2023~2024学年度第一学期期初学情检测
高 三 数 学 参 考 答 案
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共 4 页，包含［单选题（1~8）多选题 9~12，填空题（第 13 题～第 16 题，共 80 分）、
解答题（第 17～22 题，共 70 分）。本次考试时间 120 分钟，满分 150 分、考试结束后，请
将答题卡交回。
2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用 0.5 毫米的黑色签字
笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用 2B 铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。
3．答题时请用 0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效。
4．如有作图需要，可用 2B 铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|ln x≥0}，则 M∩N＝
A．{1} B．{0，1，2} C．{1，2} D．{2}
答案：C
2. 已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝ 3 ，|a－2b|＝3，则|a－b|＝
A． 2 B． 3 C． 2 D． 5
答案：A
3. 已知函数 f(x)＝－x2＋4x，x∈[m，4]的值域是[0，4]，则实数 m的取值范围是
A．(－∞，2) B．(0，2] C．[0，2] D．[2，4]
答案：C
4. sin( π) 6已知 ，则 sin( π6 3 6 2 )
试卷第 1页，共 11页
{#{QQABCYSQgggoAAAAARgCAQGwCEGQkBCCAIgGAEAAsAAByBFABAA=}#}
A 2 2 B 2 2
1 1
． ． C． D．
3 3 3 3
答案：C
5. 设 p : x a ≤3， q : 2x2 x 1≤0，若 p是 q的必要不充分条件，则实数 a的取值范围
是
A．
5，2 5 5 5
2 B．
( ，2) 2， ( 2， )
2 C． 2 D． 2
答案：A
ax
6. 已知 f (x) e 1x (a 0)是奇函数，则 f (x)在 x 0处的切线方程是e
A． y x B． y 2x C． y ex D． y 2ex
答案：B
7. 已知△ABC是边长为 4的等边三角形，将它沿中线 AD折起得四面体 A BCD，使得此
时 BC 2 3，则四面体 A BCD的外接球表面积为
A．16π B．18π C． 21π D． 28π
答案：D
8. 若 x 0， xex 1≥ x ln x m恒成立，则实数m的取值范围是
A．m≤ 0 B．m≤1 C．m≤ e D．m e
答案：A
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9. 已知 ( π，0)是函数 f (x) sin( x π)(0 3) 的一个对称中心，则
3 3
A． 2
B x π． 6 是函数
f (x)的一条对称轴
试卷第 2页，共 11页
{#{QQABCYSQgggoAAAAARgCAQGwCEGQkBCCAIgGAEAAsAAByBFABAA=}#}
C．将函数 f (x) π的图像向右 6 平移后得到的图像关于原点对称
D π．函数 f (x)在区间 ，0
2 上的最小值是
3
2
答案：AC
10. 已知正实数 x，y满足 xy x y 1，则
A． xy的最大值为 2 2 3 B． x y的最小值为 2 2 2
C． x 2y的最小值为 3 2 3 D． x2 y2 的最小值为 4 2 6
答案：ABD
11. 已知锐角△ABC的三边长分别是 a，b，c．若 c b 2bcos A，则 a c 可以取到b
A． 5 B． 6 C． e D． π
答案：BCD
12. 在棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为 BD1， B1C1 的中点，点 P在正
方体的表面上运动，且满足MP CN ．记点 P的轨迹为 ，则
A．点 P可以是侧面 BCC1B1 的中心 B． 是菱形
C．线段 MP的最大值为 32 D． 的面积是 2 5
答案：ACD
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
13. 写出一个同时满足下列条件的函数 f (x)解析式 ▲ ．
① f (x) f ( x)；② f (x) f (4 x) 0 ．
答案： f (x) Acos
π x
4 （答案不唯一）
14.△ABC，∠BAC＝60°， BCA 45 ,AB＝2，∠BAC角平分线交 BC于 D，则 BA BD ▲ ．
答案： 4 2 3
试卷第 3页，共 11页
{#{QQABCYSQgggoAAAAARgCAQGwCEGQkBCCAIgGAEAAsAAByBFABAA=}#}
15. 一个动力船拖动载重量相等的小船若干只，在两个港口之间来回运货．若拖 4只小船，
则每天能往返 16次；若拖 7只小船，则每天能往返 10次．已知增加的小船只数与相应
减少的往返次数成正比例．为使得每天运货总量最大，则每次拖 ▲ 只小船时．
答案：6
16. 如图，在四面体 ABCD中，AB CD 2，AC BD 3，AD BC 5，E,F分别是
AD,BC 的中点若用一个与直线 EF 垂直，且与四面体的每个面都相交的平面 去截该四面
体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为 .
6
答案：
2
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在△ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 c＝a cos B．
（1）求 A；
（2）若 sinC 24 ，求 B π ．25 sin( )2 4
解：（1）在△ABC中，由正弦定理 a c ，得 sinC sin AcosB ．
sin A sinC
因为 A B C π，
所以 sinC sin(π A B) sin(A B) sin A cosB cosA sinB ，………………2分
所以 sin AcosB cos Asin B sin AcosB ，即 cos Asin B 0 ．
又因为 0 B π，所以 sin B 0，所以 cos A 0．
又因为 0 A π，所以 A π ． ………………………………4分2
试卷第 4页，共 11页
{#{QQABCYSQgggoAAAAARgCAQGwCEGQkBCCAIgGAEAAsAAByBFABAA=}#}
（2）因为 sinC 24 ， A π ，
25 2
所以 cosB 24 2cos 2 B 1 1 2sin 2 B ． ………………………………6分25 2 2
又因为 0 B π ，所以 sin B 2 ， cos B 7 22 2 10 2 10 ．……………………………8分
所以 sin(B π) sin B cos π2 4 2 4 cos
B π 2 2 7 2 2 4
2 sin 4 10 2 10 2 5 …………10分
另解：因为 A B C π， A π2 ，
所以 sin(B π) sin(B A) sin( π C ) cosC ．
2 4 2 2 2 2
因为 sinC 24 ，所以 2sin C cosC 24． ………………………………6 分
25 2 2 25
因为 0 C π ，所以 0 C π ，所以 0 sin C cos C2 2 4 2 2 ，
所以 (sin C2 cos
C
2 )
2 1 2sin C2 cos
C
2
49 ，
25
(sin C cosC )2 1 2sin C cosC 1 ，
2 2 2 2 25
所以 sin C cosC 7 ，sin C cosC 1 ， ………………………………8分2 2 5 2 2 5
所以 sin(B2
π
4) cos
C 4． ………………………………10分2 5
18．（12分）
在正四棱锥 V—ABCD中，已知VA AB 3 2 ，VP 1 ， 2 ， 2 ．3VC VM 3VB VN 3VD
（1）证明：VA//平面 PMN；
（2）求二面角V PM N 的大小．
试卷第 5页，共 11页
{#{QQABCYSQgggoAAAAARgCAQGwCEGQkBCCAIgGAEAAsAAByBFABAA=}#}
解：（1）连接 AC交 BD于 O，如图所示，以 O为坐标原点建立空间直角坐标系．
因为 A(3，0，0)，V (0，0，3)，C( 3，0，0)， B(0，3，0)，D(0， 3，0)，
所以VA (3，0， 3)，VB (0，3， 3)，VC ( 3，0， 3)， VD (0， 3， 3)，
所以VP 1VC ( 1，0， 1) ，VM (0，2， 2)，VN (0， 2， 2)，3
所以 PM (1，2， 1)，PN (1， 2， 1)． ………………………………2分
设平面 PMN的法向量为 n (x，y，z)，
则 n PM x 2y z 0， n PN x 2y z 0，
令 x 1，则 n (1，0，1)． ………………………………4分
因为 n VA 0，所以 n VA，
又因为VA 平面 PMN，所以所以 VA//平面 PMN． …………………………6分
另解：
因为 PM (1，2， 1)， PN (1， 2， 1)，
所以 PM PN (2，0， 2)．
2 因为 PM PN VA，所以 PM，PN，VA共面，所以 VA//平面 PMN．
3
（2）设平面 VBC的法向量为 n (x ，y ，z )，
则 n VB 3y 3z 0， n VC 3x 3z 0，
令 x 1，则 n (1， 1， 1)． ………………………………10分
试卷第 6页，共 11页
{#{QQABCYSQgggoAAAAARgCAQGwCEGQkBCCAIgGAEAAsAAByBFABAA=}#}
因为 n n 0，所以平面 PMN⊥平面 PMN，
所以二面角V PM N 的大小是 90°． ………………………………12分
19．（12分）
已知函数 f (x) a(ln x a) x．
（1）讨论 f(x)的单调性；
（2）证明：当 a>0时， f (x)≤2a2 2a．
解：(1) f (x) ax 1
．
当 a≤ 0时， f (x)≤0，所以 f(x)的单调减区间是 (0， )．……………………2分
当 a 0时， f (x) a x ．x
所以 f(x)的单调减区间是 (a， )，单调增区间是 ( 0，a)．………………………4分
（2）由（1）可得，当 x a时，f(x)取得极大值，也是最大值，
所以 f (x)≤ f (a) a(ln a a) a ． ………………………………8分
设 g(a) ln a a 1，则 g (a) 1a 1
，
所以 g(a)的单调减区间是 (1， )，单调增区间是 ( 0，1)，
所以 g(a)≤ g(1) 0，即 ln a≤ a 1． ………………………………10分
因为 ln a≤ a 1，所以 ln a a≤2a 1，所以 a(ln a a)≤2a 2 a，
所以 a(ln a a) a≤2a 2 2a，
所以命题得证． ………………………………12分
20．（12分）
试卷第 7页，共 11页
{#{QQABCYSQgggoAAAAARgCAQGwCEGQkBCCAIgGAEAAsAAByBFABAA=}#}
劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，对于培养社会主义建设者和接班人
具有重要战略意义．为了使学生熟练掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，某普通高中组
织学生到工厂进行实践劳动．在设计劳动中，某学生欲将一个底面半径为 20 cm，高为 40 cm
的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内．
（1）求该圆柱的侧面积的最大值；
（2）求该圆柱的体积的最大值．
解：（1）设该圆柱的底面半径为 r ，高为 h．
因为 20 r ，所以 40 h 2r，即 h 40 2r． …………………………2分40 40 h
因为 h 40 2r 0，所以 0 r 20．
S 2πrh 2πr (40 2r ) 4πr (20 r ) 4π r (20 r)
2
因为 ≤ 400π，
2
当且仅当 r 10时等号成立，
所以该圆柱的侧面积的最大值是 400π（cm2）． ………………………………6分
（2）因为V πr 2h πr 2 (40 2r ) 2π(20r 2 r3 )(0 r 20) ，
所以V 2π(40r 3r 2)． ………………………………10分
因为V 在 (0，40)上单调递增，3 (
40，20)上单调递减，3
所以当 r 40 时，V 64000max π（cm3）．3 27
答：（1）该圆柱的侧面积的最大值是 400π cm2；
（2）该圆柱的体积的最大值是 64000 π cm3． ………………………………12分27
21．（12分）
记△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知△ABC面积为 3 ，D为 BC的
中点，且 AD＝1．
试卷第 8页，共 11页
{#{QQABCYSQgggoAAAAARgCAQGwCEGQkBCCAIgGAEAAsAAByBFABAA=}#}
（1）若∠ADC π＝ ，求 tan A；
3
（2）若 2AB AC CA CB BA BC 8 ，求△ABC的周长．
解：（1）在△ABC中，作边 BC上的高 AH．
因为 AD＝1 π 3，∠ADC＝ ，所以 AH AD sin π3 2 ，DH AD cos
π 1 ．
3 3 2
因为△ABC面积为 3 ，所以 S 1△ABC AH BC 32 ，所以 BC 4．
在 RT△ABH中， AH 3 ， BH BD DH 2 1 5 ，
2 2 2
所以 tan B AH 3BH 5 ．
在 RT△ACH中， AH 3 ，CH CD DH 2 1 3 ，
2 2 2
所以 tanC AH 3CH 3 ． ………………………………4 分
3 3
因为 tan(B C) 5 3 2 3 ， A B C π，
3 3 31 5 3
所以 tan A tan(π B C ) tan(B C ) 2 33 ．………………………………6 分
2 2 2 2 2 2
（2）因为 AB AC bc cosA bc b c a b c a2bc 2 ，
2 2 2 2 2 2
BA BC a c b ，CA CB a b c ，
2 2
所以 2AB AC CA CB BA BC b 2 c 2 8 ．
1 2 2 2因为 AD (AB AC)，所以 AD 1 (AB 2AB AC AC ) ，
2 4
即1 1 (c2 2bccos A b2) ，所以 bc cos A 2． ………………………………8 分4
又因为△ABC面积为 3 ，所以 1 bc sin A 3，
2
所以 bc sin A 2 3．
试卷第 9页，共 11页
{#{QQABCYSQgggoAAAAARgCAQGwCEGQkBCCAIgGAEAAsAAByBFABAA=}#}
因为 tan A bc sin A ，且 0 A π，所以 2π ．……………………10 分bc cos A 3 A 3
3
因为 bc 2 3，所以bc 4．又因为b2 c2 82 ，
所以 b c 2， a 2 3，所以△ABC的周长是 4 2 3．……………………12分
22．（12分）
已知 x＝1是函数 f (x) (x2 ax 1)e x的极值点．
（1）求 f (x)的极值；
（2）证明：过点 (1，f (x))可以作曲线 y f (x)的两条切线．
解：（1）因为 f (x) (x2 ax 1)e x，所以 f (x) (x2 (a 2)x a 1)e x．
因为 x＝1是函数 f (x) (x2 ax 1)e x的极值点，
所以 f (1) (12 (a 2) a 1)e 0，所以 a 1．………………………………3分
因为 f (x)在 ( ， 2) 上单调递减， ( 2，1)上单调递增， (1， )上单调递减，
所以当 x 2时， f (x)取得极大值 6e 2，
当 x 1时， f (x)取得极小值 e． ………………………………5分
（2）设切点 (t，(t 2 t 1)e t )，
则切线方程是 y (t 2 t 1)et (t 2 t 2)et (x t) ．
(1，f (x))代入得 e (t2 t 1)e t (t2 t 2)e t (1 t) ，
整理得 (t3 t2 2t 3)e t e 0 ．
设 h(t) (t3 t 2 2t 3)e t e ，
则
试卷第 10页，共 11页
{#{QQABCYSQgggoAAAAARgCAQGwCEGQkBCCAIgGAEAAsAAByBFABAA=}#}
h (t) (t3 2t 2 4t 1)e t (t 1)(t 3 13)(t 3 13)e t ．……………………………8分
2 2
因为 h(t)在 ( 3 13， )单调递减， ( 3 13 3 13， )上单调递增，2 2 2
( 3 13 ，1)上单调递减， (1， )上单调递增，
2
又因为 h(1) 0，所以 h(t)在 ( 3 13 ， )上有且只有一个零点．
2
h( 3 13又因为 ) h(1) 0 h( 2) 52 ， e2
e<0，
h(t) ( 3 13 3 13所以 在 ， )上有且只有一个零点．
2 2
又因为当 t 2时， t3 t2 2t 3 t3 4 (t 1)2 ≤ 8 4 (t 1)2 0 ，
所以 h(t)在 ( 3 13， )上没有零点．2
综上可知，命题得证． ………………………………12分
试卷第 11页，共 11页
{#{QQABCYSQgggoAAAAARgCAQGwCEGQkBCCAIgGAEAAsAAByBFABAA=}#}2023~2024学年度第一学期期初学情检测
高 三 数 学
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共 4页，包含［单选题（1~8）多选题 9~12，填空题（第 13 题～第 16 题，共 80 分）、解
答题（第 17～22 题，共 70 分）。本次考试时间 120 分钟，满分 150 分、考试结束后，请将答题
卡交回。
2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用 0.5 毫米的黑色签字笔写
在答题卡上相应的位置，并将考试证号用 2B 铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。
3．答题时请用 0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效。
4．如有作图需要，可用 2B 铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。
一、单选题：本大题共 8小题，每题 5分，共 40分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1. 已知集合 M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|ln x≥0}，则 M∩N＝
A．{1} B．{0，1，2} C．{1，2} D．{2}
2. 已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝ 3 ，|a－2b|＝3，则|a－b|＝
A． 2 B． 3 C． 2 D． 5
3. 已知函数 f(x)＝－x2＋4x，x∈[m，4]的值域是[0，4]，则实数 m的取值范围是
A．(－∞，2) B．(0，2] C．[0，2] D．[2，4]
4. 6已知 sin( π6)
π
3 ，则 sin( 6 2 )
2 2 2 2 1 1A． B． C． D．
3 3 3 3
5. 设 p : x a ≤3， q : 2x2 x 1≤0，若 p是 q的必要不充分条件，则实数 a的取值范围是
5，2 A． 2 B． (
5
2，2)
5 5
C．
2，2 D． ( 2，2)
6. 已知 f (x) e
ax 1
x (a 0) 是奇函数，则 f (x)在 x 0处的切线方程是e
A． y x B． y 2x C． y ex D． y 2ex
7. 已知△ABC是边长为 4的等边三角形，将它沿中线 AD折起得四面体 A BCD，使得此时 BC 2 3 ，
则四面体 A BCD的外接球表面积为
A．16π B．18π C． 21π D． 28π
8. 若 x 0， xex 1≥ x ln x m恒成立，则实数m的取值范围是
高三数学 第 1页（共 4页）
{#{QQABCYSQgggoAAAAARgCAQGwCEGQkBCCAIgGAEAAsAAByBFABAA=}#}
A．m≤ 0 B．m≤1 C．m≤ e D．m e
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9. 已知 ( π，0)是函数 f (x) sin( x π )(0 3)的一个对称中心，则3 3
A． 2
B x π． 6 是函数 f (x)的一条对称轴
C．将函数 f (x) π的图像向右 6 平移后得到的图像关于原点对称
D π ．函数 f (x)在区间 2，0 上的最小值是
3
2
10. 已知正实数 x，y满足 xy x y 1，则
A． xy的最大值为 2 2 3 B． x y的最小值为 2 2 2
C x 2y 3 2 3 D x2 2． 的最小值为 ． y 的最小值为 4 2 6
11. 已知锐角△ABC的三边长分别是 a，b，c．若 c b 2bcos A，则 a c 可以取到b
A． 5 B． 6 C． e D． π
12. 在棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为 BD1， B1C1的中点，点 P在正方体的表面
上运动，且满足MP CN ．记点 P的轨迹为 ，则
A．点 P可以是侧面 BCC1B1 的中心 B． 是菱形
C．线段 MP 3的最大值为 2 D． 的面积是 2 5
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡
相应位置上．
13. 写出一个同时满足下列条件的函数 f (x)解析式 ▲ ．
① f (x) f ( x) ；② f (x) f (4 x) 0 ．
14.△ABC中,∠BAC＝60°, BCA 45 ,AB＝2,∠BAC的角平分线交 BC于 D，则 BA BD ▲ ．
15. 一个动力船拖动载重量相等的小船若干只，在两个港口之间来回运货．若拖 4只小船，则每天能往
返 16次；若拖 7只小船，则每天能往返 10次．已知增加的小船只数与相应减少的往返次数成正比
例．为使得每天运货总量最大，则每次拖 ▲ 只小船．
高三数学 第 2页（共 4页）
{#{QQABCYSQgggoAAAAARgCAQGwCEGQkBCCAIgGAEAAsAAByBFABAA=}#}
16. 如 图 ， 在 四 面 体 ABCD 中 ， AB CD 2 ， AC BD 3 ，
AD BC 5，E,F分别是 AD,BC的中点，若用一个与直线 EF垂直，
且与四面体的每个面都相交的平面 去截该四面体，由此得到一个多边
形截面，则该多边形截面面积的最大值为 ▲ .
四、解答题：本大题共 6小题，共 70分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
17．（10分）
在△ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 c＝a cos B．
（1）求 A；
（2）若 sinC 24 ，求 sin(B π)．25 2 4
18．（12分）
1 在正四棱锥 V—ABCD中，已知VA AB 3 2 ，VP 3VC
，VM 2VB，3 VN
2
3VD
．
（1）证明：VA//平面 PMN；
（2）求二面角V PM N 的大小．
高三数学 第 3页（共 4页）
{#{QQABCYSQgggoAAAAARgCAQGwCEGQkBCCAIgGAEAAsAAByBFABAA=}#}
19．（12分）
已知函数 f (x) a(ln x a) x ．
（1）讨论 f(x)的单调性；
（2）证明：当 a>0时， f (x)≤2a2 2a．
20．（12分）
劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，对于培养社会主义建设者和接班人具有重要战
略意义．为了使学生熟练掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，某普通高中组织学生到工厂进行实践
劳动．在设计劳动中，某学生欲将一个底面半径为 20 cm，高为 40 cm的实心圆锥体工件切割成一个圆
柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内．
（1）求该圆柱的侧面积的最大值；
（2）求该圆柱的体积的最大值．
21．（12分）
△ABC内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，其面积为 3，D为 BC的中点，且 AD＝1．
（1 π）若∠ADC＝ ，求 tan A；
3
（2）若 2AB AC CA CB BA BC 8，求△ABC的周长．
22．（12分）
已知 x＝1是函数 f (x) (x2 ax 1)ex的极值点．
（1）求 f (x)的极值；
（2）证明：过点 (1，f (x))可以作曲线 y f (x)的两条切线．
高三数学 第 4页（共 4页）
{#{QQABCYSQgggoAAAAARgCAQGwCEGQkBCCAIgGAEAAsAAByBFABAA=}#}
