四川省德阳市第五中学2023-2024学年高三上学期入学考试数学（理）试题（PDF版含答案）

德阳五中高 2021 级高三上期入学考试
数学试卷(理科）
（总分 150 分，答题时间 120 分钟）
一.选择题：(每小题 5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合要求，请将答案填涂在答题卡上)
1. 若复数 z 满足 1 i z 3 i ，则 z 的虚部为（ ）
A． 1 B． 2 C． i D． 2i
2. 集合 A 1,2,3,5,7,11 ,B x x 3 x 15 0 ，则集合 A B的真子集个数为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
3. 若直线 l1 : x ay 1 0 与直线 l2 : ax y 1 0 平行，则a （ ）
A．0 B．1 C． 1 D． 1
4 5． x 2y 2x y 的展开式中的 x3y3系数为（ ）
A． 200 B． 120 C．120 D．200
5. 设 m，n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若m / / ，n / / ，则m // n B．若 / / ，m ， n ，则m // n
C．若 ， m， n ，则 n D．若m ，m // n， n ，则
π
6．已知命题 p :在 ABC中，若 A 2，则 sin A ，命题 q : x 1，x ln(x 1) .4 2
下列复合命题正确的是（ ）
A． p q B． ( p) ( q) C． ( p) q D． p ( q)
7. 关于圆周率 π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯
实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 π的值：先请 100 名同学每人随
机写下一个 x， y都小于 1 的正实数对 x, y ；再统计两数能与 1 构成钝角三角形三边的
数对 x, y 的个数m；最后再根据统计数m估计 π的值，假如某次统计结果是m 28，
那么本次实验可以估计 π的值为（ ）．
78 47 22 53
A. B. C. D.
25 15 7 17
3 2 2 3
8.已知函数 f x x ax x a有两个极值点 x1, x2 ，且 x1 x ，则 f (x)2 的极大值为（）3
（理科数学）第 1 页 共 4 页
{#{QQABKYYQogiAAhBAARgCAQHACkKQkACCAIgGQEAAoAABSAFABAA=}#}
A. 3 B. 2 3 C. 3 D. 3
9 9 3
9.已知 f (x) 2sin( x )( 0)同时满足下列三个条件：① f (0) π f ( )
6
f (x ) f (x π π② 1 2 ) 4 时， x1 x2 的最小值为 , ③ y f (x ) 是偶函数2 3
若 f (x) 在 (0, t) 有最小值无最大值，则实数 t的取值范围是（ ）
0 5 A. ， B. 0， C. ， D. ， 6 3 6 3 3 6
10.在三棱锥 S ABC 中， BAC 3 SCA 90 ， SA AB， SB 13 ， AB 3，
则三棱锥 S ABC外接球的体积为（ ）
25 125
A．25 B． C．
125
D．
6 3 6
11.在 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且角 A，C，B成等差数列，
若 a b 4，则 ABC的周长的取值范围为（ ）
A. 4 3,8 B. 6 3,8 C. 6,8 D. 4 3,8 3
f (x) ln x 1 mx
2
12.已知函数 有两个零点 a、b，且存在唯一的整数 x0 (a,b) ，则实数mx
的取值范围是（ ）
e ln 2e ln 3e e ln 2e
A． 0, B． ,1 C． , D． 0, 2 4 9 2 4
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分）
x y 2 0

13. 若变量 x, y满足约束条件 x 2y 2 0 ，则 z x 2y的最小值为 .

x 1
14. 在 ABC中， E为 AC的中点，D是线段BE上的动点（不包含端点），
AD xAB yAC 1 2若 ，则 的最小值为 .
x y
π π
15．已知函数 f x 的定义域为 , ，其导函数是 f x .有 f x cos x f x sin x 0 ，
2 2
x π 则关于 的不等式 f (x) 2 f cos x的解集为________________________________.
3
x2 y2
16. 双曲线H : 1(a,b 0) 其左、右焦点分别为 F1,F
π
2 ，倾斜角为 的直线PFa2 b2 3 2
与
双曲线 H在第一象限交于点 P，设△F1PF2 内切圆半径为 r，若 PF2 2 3r ，则双曲
线 H的离心率的取值范围为__________________________________________________.
（理科数学）第 2 页 共 4 页
{#{QQABKYYQogiAAhBAARgCAQHACkKQkACCAIgGQEAAoAABSAFABAA=}#}
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
（一）必考题：共 60 分
17.（本小题 12 分）
已知数列 an 的前 n项和为 Sn，且满足 Sn 2an 2 n N * .
(1)证明：数列 an 是等比数列；

(2)记bn log
1 1
2an，数列 的前 项和为Tb b n n
，求证：Tn .
n n 1 2
18.（本小题 12 分）
某企业拥有甲、乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，采用随机抽样方法从两条生
产线共抽取 180 个零件，测量其尺寸（单位：mm）得到如下统计表，其中尺寸位于 55,58
的零件为一等品，位于 54,55 和 58,59 的零件为二等品，否则零件为三等品.
生产线 53, 54 54,55 55,56 56,57 57,58 58,59 59,60
甲 4 9 23 28 24 10 2
乙 2 14 15 17 16 15 1
（1）将样本频率视为概率，分别求出甲、乙生产线零件为一等品的概率；
（2）将样本频率视为概率，从甲、乙两条生产线中分别随机抽取 2 个零件，每次抽取零
件互不影响，以 表示这 4 个零件中一等品的数量，求 的分布列和数学期望 E .
19.（本小题 12 分）
如图 1，在Rt△ABC中，∠C 90 ，BC 3，
AC 6 ，D E分别为 AC AB上的点，
且DE //BC，DE 2，将Rt△VAABDCE沿DE折起
到△A1DE的位置，使 A1C CD，如图 2.
（1）求证： A1C 平面 BCDE；
（2）若M 是 A1D的中点，求CM 与 A1BE 平面所成角的大小；
（3）线段 BC上是否存在点 P，使平面 A1DP与平面 A1BE 垂直？说明理由.
（理科数学）第 3 页 共 4 页
{#{QQABKYYQogiAAhBAARgCAQHACkKQkACCAIgGQEAAoAABSAFABAA=}#}
20.（本小题 12 分）
2
已知抛物线C : y 2px p 1 F E : x 1 2的焦点为 ，圆 y 2 2 4，M ，N分别是抛物
线C和圆 E上的动点，当点M 在第一象限且MF x轴时， MN 的最大值为 4．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知过点 F 的直线 l交抛物线C于 P，Q两点，且直线 l MF，设直线MF与抛物

线C 的另一个交点为K，求 PM KQ的最小值．
21.（本小题 12 分）
1 2
已知函数 f (x) ln x， g(x) ax x h(x)
a
， 1(a R) .
2 x
（1）讨论G(x) (a 1) f (x) g(x) 的单调性;
（2）记 F (x) f (x) h(x)， a 0 ,
若 F (x)有两个不相等的零点 x1, x2 ，且 x1 x2，证明： x1 x2 2a .
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．
22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】（本小题 10 分）
如图，在平面直角坐标系 xOy中，以坐标原点为极点，极轴所在的直线为 x轴建立极坐标
系，曲线C1是经过极点且圆心在极轴上的直径为 2 的圆，曲线C2 是著名的笛卡尔心形曲
线，它的极坐标方程为 1 sin ( [0,2 ])．
（1）求曲线C1的极坐标方程，并求曲线C1和曲
线C2 的交点（异于极点）的极径；
x π t cos 6
（2）若曲线C3的参数方程为 （ t为参数），
y π t sin
6
且曲线C3和曲线C2 相交于除极点以外的M ,N两点，求线段MN的长度．
23.【选修4-5：不等式选讲】（本小题10分）
已知函数 f (x) 2 x 1 3 x 2 .
（1）求不等式 f (x) x2 x 1的解集；
2 2（ ）若存在实数 x，使不等式3a 7a x 2 f (x) 成立，求实数 a的取值范围．
（理科数学）第 4 页 共 4 页
{#{QQABKYYQogiAAhBAARgCAQHACkKQkACCAIgGQEAAoAABSAFABAA=}#}
德阳五中高 2021 级高三上期入学考试
数学试卷(理科）答案
1-----5:ABCAD； 6-----10：CABDD； 11------12：CB
5
13、-5；14、9；15、 ， ；16、 ,2 .
2 3 4
17 解：（1）依题意 Sn 2an 2，当 n 2时， Sn 1 2an 1 2 .两式相减，得 an 2an 2an 1，
即 an 2an 1 n 2 ，当 n 1时，有 S1 2a1 2，解得 a1 2 .
所以数列 an 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列..............................................................6 分
1 1 1 1
（2）由（1）可知 an 2
n，所以bn log2an n .则 bnb
，
n 1 n n 1 n n 1
T 1 1 1 1 1 1 1 1 1所以 n







2 2 3 3 4 n n 1
1 ，
n 1
1 1 1 1 1
由 n 1 2，则0 ，所以1 ，故T .................................................12 分
n 1 2 n 1 2 n 2
23 28 24 3
18 解：（1）由已知任取一个甲生产线零件为一等品的概率为 ，
100 4
15 17 16 3
任取一个乙生产线零件为一等品的概率为 ...............................................4 分
80 5
（2） 的所有可能取值为 0，1，2，3，4.
2 2
P 0 1 1 2 2 4 P 1 C1 1 3 2 C1 2 3 1 36， ，4 4 5 5 400 2 4 4 5 2 5 5 4 400
3 2 2 2 1 2 2P 2 3 1 1 3 1 2 3 117 C2 C2 ，
4 5 4 5 4 4 5 5 400
2 2 2 2
P 3 3 C1 2 3 1 3 3 C1 162 3 3 81 4 2 2 ， P 4 5 5 4 4 5 400 4 5 400
所以 的分布列为：
0 1 2 3 4
4 36 117 162 81
P
400 400 400 400 400
E 0 4 1 36 2 117 162 3 4 81 27 .....................................12 分
400 400 400 400 400 10
19 解：（1）证明：在Rt△ABC中，∠C 90 ，DE //BC，则有CD DE， AD DE，
折起后，有CD DE， A1D DE，CD, A1D 平面 A1CD，CD A1D D
第 1 页 共 5 页
{#{QQABKYYQogiAAhBAARgCAQHACkKQkACCAIgGQEAAoAABSAFABAA=}#}
DE 平面 A1CD，又 A1C 平面 A1CD， A1C DE，
又 A1C CD，CD,DE 平面 BCDE，CD DE D， A1C 平面 BCDE；.........4 分
（2）由CD,CB,CA1两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C 0,0,0 ，D 2,0,0 ， A1 0,0,2 3 ， B 0,3,0 ， E 2, 2,0 ，

A1B (0,3, 2 3)， A1E ( 2,2, 2 3) ，设平面 A1BE

法向量为 n (x, y, z)，
3
A B n

0 3y 2 3z 0 z y 1 2

则 ， ， ， n ( 1, 2, 3)，
A1E n 0 2x 2y 2 3z 0
x
y

2

又 M 1,0 3 ， CM 1,0 3 ，设CM 与平面 A1BE 所成角的大小为 ，

CM n
sin cos CM n 1 3 4 2 ，CM n 1 4 3 1 3 2 2 2 2
又因为0 90 ， CM 与平面 A1BE 所成角的大小为45 ；................8 分
（3）设线段 BC上存在点 P，设 P点坐标为 0,a, 0 ，则 a 0,3 ，

A1P (0,a, 2 3)，DP (2,a,0)，设平面 A1DP法向量为 n1 (x1, y1, z1)，
3
ay1 2 3z1 0
z1 ay6 1
则 ， ， n ( 3a, 6, 3a)，
2x1 ay1 0 x 1
1
1 ay 2 1

假设平面 ADP 1 与平面 A1BE 垂直，则 n1 n 0，
3a 12 3a 0， 6a 12， a 2， 0 a 3，
不存在线段 BC上存在点 P，使平面 A1DP与平面 A1BE 垂直.....................12 分
第 2 页 共 5 页
{#{QQABKYYQogiAAhBAARgCAQHACkKQkACCAIgGQEAAoAABSAFABAA=}#}
p
20 解：（1）当点M 在第一象限且MF x轴时，点M 的坐标为 , p ．
2
因为圆 E的圆心为 E 1, 2 ，半径 r 2，所以 MN ME r 4max ，
p
2
所以 1
2
p 2
2 2 4，解得 p 2或 （舍去），
2 5
故抛物线C的方程为 y2 4x ................................................................................4 分
（2）由题意知F 1,0 ，直线 l的斜率 k存在且不为 0，设 l的方程为 y k x 1 ，
y k x 1 2 2 2 2
由 可得 k x 2k 4 x k 0．
y
2 4x
设 P x , y 41 1 ，Q x2 , y2 ，则 x1 x2 2 2 ， xk 1
x2 1．
l MF 1因为直线 ，所以直线MF的斜率为 ．
k
设M x3 , y3 ，K x4 , y4 ，同理可得 x3 x4 2 4k 2， x3x4 1．

故 PM KQ PF FM KF FQ PF KF PF FQ FM KF FM FQ

PF FQ FM KF x1 1 x2 1 x3 1 x4 1
x x x x 1 x x x x 1 8 4 k 2 1 8 4 2 k 2 11 2 1 2 3 4 3 4 2 2 16 ， k k
2 1
当且仅当 k 2 ，即 k 1时， PM KQ取得最小值 16．................................12 分k
21 解：（1） G(x) (a 1) ln x
1
ax2 x， G(x)的定义域为 (0, )，
2
G (x) a 1 ax ax
2 x a 1
且 1 .令 p(x) ax2 x a 1， x (0, )，
x x
（i）当 a 0时， p(x) x 1 0在 (0, )上恒成立，即G (x) 0恒成立，
所以G(x)在 (0, )上单调递增；
1 a
（ii）当 a 0时，令 p(x) ax 2 x a 1 0 ，得 x1 1， x2 0，a
x 0,1 a 所以当 时， p(x) 0，即G (x) 0，G(x)单调递增，
a
x 1 a当 ,

时， p(x) 0，即G (x) 0，G(x)单调递减；
a
1 a 0 x 1 a（iii）当 时， 2 0， p(x) 0在 (0, )上恒成立，即G (x) 0在 (0, )上a
第 3 页 共 5 页
{#{QQABKYYQogiAAhBAARgCAQHACkKQkACCAIgGQEAAoAABSAFABAA=}#}
恒成立，所以G(x)在 (0, )上单调递增；
1 a
（iv）当 a 1时， x2 0，a
x 0,1 a 当 时， p(x) 0，即G (x) 0，G(x)单调递减，
a
当 x
1 a
,

时， p(x) 0，即G (x) 0，G(x)单调递增.
a
1 a 1 a
综上所述，当 a 0 G(x) 0, 时， 在 上单调递增，在 ,

单调递减，
a a
当 1 a 0时，G(x)在 (0, )上单调递增；
当 a 1时，G(x) 0,
1 a 1 a
在 上单调递减，在 ,

上单调递增...............7 分
a a
a a x
2 1
x1 x2
（ ）由题意得， ln x1 1 0 ln xx ， 2
1 0
x ，两式相减得
ln a
1 2 x2 x1x
，
2
x1x2 ln
x1 x x ln x1
a x
1 2
2
x
， 要证 x1 x2 2a，只需证 x x 2 2x 1 21 x2 x1 x2
2 2
x x1 x2 x1 x1 x2 x11 x2且x1 0, x2 0， 即证 2ln ，即证 2ln 0x1x2 x2 x2 x1 x2
t x 1 1令 x ，其中0 t 1，令 S(t) t 2ln t(0 t 1) ，2 t
(t 1)2
则 S
1
(t) 0，所以 S (t)在(0,1)上是增函数，故 S(t) S(1) 0，即 t 2 ln t 0
t2
，
t
x1 x 2 2ln x1 0 x1 x2 2a得证............................................12 分x2 x1 x2
22 2解：（1）曲线C1的直角坐标方程为 x 1 y2 1，即 x2 y2 2x 0，
将 x2 y2 2， x cos 代入并化简得C1的极坐标方程为 2cos ， 0,2 ，
2cos 8
由 消去 ，并整理得5 2 8 0，解得 0或 ，
1 sin
1 2 5
8
所以所求异于极点的交点的极径为 .....................................................5 分
5

x t cos
π

2 6 3（ ）由 消去参数 t得曲线C3的普通方程为π y x， y t sin 3
6
π 7π
因此曲线C3的极坐标方程为 0 和 0 ，6 6
第 4 页 共 5 页
{#{QQABKYYQogiAAhBAARgCAQHACkKQkACCAIgGQEAAoAABSAFABAA=}#}
π 7π 1 π 3 7π
由 6 和 6 得曲线C3与曲线C2两交点的极坐标为M ( , )，N ( , )，
1 sin 1 sin
2 6 2 6
所以 MN OM ON
1 3
2 (O为极点 ) ...................................10 分
2 2
x 8,x 2

23 解：（1） f (x) 5x 4, 2 x 1 ，由 f (x) x2 x 1可得，

x 8,x 1
① x< 2时, x 8 x2 x 1，即 x2 2x 7 0, 22 4 1 7 0无解，
② 2 x 1时， 5x 4 x2 x 1 x2 ，即 4x 5 0, x 5 x 1 0，解得： 1 x 5，
即 1 x 1，
③ x 1时， x 8 x2 x 1，即 x2 9 0, x 3 x 3 0，解得 3 x 3，即1 x 3，
综上，解集为 1,3 .......................................................5 分
2
（2）由已知：存在 x， 1使不等式3a 7a x 2 f (x)成立，
x 2 2即存在 ， 1使不等式3a 7a 2 x 1 2 x 2 成立，即3a 7a 2 x 1 x 2 ，
max
又∵ | x 1| | x 2 | | (x 1) (x 2) | 3（当且仅当 x 1时取“=”号），
2
∴3a 7a 6, a 3 3a 2 0, 2 2，∴ a 3 2， ∴实数 a 的 取3值范围为 ( ,3) ....10 分3 3 3
第 5 页 共 5 页
{#{QQABKYYQogiAAhBAARgCAQHACkKQkACCAIgGQEAAoAABSAFABAA=}#}