位：）如下：9、8.7、8.6、8.5、8.5、8.5、8.4、8.3、8.3、8.2、8.1、8，那么在这组数据中，的珍珠直径长度都小于或等于
A．8.6 B．8.55 C．8.25 D．8.2
5．若，则
A． B． C． D．
6．如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上.1小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔之间的距离为
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
7．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若
函数图象关于原点对称，则的最小值是
A． B． C． D．
8．如图，在三棱柱中，过的截面与AC交于点D，与BC交于点E（D，E都不与C重合），若该截面将三棱柱分成体积之比为的两部分，则
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的760名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内.现将这100名学生的成绩按照[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示，则
A．频率分布直方图中a的值为0.03
B．样本数据低于120分的频率为0.3
C．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分
D．总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布
在[100，110）的频数相等
10．已知向量，，则下列说法正确的是
A．与向量方向相同的单位向量是
B．
C．向量在向量方向上的投影的数量是
D．
11．在锐角三角形ABC中，A，B，C为三个内角，a，b，c分别为A，B，C所对的三边，则下列结论成立的是
A．若，则 B．若，则B的取值范围是
C． D．
12．由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体1如图1，沿着和分别作上底面的垂面，垂面经过棱的中点，则两个垂面之间的几何体2如图2所示，若，则
A． B．
C．平面 D．几何体2的表面积为
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．计算 ．
14．在中，分别为内角的对边，且满足，则 .
15．在平行四边形中，，垂足为P，若，则 ．
16．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数），则与时间之间的关系为.
①；②点第一次到达最高点需要的时间为；
③在转动的一个周期内，点在水中的时间是；
④若在上的值域为，则的取值范围是；
其中所有正确结论的序号是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知
（1）当为何值时，与垂直
（2）若，且三点共线，求的值．
18．（12分）已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
19．（12分）为打造精品赛事，某市举办“南粤古驿道定向大赛”，该赛事体现了“体育+文化+旅游”全方位融合发展.本次大赛分少年组、成年组、专业组三个小组，现由工作人员统计各个组别的参赛人数以及选手们比赛时的速度，得到如下统计表和频率分布直方图：
组数 速度（千米/小时） 参赛人数（单位：人）
少年组 300
成年组 600
专业组
（1）求a，b的值；
（2）估计本次大赛所有选手的平均速度（同一组数据用该组数据的中间值作代表，最终计算结果精确到0.01）；
（3）通过分层抽样从成年组和专业组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人接受采访，求接受采访的2人都来自“成年组”的概率.
20．（12分）记的内角的边分别是,分别以为边长的三个正三角形的面积依次为,已知,．
(1)求的面积;
(2)若,求边的值．
21．（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC.
(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(2)若AC=BC=PA，求平面PAB与平面PCB所成二面角的大小.
22．（12分）已知函数，
（1）写出函数的解析式；
（2）若直线与曲线有三个不同的交点，求的取值范围；
（3）若直线 与曲线在内有交点，求的取值范围.兴文县2023-2024学年高二上学期开学考试
数学试题参考答案
1．B 2．C 3．B 4．A 5．C 6．B 7．C 8．C 9．AC 10．ABD 11．ACD 12．ABC
13． 14． 15． 16．①④
17．解：（1）......................................................1分
....................................................................................2分
因为垂直，所以 ..........................................4分
即，得....................................................................................5分
（2）
...................................................................7分
因为三点共线，所以．...............................................................8分
所以，即，所以.................................................10分
解：（1）因函数，则周期
所以的最小正周期为..........................................................................2分
（2）当时， .......................................................4分
而正弦函数在上递增，在上递减，且......7分
因此，当，即时，取最大值1，则，.........9分
当，即时，取最小值 ，则，..........11分
所以的最大值为3，最小值为. ....................................................................12分
19．解：（1）由频率分布直方图可知，.................. 2分
∴...........................................................................................................................3分
少年组人数为300人，频率，总人数人，
∴.
∴，...........................................................................................................5分
（2）平均速度
，
∴估计本次大赛的平均速度为9.05千米/小时.........................................................8分
（3）成年组和专业组的参赛人数分别为600人、300人.
设在成年组和专业组抽取的人数分布为x，y，
则.∴，.
∴由分层抽样在成年组中抽取4人，专业组中抽取2人......................................10分
设成年组中的4人分别用A，B，C，D表示；专业组中的2人分别为a，b表示.
从中抽取两人接受采访的所有结果为：
AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab共15种.
接受采访的两人均来自成年组的所有结果为：
AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种.
故接受采访的两人都来自成年组的概率为....................................................12分
20．解：（1）由题意得,,,............................................2分
则,即...........................................4分
在中,由余弦定理,
整理得,则,又,....................................................................6分
则,所以,
则.................................................................................................8分
（2）在中,由正弦定理得:
,...................................................................10分
则,所以........................................................................................12分
21．解：（1）平面，.
.
平面PAC，平面.
平面，平面PAC⊥平面PBC..............................................................5分
（2）在中，取中点，连接，则.
在中，过D作于E，连接CE.
由面，得，又，
且平面PAB，
故面.
所以.又，且平面CDE，故面，所以.
所以即为二面角的平面角.
设.由题可得，，由得，.
在中，，则.
即平面与平面所成二面角的大小为..........................................................12分
22．解：（1）当，得或，此时；
当，得，此时
∴............................................................................................4分
（2）当时，直线与曲线只有2个交点，不符题意.
当时，由题意得，直线与曲线在或内必有一个交点，且在的范围内有两个交点.
由，消去得.
令，则应同时满足以下条件：
，
解得或，所以的取值范围为.............................................8分
（3）由方程组，消去得.
由题意知方程在内至少有一个实根，设两根为，
不妨设，，由根与系数关系得，
∴
当且仅当时取等.
所以的取值范围为....................................................................12分
